阶段检测2 直线和圆的方程-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

(2)设C,D的中点M(x,y), 由)择，A(-2厄，-4VE),由题意得AM⊥CD, 直线1经过点N(2区，42)，即AMLMN, .AM.MN-0. ·Ai·MN=(x+22y+42)·(2√2-x,4E-y)= (x十22)(22-r)十(y+4√2)·(42-y)=0,化简得 r+y=40. 14,解：(1)y一x可看作是直线y=x十b在 y轴上的载距，如图所示，当直线y= x十b与圆相初时，纵截距b取得最大值 或最小植，北时2一0十=尽，解得 2 b=-2土√6. 所以y一r的最大值为一2+6，最小值为一26. (2)原方程可化为(x一2)十y2=3,共表示以(2,0)为國心 3为半径的圆.兰的几何意义是圆上一点与原点连线的斜 率，设义=k,即y=k工. 当走线y=kx与圆相切时，斜率点取最 大值或最小值（知圈），北时2-0 √/k+1 尽，解得k=土尽 所以兰的最大值为尽，最小值为一尽。 (3)x十y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几 何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大 值和最小值.又国心到原点的距离为 √(2-0)+(0-0)=2，所以x十y2的最大值是(2+ )=7+45,x2+y的最小值是(2-3)=7-45. 15.解：(1)因为A在(0的北偏东45°方向20√2km处，B在O 的正东方向10km处， 所以A(20,20),B(10.0) 由两点间距离公式知 |AB1=/(20-10)+20=105(km). (2)设过O,A,B三点的园的方程为x十y°十Dx十Ey十 F=0(D2+E-4F>0). 将0(0,0)，A(20,20),B(10.0)代入上式 (Fm0, 得20°+202+20D+20E+F=0, 102+10D+F=0, D=-10, 解得E=一30， F=0. 所以圈的方程为x十y2一10x一30y■0， 对孩國的图心为(5,15)，幸径r=√10. 设船起初所在的点为C,别C(一10，一10√3)， 文该船航线所在直线的钟单为1， 所以读船航线所在的直线方程为x-y十10-10尽=0. 周周测数学选择性必修第一册A版 ·5 对圆心到北直线的距斋d-5-15+10-10-5v6< √2 510. 所以若不改变方向：这船有触难的危险， 阶段检测二直线和圆的方程 1,C解析：点(W3,4)在直线l:ar一y十1=0上， 5a-4+1=0, .:=3,即直线1的针率为√尽，直线1的颜针角为60 2,D解析：由24十b=1,得b=1一2a,代入直线方程ax十 3y十b=0中， 得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0. r=2, 1x-2=0, 解得 3y+1=0. =- “接直线必垃定点（么，-号故选D 3.C解析：设圆C的圆心坐标为(0，b),则线段CM的中点坐 特为（停，名），国为直线2x-y-1-0经达线段1的中 3 b 点，所以2×立一？-1=0.解得6=4，所以圆C的国心坐 标为(0,4)，半径r=CM=√(0-3)+(4-0)下=5，所以 圆C的标准方程是x+(y-4)=25.故选C, 4,B解析：弦AB可以看作是以PC为直径的圈与圆x十 y=1的交线，而以PC为直径的圈的方程为(x一1)十 (一》广一早极据两圆的公共致的来去，可得我褪所在 的直线方程为红-1+(6-名)广-号-(+y-1) 0,整理可得2x十3y-1=0, 5,A解析：由题意，知圆C,的标准方程为(x十1)十(y一 3)'=36,圈C的标准方柱为(x-2)+(y十1)了=1，所以园 C的图心为C1(一1,3)，半径为6，周C:的圆心为C:(2, 一1)，*径为1，所以|C,C:|=√（一1-2）+(3十1)=5， 又r一r:=5,故两圈的位置关系是内切. 6,B解析：A,B是圆C的直径的两个瑞点， .圆心C(1,2),半径r=5, .园C的方程为(x-1)*+(y-2)=5. 设点P(x,y),M(x4,y,),:线段MN的中点为P, /=2x-4, y0=2y+2. M在圆C上运动，.(2x-5)十(2y)=5.即 (-)+y- 数线度MN的中点P的轨连方程为（一）'+y 7,C解析：如图所示，化A项中的直线方程 为藏距式得工十y =1.化B项中的直 √22+√/2 线方程为载距式得，工二十兰=1，化C项 2+√22 中的直线方程为载距式得，”。舌=1化D项中的直线 2-2E 方程为截距式得兰 2十万1.由图可知，直线在坐标轴上 的戴距的绝对值的最小值为√2，所以C项不是该正八边形 的一条边所在的直线，故遮C 8.B解析：由y=/1一x,得x十y=1(y≥0》. ∴，曲线y=个一r表示单位圆在x轴上方的部分（含与x 轴的交点)， 由题知，直线斜率存在，设直线/的钟率为k, 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，别一1< k<0, ,直线1的方程为y一0=k(x一√2)，即r一y一√2k=0, 六国心0到直线1的矩离4=一-一Ek √+灯√小+行1 又直线1被半国所哉得的#长为|AB1=2√厅一工= 1-灯 Sam=交dAB1=z· 一√2k /2k(1-k) 一4 6 V(1+)” √0++1+一2 令1中在=1t(分，1），别8aw=中2， 当1=子时，Sm有最大位为合，北时中=子k -31 又”1<0=停我选且 9.BD解析：四为，点M(1,2)关于直线y=kr+b对称的，点是 N(一1,6)，线段MN的中，点坐标为(0,4)，所以 6-2 -1-1·k=-1, 解得 k=立'新以仙=2，救A错误：由 4=k×0十b, 6=4, 上运分析可知，直线1的方程为y=号x+4,令y=0,解得 r■一8，所以直线y=x十b在x轴上的藏距是一8，故B正 确，将直线1的方程化为一般式为x一2y十8=0，则，点M到 直线1的距离为门一2X2+8=5,故C错误：当m以时， /1+(-2) 两条直线间的距离聊点M到直线【的距离，也为√5，故D正 确，故选BD. 10.ACD解析：设题(x一5)十(y一 5)=16的圆心为M(5,5),由题露知， 直线AB的方程为子+之=1，学1中 2y一4=0，则圆心M到直线AB的距 离d=15+2×5-4-11 >4。所以直 √5 ·5 线AB与圈M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值 为+d=+吕，又 ,11 5 ,西-=10，故A正确： <5十N5 易知点P到直线AB的距离的最小值为d一4= 业一4，又 君-√厚-1成B不玉绵 过，点B作圆M的两条切线，切，点分别为N,Q,如图所示， 连接MB,MN,MQ,别当∠PBA或小时，点P与N重合 |PB|=√TMB-MNTF=√/5+(5-2)-4=3√E: 当∠PBA最大时，点P与Q重合，PB|=3V2,故C,D都 正痛.故选ACD 11.BCD解析：凰C:x十y=1的圈心为C,(0,0),半径为 r=1:圆C::(x-3)十(y十4)=r2(r>0)的回心为 C(3,-4),半径为r, 则圈心距为1C,C,|=√/(0-3)+(0+4)=5. A选项，若圆C,与国C无公共，点，则只需|CC|<r一1 或1C,C,>r十1，解得r>6成0<r<4,故A错误： B选项，若r=5,易知两圆相交，又圆C:(x一3)十(y十 )2=25,由x2+v=1与(x一3)°+(y+4)=25两式作 差，可得两圆公共弦所在直线方程为6x一8y一1=0，故B 正确： C远项，若r=2,则C:(x一3)2十(y十4)=4，此时 CC:|=5>2十1=3，所以国C与圆C:相离，又P,Q分 别是图C,与图C:上的点，所以|C,C,|一(1十2)图 PQCC11+1+2,即2PQ≤8，故C正痛： D选项，当0<r<4时，由A选项可知，两圆外离， 记直线6r-8y十r2-26=0上任意一点.为M(x。+y,),别 6x,-8y.十r2-26=0, 所以MC,I=√F+, MC,=√x-3)+(y,+4) =V√x+y-6r。十8y。十23 =√+y+r-1, 因此切线长分别为d山=√MC,一下=十y-I, d:=MC:T-r=+yi-1. 即d=d:,故D正确，故这队CD 12.(-2,1)解桥：设直线的针率为k,别女-2a二1十 3-(1-a） a+2<0,得-2<a<1. a-1 13,x-2y+7=0解折：取直线2x-y+2=0上一点A(0, 2),设点A(0,2)关于直线x十y-5=0对称的点为B(a, a6+2-5=0 22 ), b2=1 解得03， b=5, a /2x-y+2=0, 对称点B(3,5),联立方程，得 解 x十y-5=0. x=1, 得 y=4, 答案全解全析 .直线2x-y+2=0与直线x十y-5=0的交点为P(1, 4), ∴.反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直 4-5. 线方程为y一4-1-虹一1)，梦理得工一2y十7=0， 14.7解析：由题意知，两圆的圆心坐标及半径分别为C1(0, 0),C:(52,52),r1=1r=7,则直线C,C:的钟率为1， 其倾针扇为45，设直线1的斜率为k(k>1),倾斜角为a· 两直线的交点为P,其夹角为a,两个初点为A,B,如图所 示，别1CC1=10,sina=BC-AC IC C. F5,故na= 是又=一5，由两角姜的医初公式骨品，解 得k=7. 15,解：(1)由A(4,3)及AB边上的高所在直线为x一y一 3=0, 得AB所在直线方程的针率为一1， 则直线AB的方程为y一3=一(x一4)，即x+y-7=0: 又BD所在直线方程为3r十y一7=0， 3x+y-1=0·解得点B0.7。 x+y-7=0, (2)设C(m,N),又A(4,3),D为AC中点 (生"安) 3×m十4+十3-7=0. 由已知得 2 2 m-n一3=0， 又B(0,),别0=y-7 5 -0-2-7 化简得直线BC的方程为19x十y一7=0. 16.解：(1)图C:x2十y2-8x十12=0化为(x-4)2+y2=4, 尉C(4,0), 又PC中，点为(3,2)，PC=25 以PC为直径的图的方程为圆E:(x一3)十(y 2)=5. PA⊥AC,PB⊥BC. P,A,BC四点共圆E, 直线AB的方程是两國公共孩所在的直线方程， 两方程相减可得直线AB的方程为x一2y一2=0： (2)夜过P的直线1方程为y一y=(x一1，)， 由于盟C与直线1相切，得到d=6十y,一=2. k+1 整理得k[(4一x。)2-]+2y.(4-x。)k十y一4=0， 周周测数学选择性必修第一册A版 ·5 y-4 k·:4=-1 y。=x+2,代入可得2x-13r。十21=0， ,-3点号点P鱼标为3,50（仔号） 7 17,解：(1)由题意知，圆心的坐标为(1,2)，半径r=2, 当过点M的直线钟率不存在时，方程为x一3， 由国心(1,2)到直线x=3的距离为3一1=2=r知，直线 r=3与圆相切， 当过点M的直战存在斜率k时。 设方程为y-5=k(红-3)，即x一y十5-3k=0. 由题高如上一25二张-2，解样长= 5 k十1 .直线1的方程为5x一12y十45=0. 故址点M的直线y与国C的初线方程为r=3或5r 12y十45=0， (2):”圆心(1,2)到直线ax一y十4=0的距离为 1a-2+4la+21 a+打 √+司 广+(5=4，解得a=一是 18.解，(1)设圈心到直线1的距离为d,别r一d= (a)即d-r-2, 又d= 2 √+T =2,r=4, 故圆C的方程为x十y■4， (2)选①：当直线：斜率不存在时，1：的方程为x=2,给好 与國相初，满足题意： 当直线1：针率存在时，设1：的方程为y十3=k(x一2)，甲 kx-y-2k-3=0, 由圆心到直我，的距高为一二=2，解得上=一是 5 /R十1 地时直线6的方程为y十3=一高（工2，即5证十12y十 26=0. 综上，直线1，的方程为5x+12y+26=0或x=2. 速②，可得(1，√)在圆上，即白尽)为切点， 圆为切点与圆心连线的钟率为气=尽，别切线针车为 3 所以直我，的方程为y一后=-气-D,即十厅y 4=0. 19.解：(1)证明：由己知得周M:x十(y一1)=5，圆心M(0, 1),半径r=√5， 图N:(x-2)+(y+1)2=5,图心N(2,-1),率径 :=5, .周心距1MN=/(2-0)+(-1-1)=2/2. .0=|r,-r:l<MN|<r+r: …两圈相交。 （2)联支+y-2-4=0. 1x2+y2-4x+2y=0, 两式相减得x一y一1■0，此为两圆公共弦所在的直线 方程. 解法一：较两圈相交于点A,B,则A,B两点满足方程 十-2y-4=0. x2+y-4r+2y=0 x=1+21 x=1-2 解得 不持A+号，6--) AB= +)(】+( =25,即公共弦长为25. 解法二：周M:x十(y一1)2=5，其圆心坐标为(0.1)，羊径 长r=5,圆心到直线工一y一1=0的理离为d 10-1-1山=2 √1+(-1)F 设公共弦长为2(，由勾股定理得r=d十，即5= (W厄)+产.解得1=3，故公共弦长21-2√5， (3)两圈半径均为5，过P点所引的两条切线长均为1， .点P到两圈心的距离1PM=PN=√/5+T=后， 设P点坐标为(x,y), |+(y-1)=6, √/x-2)+Ly-(-1DJ了=6， x=1-2. y=2 y=-2, 点P坐标为(1十√2)成(1-区，一厄). 周测10椭圆 1.B解析：由题意可知，点P(x,y)到点F,(0,2√3)的距离与 到点F:(0,一23)的距离之和为定值8，并且8>45 |F,F,, 所以，点P的轨进是以F,,F为焦点的椭圆，所以2a=8, a=4,因为c=25,所以b2=a-c2=16-12=4, 荷以表P的我造方经为一+长-1世去县 2.A解析：由题盒如，2c=4,∴.c=2. 若焦点在x抽上，则=m-5=4, 又m>0,”.m=3: 若焦点在y轴上，则2=5-m=4 文m>0.∴.m=1. 鼓“m=3”是“螨國二十气1的焦距为4”的充分不必姿 条件. 5 3.C解析：由题盒可知，|PF,十IPF:=2a,1PF,= 6PE,则PE=PE:=号 PF,-PF,lE,F号≤e≥号 又e<1销圈高心率的取位花调足[导，) 4,B解析：由椭圆的定义，可得|PF,|十PF,|=6, F,F,=25, cosF,PF-IPFPF:FF: 2PF,T·PF, 6-(25)-21PF,1·1PF:1 8 2PF,·PF, PE·PF-L 又|PF,+|PF,1=6≥2TPF,·PF,T, .PF,·|PF,≤9， “pR,师1≥g-1= 8 当且仅当|PF,=|PF,|=3时等号成立 cos∠F,PF:的最小值为一 5,C解析：如图所示，因为两个圆心恰好 是销圆的焦点， 由输圈的定义可知，lPF,|十{PF:|= 10.易知PM+IPN=PF+F,M+ PF+F,V1,则共最小值为PF,+ |PF:一2=8，鼓大值为|PFI+|PF,|+2=12,故选C. 6,ABD解析：地球的中心是椭图的一个焦点，结合图形可 得m=a-c-R, n=a十e-R, :但二C加十R(),故A.B正确： a十c=n十R, 由()，可得2a=m十n十2R,故C不正城； 由()，可得(m十R)(n十R)=a一c2, ,a-c=b,b2=(m十R)(n十R), .b=/(m干R)(n干R),故D正确. 7,BD 解析：设A(r1,y1),B(工，y),M(x,y),别 层+ “两式相减，得，王+卫=0. + 2 4 即当二当.十当=一2，即地·kM=一2.对于A, x1-x:r1十x kB·kM=一2≠一1，所以A不正确：对于B,由kB· kM=-2,M(1,1).得ks=一2，所以直线1的方程为y 1=一2(x-1),即2x十y一3=0，所以B正确：对于C,若直 线1的方程为y=十1，M(仔，营)，对长m·6w=1X= y=x+2. 得3x2十 一2，所以C不正确：对于D,由工+义=1.得 4红=0，解得x=0我x=一 3,所以1AB1=V+TX 答案全解全析阶段检测二直线和圆的方程 (时同：i0分钟满分：150分》 一、法择题《本题共8小题，每小粗后分，共0分，在每小赠给出的西个选项中，只有一项是符合题 日要求的》 L若点(，百，》在直线1：r一y十1-0上，周直馒/的顿绢角为 A.300 队5 C,0 D.120 2.已知u,0演足2a+6=1,刚直线a+3y+=0毫过定点 吉 经司 c位司 n么- 袋3.已知圈C的慨心在￥轴上，点3,0)在图C上，且直改2z一从一1-0经过线段CM的中点。 周风C的标准方程是 A.+（y-3)=18 B,x2+4y+a)2=18 C,x+(y-4》F=25 Bx3+(y+40F=25 4,若过点P(2,3)向程C:++y=1作两条切规PA.PB.则整AB所在的直线方程为。() A.2r-3y-1=0 且.2r+3y-1=0 C.3r42y=1=0 D.3x2y=1=0 部g5.圆Cr十y+2一y一6-0与图C:r十y-4r+y十4-0的拉置关聚基 A.内切 品外切 C,相交 D,外青 G.已知点A(3,31,B(一1,1)是图C的-→条直径的两个编点，又点M在则C上运动.点N《4 一2)，刚线夏MN的巾点P的轨迹方程是 A.a一1)+(y一2H=5 6--月 c+'+y- -22+(y十1m有 都 ?.我国线晋时男的数学家刘置制这了制割术，也就是用属内核正多边据去逐步逼近飘.当侧内核 正多边形边数无限端加时，其周长就越通近属周长，这种用极限思想解接数学问题的方法是题 学史上的一项重大成就，残作出概十y一2的一个内援正人边形，使该正人近形的其中4个 虞点在坐标轴上，媒下列4条直线中不是支正人边形的一条边质在的直线为 A.于+(W反-11y-2=0 且(1-反)x一y+2=0 C,士一(2+1)y+2=0 D2-1》x-y+2=0 8过点(，夏，0)引直线1与由线y=1一z相交于A,B两点，0为坐标原点，当AAB的面积取 量大值时，直线/的斜率等于 9 D.-/ 二，选择整本题共3小题，每小整6分，共18分，在每小题蛤出的选项中，有多项特合题目要求， 全留选可的得6分：留分选对的得部分分，有进错的得0分) 4.已知点A1,2>关于直线1：3=r十6对称的点是N(一1,6)，直线w过点M.则 A枯▣一2 品，1在x轴上的黄师是一B 心点M到直线/的阳离为1 当解从时，丙条直线可的面离为、局 I0已知点P在国(r-)'+《y一5=16上·点A(4,0.B(0,2》,则 A点P到直线L出的距离小于10 以.点P到直线AB的巨离大于2 C当∠PBA最小H,PB1=3,区 D当∠PBA量大时，PB=3 1L.已知国C:x+y2-1.到C:(x一s+(y+4》-r2(r之01，则 A若网亡，与国C,无公共点，则0<4 B当，=5时，两图公共弦长所在直线方程为6x一8y一1一0 二当，=？时，P.Q分料是四C与翻C上的点，则Q的取值范围为[2.8] D.当0r<4时，过直线6一y+'一2弱一0上作建一点分别作mC,魔C:的切线.国切慢 长相等 选择题答题栏 1 2 4 6 19 11 答常 三，填空题（本题共3小题.每小醒5分，共15分） 12.若过.点P(1一：，1+a)与点Q(3,2u)的直线的领斜角是钝角，侧实数u的取值范围是 3.一条光线沿直线2x一y十2-0人射到直线「十y一50后反射，蘑反财光线所在的直线方型 为 14.在平面直扁坐标系中，若直馒1与国C,'+y一1和圆C:(x一5区)+《y一5区)一富 相切且内个别的到心均在直线/的下方，则直线（的斜桌为 四、解答题本题共百小题：共7了分，解答应写出文字搅用，证用过程减演草多漂) 15.(本小题周分13分)已知△4BC的顶点A4,8》.AB边上的高所在直线为r一y一a-0,D为 A中点.且BD质在直线方醒为3x+y一7=0， (1)求霸点B的坐标： (2)求BC边质在的直线方型 阶段校两二直线和周的方程 16,(本小题清分15分组用，已知直线x一y+2=0和国C::+x2一8x十12=0，过直线上的+ 18,「本小题端分17分已知圈C:+=r《r>0),若直线，：F一y+2=0与测C相交于，4 点P(x。,y,)作再条切线P1,PB与风C相期于A,B周点 再点.且AB1=22 (1)当P友象标为2.4)时求以P℃为直径的圆的方程，并求直线AB的方程， (1)求划C的方程， 《)设切线PA与PB的斜分别为：，，：且，·，=一了时，求点P的生标， (2)请从条作①，条作②这背个条杵中择一个作为点P的生标，求过点P与测C相切的直线 :的方程. 2.-②1g. 注：如果选择条作①和条件必分商解答，按第一个解答计分， s.木小题满分17分已知圆M:+y一y-《=0与圆N:x+y2-4r+2y=0. 1)求证，两到相交： 17,本小题满分15分)已知点M(3,5),国C,(x一1+《y一2=4， (2)求两周公共览斯在的直找方程及公共整长： (1)若过点M的直线1与国C相切，求直线I的方程， (3)在平面上找一点P,过点P引两属的切我并便它们的长都等于1 《)若直线a一y十40与凰C相交于A,B两点，盆AB的长为2厅，求口的值， 州倒测数学，及择性必餐第一青A餐 ·2g