周测3 空间向量及其运算的坐标表示-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

周测3空间向量及其运算的坐标表示 (时间，G0分钟分值，100分) 一，选择题本题共5小题，每小题分，具2分，在每小题给出的四个透项中，只有一项是特合驱 目要求的 1,已知a-(33,-),b-(-4,-3,-》,h-立0一海：期c A.0,3,-6》 弘(0,6，一20) ,(0,6,-60 (6,6,-61 3,已知空闻直角生标系中点P(2.3),现在x轴上取一点Q,使停|PQ最个.附Q点的坐标为 A.0-0-10 以0,0,2) C.0.0,3) D.0,a,4) 1.设A(3,3,1),日，0,5)，C(0,1,0),则A0的中点M到C的師离为 4.已知向量a=(1,2,31,b={一2，-4，-6》，le一√1日.若4a+b)·e=7,则a与e的夷狗为 A.30 且60 C,10 D10 长5.如图，在棱长为1的正方体ADA:BCD,中，点E,F分明在德AA,和AB上，且CE⊥ EF,则AF的量大值为 织区 A司 民1 2 二，选择题〈本题共3小题，每小题后分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是特合题日 要求的：，全都选时的得5分，选对恒不全馆得2分，有透墙的不得分) 新 6,若向量日=(1,2.01，b=(一2,0,1》，荆 A.osn,b-一 Ba⊥泰 C.a/h D.al- 7,从点P(1,2,3)出发，沿看向量？-1一4，一1,8)的方向取点Q,使Q一18，则Q总的坐标为 A.4-7,0,192 (9,4，-131C(-1,-2,3 D.(1,-2,-30 8,在如图所示的儿灯体ADE中，D1上平面EMB,CBDM.E1=A出=D4三 (B,LA目，耐是C的中点.谢下述结论正瑞的是 A.DM⊥EB K BDEC C.DE⊥M D.EA⊥CD 遗择题苦题栏 题甲 箭案 三，璃空题〔本题共4小题，高小题分：共20分》 已知a=(3,一1,3).b=1-1.4,-2),c=41,3a),若a,b.c三向量共面，期实数1= 10,已知点A1.2,1,B《-13,》,D(1,1,11,若A-2P方.则F币的坐标是 11.已知g-(2,3,一1》，b-〔一2,1,3)，则以a,b为等边的平行四边形的面积为 12三棱锥O-AC中，0从，0B,(C两两垂直，且04-0B-(0C.给陶下列国个命题： DA+OB+0)-3月： 元，cCi-i-0: @i+丽)和C的爽角为6的： 尘三控锥)A以的体积为(AB·)试 其中所有正确命题的序号为 网，解答避（本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明、正明过程线清算步翼） 13(本小避满分12分)已知向量g-(1.-3,2),b-(-2.1,1).点A(一3.一1.4)，B(一2.一2,2). (1求2a十h11 (2)在直找AB上，是看作在一点E,使得O龙⊥？(0为原点) 得测3空同阁量及其运算的像标表示 (体小适病分1g分在c呢+G币1（呢-G,呢=平0<m乐，成这 15(本小题满分13分)如图所示，在四面体AD中，0，E分满是D,以的中点.CA=CH= CD-D-2Al-AD- 三个条件中任选一个，补充在下而的问题中， (1)求线段AE的长： 问题，如图，在正方体ACDA,B,C,D,中，以D为坐标感点建立空间直角生标系F,已 (2)求异面直线AB与D所成角的余弦值 知点D.的坐标为0,0,2，E为棱D:C上的动点，F为棱B,C,上的词点，。试同是 有存在点E,F博是示，A:C一？若存在，求出正·B示的值：若不存在，请说明理由 注，如果选择多个条件分别解谷，按师一个解答计分. 明贤测数学喜挥性必参第一秀A酸 6又D成i.C=a+b-2c)(a-2b) 0G-OM+G-M (a'ta.b-2e.e-28+4) = 8· -a+号(b+-) 所以cos(Di,CV) DM CN -8 DMI ICNI 33 -6 2×2 又元=Oi+O+O元 所以异面直线DM与CN所咸角的余孩植为行 所以x一名y-号-子 15,解：1)证明，设C=a.CD=b,C元=c 则la=1bl.a·b=b·c=e·a=0, 题老得成=c-6:试=a+6,寸=a+言c,设 12a+b+ T 解析：：D为BC的中点， DE=rCi+yC求(x·y∈R),别e-b=x(a+b)+ O而-O成+号d-0+c,连接0D,E为AD (合a+)=(+a+b+2e 的中点0呢-号0+0)-a+b+c,若回面 +=0 调此x=一1，解得{ x=一1. 体OABC为正四面体，且枪长为1，刚1O呢'= y=2. 1 (+b+)-。+s++。6+ 2y=1, 从而DE.C,C序共面，又走线DE不在平面ACF内，因 a+日bc-+6×2+×1x1××2+ 1 1,1 此DE∥平面ACF, (2)证明：依题意得Bi=b一a,A龙=c一a一b.则Bi, 吉x1x1x号品0-T 4 AE=(h-a)·(e-a-b)=-b+a=0,周此BdLA, 13.解：1)MN=MA+A,B+B,N 从而BD⊥AE, -号歌+花+专BC (3)存在，由AB=反CE.设a|=b1=2.别1c|=区，做设 在线较O上存在点G,使(CG⊥平面BDE,由O,G,E三 -号e-e)+a+号b-a) 点共线：设0花=1-AG定+0d=7a+号地+1-A0c 1 (0≤λ≤1)， 由CG⊥平而BDE知，(G⊥DE,而DE-e-b, (2)周为(a+b+c)=a+b+e+2a·b+2b·c+2a: e=1+1+1+0+2x1×1x合+2×1x1×7-5,所以 周光.成-[白a+名0+0-0]e-b)- 0-c-号语=2-以=0，解得入=立，即当点G是线 la+b+el=5, EG 1 所以-号a+b+e= 我E0的中点时，满足题意，此时02 3· 事N-点 周测3空间向量及其运算的坐标表示 14解：aDi=号(D丽+)=[-)+(C 1,B解析：由b=2e-2a,得c=a+2b. 因为a=(2,3.-4),b=(-4,-3,-2), ]=ta-e)+b-e)1=号a+6-2c)(我连接 所以c=4a+2b=4(2,3,-4)十2(-4，-3，-2) =(8,12,-16)十(-8。-6，-4)=(0,6，-20). AM,剥D丽=A-市-之访+aC)-市-(a 2.C解析：设点Q的坐标为(0,0，：)，则PQ= √/+2+(3-2尸，当2一3时，PQm一√5，此时点Q的 b-2如)）.c-之i+Ci)=i-A- 坐标为(0.0,3). 3[a-b)-b小-a-2h 心解标：由题意如M(告，告，生)中) (2)设正四面体的校长为1，即a=b1=c=1且(a,b)= i-(么号)-t0,1,0)-(么.，所以1Ci1 be=co)=号期=时= V+侣+=选C 周周测数学选择性必修第一册A版 ·36· 4.C解析：a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c= -a·c=7,得a·c=-7,而a=√+2+3=4，所 x-1=-2-2x, 3 a·c 所以y一2=6一2y.解得 以cos)=ai6-立，所以ac=120 z-1=8-2: y=3 5,B解析：分别以AB,AD,M,所在直线为x,y,2轴，建立 z3. 空间直角坐标系如图所示，则C,(4,4,4).设E(0,0,),:E 中点P金稀为（寸号： [0,4门，F(a,0,0),r∈[0,4]，则AF1=EC=(4,4,4 又D1.1,1). ),EF=(x.0,-).周为C,E⊥EF,所以EC·EF=0: 所以2+4一4：=0，则=.音=2时取得流 所以币-(+1--（侍吾- 大值，为1，即AF|的最大值为1.故选B 11.6v5解析：因为a·b=(2,3.-1)·(-2.1,3)=-1+ 3-3=一4， a=14,b=4, 所以cos(a,b>=I日 7 所以sin(a,b》= 35 7 6.AD解析：圆为向量a=(1,2,0),b=(一2,0,1)，所以 所以平行四边形的面积为S=|a||b|sin(a,b)=14X a1=5,1b=5,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, a·b-2 m×35=65. 0Os(a,b》==5=-5,故A,D正痛.B,C不 12.①②③解析：设OA=OB=OC=a,由于O4,OB,(0C两 正确， 两垂直，所以以点O为坐标原点，O八，OB,OC所在直线分 7,AB解析：设Q(Fo+ya.Eo),则P项=Ar 别为r,y,:轴建立空间直角坐标系，如图所示 p(x-1,y。-2,m-3)=A(-4,-1,8). 则0(0,0,0)，A(a,0,0,B(0,a, 由PQ=18得，√(-4)+(-1)+(8a)F=18, 0).C(0,0,4）. 所以A=士2， 对于①.0i+o+0C=(aa,a), 所以(x。-1,%-2,。3)=士2(-4.-1,8)， r。=-7,x=9, 所以(0A+Oi+OC)2=3a2= 0 所以yn=0,我y=. 30.①正确： 。=192a=-13. 对于@，C-i=0i=(a,0,0,装 8,AD解析：以A为坐标原点建立如图 BC=(0,-a,a),则BC·(Ci-Cd=0,②正确： 所示的空间直角坐标系，并设EA 对于③.0i+O=(aa0).Ci=(a.0.-a), DA=AB=2CB=2,则A(0,0,0),E(2, osO耐+0i,d)-+0i·C oo:60 a 0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2) M(1,)Di=(1.1,-2）Ei= :0≤(Oi+Oi.C)≤180，所以0i+O)和C的央 角为60°，③正确： (-2,2,0).EC=(-2,2,1).Bi 对于④.AB=(-aa.0).AC=(-a.0,a).BC=(0.-4, 0,-2,2),D2-(2,0.-2),Bi-(1,-1.号）Ei a),则Ai.AC=a, (-2,0.0),Ci=(0,-2,1),仅有DM.E第=0.E. 所a言.d武-号成-x。-得 C市=O,从而得DM⊥EB,EA⊥CD.故进AD 9,1解析：若向量a,b,e共面，则c=ra+b,其中T,y∈R, 而三税维0AB0的体积为V-号×204·0B·0C p(1,3,A)=(2x,-,3a)+(-y,4y,-2y)=(2x-y, 2x-y=1. x=1 日，①特民。 -r+4y.3x-2y -x+4y=3,解得y=1 13.解：(1)2a+b=(2,-6,4)+(一2.1,1)=(0，-5,5)， 3x-2y=A, 入=1 故12a+b1=√0+(-5)+5=5v2. 10(信-号-2）解折：设P(:周为A1,21, (2)假设存在点E,设AE=AB,1ER, B(-1,3,4) 则Oi=Oi+A克=0i+tAi=(-3,-1,4)+1(1, 所以Ap=(x-1,y-2,:-1).Pi=(-1-x,3-y, -1,-2)=(-3+1,-1-14-2t) 4一x), 若0ELb,则O求·b=0, 因为A户=2Pi,即(x-1,y一2，g-1)=2(-1-x,3-y, 9 4一)： 所以-2(-3+1)+(-1-4)+(4-2)=0，解得1=5 ·37· 答案全解全析 因此存在点E,使得OE⊥b, 周测4空间向量的应用 北时E点金标为E(号一兰号》厂 1.B解析：因为A(2,3,1D.P(4,3,2),所以PA=(-2,0, 14,解：由题意，得正方体ABCD-A,BC,D的枚长为2，则 一1》.义因为n上1，n=(1.0,一1)，所以点P到1的矩离d= A(2.0,0,B(2,2,0).A1(2,0,2),D(0,0,0).C(0,2,0), pA·n1=② 设E(0,a,2)(0≤a≤2)，F(b,2.2)(0≤6≤2)， 别EP=(6,2-4,0).A,C=(-2,2,-2),AE=(-2,4 2.B解析：以D为原点，建立如图所 2).B求=(h-2,0,2), 示的空间直角坐标系，设正方体的校 所以EF·AC=4-2(a+b).AE.B丽=8-2h 长为1，则A(1,0,0),B(1,1,0), 速捧①，因为(D求+C苹)⊥(D求-C亦)，所以(D+C下)， C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1) DE-C)=D求-C=0, 即D=C, (合 尉0+(a-0)+(2-0)=(6-0)+(2-2)+(2-0), 所以=（侵小，花 故a=b. (-1,1,0),Bi=(-1,-1,0),A,方=(-1,0，-1)，A1A 因为EF.A,C=4-2(a+b)=0,所以a=b=1, (0,0.-1) 故存在点E(0,1,2),F(1,2,2), 满足EF.A,C=0.且AE.BF=8-26=6 国为.励=(-D×名+(-1)×(-)+0×1=0， 选择@.成=四中v+2= 1 所以CE⊥BD 2“=交 3,B解析：如图，以A为原点，分别以 周为E萨.A,C=4-2(阳+b)=0,所以6=之， AB,AD,AP所在直线为z轴、y 抽，：抽建立空间直角坐标系，则 故存在点E02)F(侵22， B(3,0,0),D(0,4,0).P(0,0,2) Q(0,0,1),QB=(3,0.-1),BD 满是E京.AC=0,且A它·B-8-26=5 (-3,4.0).QP=(0,0,1). 选择③，E=(6,2-a,0).D=(2,2,0), 设平面BQD的法向量为n=(r,y,z), 因为0<cos(EF,D)<1,所以E序与D成不共线， m·Bd=0, 由 解得 -3.r+4y=0. 所以b≠2-a,即a+b≠2， m.Q5=0, 3r-x=0 则EF.A,C=4-2(a+b)≠0. 令x-4,则2-12，y一3，所以n=(4,3,12), 故不存在点E,F满足E亦.A,C=0. 所以P到平面BQD的距高d=Q·n一兰 15,解：(1)连接OC,由题意知B0= n 13 DO.AB-AD. 4.D解析：如图，设AC∩BD=O,连接 所以AO⊥BD.又BO=DO, OF,因为四边形ABCD为菱形，所以O 为AC的中点，AC⊥BD.因为F为PC BC=CD. 的中点，所以(OF∥PA,因为PA⊥平面 所以CO⊥BD.又由已知得，AO= ABCD,所以OF⊥平面ABCD.以O为 1,0C=3,AC=2,别A02十 原点，OB,OC,OF所在直线分别为x O=AC,所以AO⊥CO 轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系 以()为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1,0.0),D(-1.0,0).C(0,3,0),A(0,0,1), 0,设PA=AD=AC=L,则BD=,所以B(修，0,0)： E(号，小以花=（合- F(.0）c(0,日0），D(50,0小易知0心- 以=√侣）+》+(--区. (0,70)为年面BFD的一个法向量，由胶 所以线段AE的长为V2 (受0)丽=（停0-》可解得面CBF的 (2)图为Bi=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0). BA.Ci=1+0+0=1, 个法向量为n=1v3v3.所以sm.)=，则 1BA1=(-1)+0+(-1)了■2 sinn.0元)=2y7,所以ann.0元=-2 CD1■√(-1)+(-3)+0-2， 7 3 所以os(B,C市= BA.CD 5.C解析：作PM⊥3，QN⊥a,垂足分别 BAICDI4 为M,N,分别在平面，B内作PE⊥1， QF⊥，垂足分别为E.F,如图所示，连 所以异面直线AB与D所成商的余我值为吗 接ME.NF.别ME⊥t,所以∠PEM为 周周测数学选择性必修第一册A版 ·38