周测1 空间向量及其运算-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

周测1空间向量及其运算 1,A解析：因为a·a=a◆所以Va·a=a,故①正 确：m(Aa)·b=(m以0)·b=(a)a·b,故②正确：a·(b十 c)=a·b十a·c■b·a十c·a■(b十c)·a,数③正确： ab=ab,b2a=b|a,且a,b不共线，故④不正确， 2.D解析：图为BD=B求+F2+E市，所以Bi=B晾1十 FE+ED+2BF.FE+2FE.ED+2BF.ED=1+ 1十1-2，所以B市1=√3一反.故选D. 3.C解析：因为A:A⊥平面ABC,所以AA⊥AB,A:AAC 因为AC■AB-√2，BC=2,所以AB⊥AC 文BC=24E=2. 所以B为BC的中点，所以A正=号(A+AC. 图为AC=AA1=V2,所以A,C=2, 因为A,AC=子(A丽+AC)·(AC-Ad) :-1, 所以o正，A衣=☆2-所以，Ad=0 即异面直线AE与A:C所成的角是60。 4,B解析：若x十y+:=1,则O币=(1-y-)OA+Oi+ O心，即A户=A言十：AC,由共面向量的克要条件可如，向 量A户，AB,AC共面，所以P,A,B,C四点共面：反之，若 P,A,B,C四点共面，当点O与点A重合时，OA=0,x可取 任意值，不一定有x十y十=1，故“x十y十x=1”是“P,A, B,C四点共面”的克分不必要条件 5,A解析：记AB=a,AD=b,AP=c,因为AB=AD=1, PA=2,所以|a|=|b1=1,c|=2.又图为AB⊥AD, ∠PAB=∠PAD=60,所以a·b=0,a·c=b·c=1X 2Xcos60°-1.易得B-之(-a+b十c,所以Bi (-a+b+e=[a+6+e+2X(-ab-。c+ 6e]=×[+1+2+2×0-1+1D]=多，所以 -故选A 6,B解析：因为BD=A市-AB,BC=A心-Ai. 所以BD·BC=(AD-A)·(AC-AB) =AD.AC-A·AB-AB·AC+AB'=1AB1>0, wD-成动-高 所以∠CBD为锐角，阿理，∠BCD与∠BDC均为锐角，所 以△BCD为锐角三角形， 7.ABD解析：E,H分别是AB,AD的中点，EH是 △ABD的中位线，则E疗=号BD,又FG=CG-C京- 号市-号-子（可-面）-号励，故A正确：且 丽=励=号×成=元，故B正确：显络直线肝 和直线HG相交，故C不正确，D正确 周周测数学选择性必修第一册A版 ·3 8,AB解析：如图所示，连接AC1,AB,, D.C.(A+AD+)=(AA D AD+D,C)=AC=3Ai,Ac· (A,B-A)-A,C·AB=0,AD 与A,方的夹角是D,C与D,A类角的补 角，而D,C与DA的夹角为60，故 AD与A,言的夹角为120：正方休的体积为1A言1AA1, AiL.擦上可知AB正确，C,D不正确.故远AB 9,4或-1解析：图为A,B,D三点共线，所以存在实数，使 祥AB=aBD.图为AB=2e,-ke:,BD=Cd-CB=(k 30,-20,所以/2=A-3, -k=-21, 所以k2一3张-4=0，解得 k=一】我k=4. 10.一13解析：a十b+c=0,∴(a十b十c)=0,a+b2+ e+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴.a·b+b·c+c·a= 33+1+--13. 2 1.+0i+0心解桥：0G=0耐+AG=0耐+ 号ai-++ad=0成+(0成-0成+成 oi)-i+成+元 12.6解析：由题意可知，AC-A方+Aj+AA AC=(AB+AD+AA )=AB+AD:+AA+ 2AB.AD+2AB.AA:+2AD.AA=1+1+1+ 2(c0s60°+c0s60'+c0460")=6..AC1=6,即AC,的 长为√. 13,解：(1)证明：连接AC1.图为AC=Ai+AD+AA A店+市+号AM+号-(+Ad)+ (+子AA)=(A店++(Ai+D)=A花+A, 所以AC,A正，A户共面 又AC,A正，A京过阿一点A, 所以A,E,C1,F四点共面， (2)连接AE,AF,则E序=A市-AE=AD+D示-(AB+ =A市+号DD-A-号BB=-A店+Ai+ 子AA 14,解：设Ai=a.AC=b.Ai=e 则1a=b1=c|=1,a,b)=(b,e>=(c,a)=60. 1)调为球=成-c一0，=-， 所以E成，厨=(2c-2)·(-a)=2a-号a (2)连接AG,E花.Bi=(E+A市+D心)，(AD-A =(-A店+心+A心-A心)·(A市-A -(-Ai+号AC+号A)·心-A =(+号+2)小e =2×(-1X1x号+1X1x号+1+1-1x1x号-1X 1×）2 成=a++e-ab+26c-c a=合则配=号中G的长为号 15.解：1)证明：设Ci=a.C馆-b.CC=c.依题意有a |b1,BD=CD-CB=a-b.设CD,Ci,CC两两的夹角 均为g,于是CC,Bj=e·(a-b)=c·a-c·b=lc|, |acos9-c|bcos9=0,所以CC1⊥BD, (②)当思-1时，意使A,CL手面C,BD,运明知下：周为 CP=l,由)知，a=b1=el,由cA.Ci=(Ci+ CC, AAi·(CD-CC)=(a+b+c)·(a-c)=|a-a· c+a·b-b·e+e·a-|c=aF-lef+lbi|a|· cos0-b1ccos0=0,则A,C⊥DC1. 同理可话，A:C⊥BD.又DC,∩BD=D,所以AC⊥平 面C,BD 所以是-1时4C1+海CD, 周测2空间向量基本定理 1B解析：：A'官·BC=(AB-AA)·(BC-BB)=(a c》·(b-c)=a·b-a·c-b·c十c=0-0-0十1■1， 六osAi,B花=Ai.花 1 B万X厅 2.D解析：四为E是枝CD的中点，成=号证。 所以A-A店+脉=A+号配=A苏+子(A花-A) 号证+号=号花+A动+前=号花+吉花斗 子.故选D 3A解桥：因为MN=A-Ai=A-子AC =Ai+BN-(Ai+A市+AA =A+号AA-吉Ai+Ai+Ad =+号a-}A市 所以=√后+云P+与动部-。 4,D解析：如图所示，取PC的中点E,连接NE,则MN -i=可-(i-p)=号i-(号元 3 }成)=成-成=-}访 吉-++动-号动 日A矿+日A拉，比较知r= -=名故选D .c解桥：由o成i-试+i+试得，80m-成+ O+0元， 所以(Oi-Oi+(OM-O)+(OM-G心)=0，即AM+ BM+CM=0, 所以M=-M市-M心. 所以MA,M.M心为共面向量，故A错误. 对于进项B,D,易知MA,M店，M心共面，故速C. 6.B解析：连接CE,则AC-Ai+Ai+AA,C定=CC+ C正=A-是+A 设正方体的棱长为1，于是AC·CE =(A+A市+AA·(-店-2A) =0-支-0+0-0-+1-0-0=0， 故AC⊥C它，即AC与CE垂直. 7.ABD解析：对于A中a,2b,3e,B中a十b,b+e,e+a,D 中a十b十c,b,c,每组都是不共面的向量，能构成空间的一 个基底：对于C中a十2b,2b+3c,3a-9c满足3a-9C= 3[(a十2b)一(2b十3c)],是共面向量，不能构成空网的一个 基底， 8.ACD解析：选项A正确，若四点共线，则向量OA,O,O心 共面，构不成一个基底：选项B错误，若四点共面，则OA, O店，O心共面，构不成一个基底：速选项C正确，若四点共面，则 OA,O币，O心构不成一个基底：选项D正确，若有三点共线， 则这四点共面，向量OA,O,心构不成一个基底 9.一市-号4C+子市解析：中图，连 接AG并延长，交BC于点M,连接AE.别 成=证-花=A游+子励-号丽 +是市-)-号×号+花)=-品证 号+脑 (xe,十ye十ea)·e1=4, 10.8解析：由题意可得(re,十ye:十e)·e:=3, (xe1+ve2+e,)·e=5, 4 x+5=4, x=0, 即y=3, 解得y=3,所以x十y十2=8， 5t+:=5, x=5, 1,号解析：知圈，连接ON,设Oi=a,0丽=b,O心=c 则M=0N-0M=号(oi+0心-oi=b十 答案全解全析周测1空间向量及其运算 (时间，G0分钟分值，100拿 一，选择题本题其6小题，每小题分，具购分，在每小题给出的四个透项中，只有一项是特合驱 目要求的 恩上.下列各合题中，最腿的个数为 ①vata=lel, wA阳1·b=(nAe=(m,AER), a·(b+e)=(b+e·a: ①wb=b(a,备不其线) A.1 品 .3 D. 2.如图，在大小为45的二面角A-EF-D中，国边形A山FE,CDEF都是边长为1的正方形，则B, D两点间的距两是 A. 且. D.v1-园 袋3，知图，在直三棱柱AA,B,C,A,AL平面ABC)中，AC=AB=A4,=,答，=2AE=2.则 异而直战AB与A:C所成的角是 A.30 且.45 C.60 D.90 2m 第1随湖 第百超博 4对于室闻任一点0和不共线的三点A,B,C,若有炉-0十形+心，则x十y十：-中 是“P,A,B,C四点我而"的 A.必要不充分条件 B充分不必要条件 C.充要条作 D断不充分也不必要条利 瓦，图，在四使壁PACD中，底面ACD是边长为1的正方形，侧腔PA的长为2，且PA与 AB,AD韵所成角都等于60，若M是PC的中点，则E一 丘.投A,B,C,D是空间不北面的因点.且情足A店·C-0,AC.4可-0，方，A市-0，则 △CD是 A.饱角三角思 县税角三角形 C.直角三角形 山.等腰三角形 板二选择题《本题共？小股，每小题分，共1多分，在每小整给出的四个法项中，有多项悬荐合道日 要求的，全部速对的得5分，速对但不全的得2分，有意情的不得分) 7,知图，四边形AD是可四边形，E,H分期是AB.AD的中发，F,G分料 是c,上的众，且示-.心-.则 A武-二而 A-武 C.EF-HG D四边形EPG日是特形 &在正方作AC》-AH:C:D,中，下列食题正确的有 A(AA+A市+A店-A 我A,亡.A.6-AA)-0 C,A方，与A,百的夹角为80 D正方体的体积为A后，A,A 洛样题若题栏 颜号 答常 三，墙m(本量共4小题，每小最5分：共20分》 鱼，设1：是期个不其线的空向量，若可-2，一r:C可-3e,+3和，.可一单，十e,且A,B, D三点共线，则实数的值为 10已知空可向量g,b,满是a+b十c-0,a一3，b1一I-l一4.则▣·b十b·c十e·日的值 为 11,如图：0为△AC群在平指外一点M为以的中点，若AG=射店= (用ōi.0店.0表示). 12已知在平行六面体A面DA,品，C,D,中，以A为衡点的三条控长都等于1，且，e 筱比的夷角都是G0”,雨此平行六面体的对角线AC的长为 四，解菁师（本觅共3小题，共38分.解箭度写出文辛说明，江阴过程或清算步骤） 13(本小题满分2分)如图所求，在平行六置体ACDA,B,C,D,中，E,F分期在B,H和D,D 上.且E-脉DF-号pD (1)证明，A,E,CF四点共面 (2)试用AB.AD.AA,表示下 同测1警间角量及儿后取 14,木小圈满分12分)如图所承，已知空同四边形ACD的年紧边和对角线长霜等于1，点E,F, 1(本小想满分1！分)如图，已知平行六面体A联D-A:日，C,D,的联而A以D是菱形，且 G分别是AB,AD,D的中点，计荐， ∠C,GB=∠C,CD=∠BCD. (DEFBA (1)求i证：CC,1BD, 12)D,Bi: 2当2的值为多少时，拖使A,C⊥平面CBD?请给出正明。 (3)求G的长. 然 国翼测数学喜挥性必修第一质A酸