周测13 数学建模活动(三)-【蓝海启航·启航金卷周周测】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

10,解：(1)证明：过点C作CE⊥AB于点E,如图所示： 阿边形ABCD为等腰樽形，AB∥CD,AD=DC=1, E-. 又BC=AD=1.∠CEB=90°，则∠ABC=60°， 在△ABC中，由余孩定理祥AC=AB十CB一2AB· CBc0s60"=1+4-2=3, ∴，AC十CB=AB,即△ABC是直角三角形， ∴.AC⊥BC, 又AC⊥PC,BC∩PC=C.BCC平面PBC,PCC平 面PBC, ∴.AC⊥平面PBC, 又ACC平面ABCD,则平面ABCD⊥平面PBC: (2)由(1)得，AC⊥平面PBC,别AC⊥PB,又PB⊥BC, AC门BC=C,所以PB⊥平面ABCD.则建立以C为原点 的空间直角坐标系Cxy?,如图所示： AD=DC=1,AB=2,附A(3,0,0),B(0,1,0),P(0,123), 停，： 市-（停，-小-0128.i-w5 -1.-23). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,x), cp,n=y+2E:=0, “平西PCD的一个法向量为n=自v,-) 设直线PA与平面PCD的夹角为a, 六sina=leos(PA,n1=5 /51 34 2 故直线PA与手面PCD所成商的正孩值为一 11,解：(1)证明：设CP∩DE=G,速接FG,如图所示： ,国边形PDCE为矩形，，G为PC中点， 叉F为PA中点，.AC∥FG, 文FGC平面DEF,AC过平面DEF .AC∥平面DEF: 周周测数学选择性必修第一册BS ·6 (2)由题盒DA,DC,DP两两垂直，则建立以D为坐标原 点的空间直角坐标系，如图所示： PD=E,AB=AD=2CD=1,则B(11,0),C(0,2,0, P(0.02) BC=(-1,1.0).Cp=(0,-22). 设平面BCP的法向量为n=(x,y,), BC·n=-x十y=0. 市n=-2y+:=0 取y=1,别x=12一2， ∴.平面BCP的法向量为n=(1,1,√2)， :轴⊥平面ABCD, .平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1), m·nE “cos(m,n1=mm-2 故平面ABCD与平面BCP的类角为45： (3)由(2)得，F 1.0.),P(0,02),年面BCP的-个 交0,2) 法向堂为n=(1,1E), 云点F到举西BCP的距高d=P序，nl_乞 1 n 24 周测13数学建模活动（三） 1,D解析：被据题意，加大投入后每年比前一年增加了相同 颜度的敢益，故每年增加的收益为(50一30)÷2=10（万元）， 则从2019年至2026年每年的放益分别为30,40,50.60,70 80,90、100万元， 故遂收蓝为30+40+50+60+70+80+90十100=520（万 元).故选D 2.B解析：如图： C-60000bs 7elo 5c0 C-30000bs 4elo C-15000b/s 2e0 0 12345N 对于A,由S<e",N<4时，图中存在点满足C=30000≥ 15000,故A错误：对于B,由S<2e“,N>5时，图中所有，点 满是C<30000,故B正确：对于C,由C<60000,V<4时， 图中存在点满足S<3e",故C错误：对于D,由C<60000 时，当C=3000时，取N=3S=3e,元时月>e故D 错误.故选B. 品C解析：由题意可知，C(侵)产=0.4C,所以k(侵)广 lg0.4, 所以六子-g0,4所以片-01二22. lg 2 所以1=1一22.h1.32h.故选C 1g2 4.D解析：经过上天后，“进步”与“落后”的比为上二 0.8 1000,即(2)】 ≥10000. 3 两边取以10为底的对数得rg豆≥4： 即x(1g3-1g2)年x(0.477-0.301)=0.176r≥4， 解得r≥0.176*2.73， 所以大约经过23天后，“接步”是“落后”的10000倍，故 进D. 5.AD解析：特x=2代入T=80(子）'十20，得T=65: #=2代入T=60(停)厂+20，得T=0 故选择函数模型① 1 1g 由T=80()+20<60，可得≥ 1g2 2g2-1g3 2.5, 故该杯茶泡好后到处用至少需要等待2.5分钟.故选AD 6,BCD解析：设原价为1， 方案①：两次提价后变为1·(1十p%)(1十4%)=a, 方案@：两次提价后支为1·（自+生%）=6， 方案③：两次提价后变为1·(1+√0%)=， 由于p+g-2√pg=(p-g)>0,即p+>2pg: 10000u=(100+p)(100+g)=10000+100(p+q)+p, 10006=(o0+2生）=100+10(p+g)+ p+g)>100a,A特误，C正确： 10000e=(100+/pg):=10000+200√网+pg< 10000u,D正确：又生>网，剩b>,B正确：故速BCD, 7.22 解析：设光线的强度为x,至少重叠破璃的块数为n,则 x1-10%2<0.1 1 整理可得>og0.1=og20-1og,10三一-g1亿】 lg 10 1 g9-1g1021g3-可*21.8 故答案为：22 8.22.3 解析：当T=499时，C1=Wl0g:500 当T-1999时：C4-Wog:2000, 则C:一C,=W1og:2000-W1og:500=W1og4=2W, 6 所以C大约增加了w10g500 2W 2 21g2 =1og,50=g50 2g2 21g22×0.301 g1000-g23-1g2*3=0.302.3%, 即C大约增加了22.3%。 故答案为：22.3. 9.解：(1)茶水温度从85℃开始，即当r=0时，y=k十25= 85,解得k=60: (2)当a=0.9227时，y=60×0.9227+25, 当y=60时，60×0.9227+25=60，即0.9227=立 7 7 7 lg 12 ·工=10ga712=g0.9227 1g7-21g2-g3 1g0.9227 0.8451-2×0.3010=0.4716.7049. -0.0349 故刚泡好的龙井大釣需要放置7分钟才能达到疑佳饮用 口感 1400-2(10-t),2≤1<10， 10,解：(1)周为p(t)= 1400,10≤1≤20， 所以p(5)=400-2×(10-5)2=350. (5)的实称意又是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载 客量为350. /400-2(10-t),2≤t<10, (2)将p(1)= 1400,10-≤1≤20， 代入Q=6p),1500-60中可得Q= 6×[400-210-0]-150-6024<10, 6×400-1500 -60.10≤1≤20， 180-(12+809）2≤<10. 化商即可得Q 900 -60,10≤t≤20. 当2≤1<10时，Q=180-(2:+09）≤180-2· V1a.30 =60 当且仅当1=5时等号成立： 当10<20时，Q-四0-0<-60+90=30，每1=10时 等号成正. 综上可知，当发车时间间隔为5分钟时，孩线路每分钟的净 收益最大，最大为60元 11.解：(1)对于函数Q(x)=ax十b a+b=14, 根据题意，把点(1,14)，(2,12)代入可得 12a+b=12. =一2所以Q(x=-2x十16. 解将b16· 而，点(4.11).(10,10,4)均不在函数Q(x)=一2x十16的图 象上； 对于画数Q(x)=a十 答案全解全析 a+b=14, 根据题意，把点(1,14)，(2,12)代入可得 解 +女=12 a+ 将/0=10， b=4, 北时Q)=10+兰 此时(4,11)，(10,10.4)均在函数Q(x)=10十的图 象上， 所以Q)=10+产1cx≤30xN (2)由(1)知，P(x)=-|x-20|十60 =EN. 所以f(x)=P(x)·Q(x)= 10+)+40.1Kr≤20，reN (10+）-x+80),20<r≤30.xeN, 0x+160+404,1≤1≤20.x∈N, 即f(r)= -10r+320+796,20<r≤30，r6N, x 当1≤x≤20，x∈N财，f(x)=10x+160+404≥ 210r·+04=484 x 当且仪当10r=160时，即工=4时￥号成立， 当20<r≤30r∈N”时+x)=-10r+320+796为减 函数， 所以画数的最小值为/)一=f30)=496+8 熔上可得，当x=4时，虽数f(x)取得最小值484. 周测14基本计数原理排列问题 1,B解析：由分类加法计数原理知，有5十12十3十6=26（种） 不同走法，故选B 2,B解析：由分步计数原理易得该电路能正常工作的线路条 数为2×3=6条.故速B. A:+A8×7×6×5×4+8X7×6×55 3.A解桥：A-A-x8×7×6×5×-9×8X7×6%27 故选A 4,C解析：5名志愿者先排成一排，有A:种方法，2位老人不 相邻且不塘在两端，则梅入4个空中，有A种方法， 所以AA=140种不同的排法，数遂C 5.ABC解析：对于A,从16人中这1人，有16种速法，即A 正确：对于B,有3×8X5=120种选法，即B正确：对于C,有 3×13=39种不同的选法，即C正确：对于D,有1×13=13 种不阿的遗法，即D错误.故选ABC 6.ACD解析：对于A,(m十1)A=(n十1)·(m一m刀 n! (n十1)！ [n十1)-(m十1=A时，这项A正确： n! 对于B.A一m-m-1示一m一m十可，选项B错误： 周周测数学选择性必修第一册BS 6 n=nn-1D·(n-2)1=(m-2小，选项C 对千C,nn- n(n-1) 正确： A=1 对于Dn一m n! n! =n-m‘n=(m+1j-m刀 A,选项D正确，故选ACTD, 7.180 解析：按A,B、C,D顺序着色， A区块有5种着色方案， B区块有4种着色方章， C区块有3种着色方量， D区块有3种着色方策， 故不同的着色方法种数为5X4×3×3=180, 故答案为：180. 8.840 解析：7名学生的非列方法共有A种撸法，其中女生的排列 共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的 A=A=840(种)不同的排法. 一种，故有 故答策为：840. 9,解：(1)将和为11的数分组：(1,10).(2,9)，(3,8)，(4,7)， (5,6)共5组. 只要从这五组拿组中各取一个数就符合题意，每组有2种取 法，故有2=32个子集： (2)构造A的下列13个子集：1,7)，2,8}，3,9}，4,10}： {,11,6,12},{7,13},{1,8},{2,9},3,101,{4+11}, {5,12},{6,13),A中每一个数怡好属于2个子纂， 假设从A中取7个元素，由抽展原理如，其中必有2个元素 属于可一个子集，它们的差为6或7， 因此，A中任意7个元素都不能同时病于集合B,即B中最 多只有6个元素， 又B=1,2,3,4,5,6)中任嘉两数之差不等于6或7，此时符 合要求， .集合B中最多有6个元素。 10.解：1)A=nm则A=5,A=20.A=60.A= A=120, ∴.A+A+A+A+A=325: (2)3A=2A1十6A, 别3xr(x-1)(x-2)■2x(x十1)十6x(x一1)，化简整理可 得3-17十10=0，解得写=号发，=5， x≥3，x∈N”, ∴.x=5. 8! 8! 3)由A<6A,得8<6X0且3≤ r≤8， 化商得x一19x+84<0,解得7<x<12, 所以7<x≤8，由xEN+得x=8. 11,解：(1)先掩喵歌节目有A种排法，再排其他节目有A种 排法，所以共有AA:=1440(种)排法， (2)先排3个舞骑节目和3个曲艺节目，有A种排法，再从 7个空（色桥两端）中选2个排唱歌节目，有A种插入方 法，所以共有AA=30240(种)排法. (3)把2个相邻的号歌节日看作一个元素，再与3个淘艺节 目排列，共有A:种排法，再将3个舞路节目插入，共有A 种插入方法，最后将2个唱歌节目内部排列，有A:种排法， 故所求掩法共有A·A·A■2880（种）排法，周测13数学建模活动（三） (时同：相分钟满分：8如分》 一、选择题本恩共4个小题，每题百分，共的分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合愿 日要求的》 L家高农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新雪农业量营主体，某家宝农场从]》年开始 蓬年加大投人，相大授人后每年比前一年增加相同领度的收拉：已知)9年的数益为30万元 2021形的收益为50万元，艇此规谁，从2019年至202年该家农场的总收营为 ( A.630万元 L350万无 C,429万元 山，520万无 2研究表明在受噪声干找的信道中，在信通带宽不变时，最大信息传通逸带C(单位，b%)决于 平均信号功率S单位：W与平均晕声功率W《单位：W),在一定条件下.当g一定时，C随W 增大着减小，当N一定时.C随S增大面增大.如图填连了C与V及S的关系，媒下到说法正 确的是 C60b的 拟 1 2345N A.当5e,N<1f-C<15000 B当S2e“,N>5t,C<30000 C,当G0000,N<4时，5>e sC60o0时< 玉.C表示生物体内淡1的初始监量，经注：年后美14利余瓶量C1=C付)>0：A为酸计 半食则.线再得一古基内某生物体内孩14含量为心.C。,累此推其该生物是距今的多少年附的 生物（参考数据1g2=0.3011 1.35h 队1.346 C.1.32 D.1.300 4,著名田厨诗人则荆明也是一个大思题家，他曾言：助学虹存这之苗，不见其增，日有所长：镀学刻 板 需刀之石，不见其捐，日有所习，今天，我们可以用数学壤点来对这句话重新论释，我门可以起 “不见其增”量化为每天的进步率”都是1%，一年后是1,1：而把“不见其机”量化为每天的 “落后率”布是1%。一年后是a国.可以计算初到.。一年后的过多悬-信后的们二 a烟1僚那 么，如果有天的“进步率”和“落后津“都是20%，要使“进壶”是“落后”的1000阳修，大约蓄要经过 《1g20.01,g3U.47) A.17天 队19天 C,21天 1D23天 二、多顶选择题《本题共2个小题，每避6分，共12分，在每小整始出的四个选项中，有多随是特合 题目要求的.全相选对得后分，都分滋对得部分分，错滋威多选得0分) 8,现代研究结果星示，饮茶很度最好不夏超过60工，一杯素泡好后置于室内，1分钟，2分神测 得这杯茶的黑度分刚为0℃，5七，始出两个茶祖丁（单位，）美于茶池好后置乎室内时间 4(单位：分钟4∈N帕两数楼型：DT=5的+0，四T=和得+0，製那新给的数据，下列 结论中正商的是（参考数据：这2=，30，g3=0,48) A选拾情数模业① 县法择雨数规里② 仁该杯茶泡好后到饮用套少带登等待？分神 山，孩杯茶泡好后到饮用至少需要等待25分仰 G,某企业决定对某产品分持次提价，现有三种是价方案：①第一次慰价户%，第二次提价g人，心第 妆提价%，第二次提铃”生%，雪第一次凝价网站.篇二灰提价网%.其中>> ,比较上谁三种方案，下列说接中正请的有 A方案①鬓价比方案四多 以.方案修星铃比方案心多 C方案@据价比方案①多 D方案①据价比方案③多 选择题荠丽栏 塑号 答常 三，填空题卷题共2个小题，每整5分，共10分) 7.如果光线每通过一块玻璃其强度要或少10%，那么至少需受将 扶这样的玻精重叠起 米，才建使通过它们的光线强度纸于原来的0,1价，（参考数暑，g30,4771》 保，中同的：技术领先世界，技术极大地现高了数据传输速率，量大数国传输遮常C取谀于信 道带宽W,经件常联究表明：C与W满足CWg,(1+T》,其中T为信最比.若不改变碧宽 W,首将信照比于认9提升到1，则C大约增加%，（结果禄阳一位小数：参考数 据：g20.3010》 四，解答题（本题共1个小题，共8分，解答应写出文字说用，证用过程和演算步W) 生，（木小题满分10分 西阁龙并，中间十大名茶之一：属移茶，其产于新江省杭州市西潮龙并村周围样山：并因此名。 具有10多年历史，清乾隐游竟航州西湖时，盛装西菊龙并素，把撕峰山下胡公在黄的十人棵 茶柯封为“即茶“，其外形扁平挝秀，色泽绿零，内质清香辣醇：道在杯中，芽叶色绿，面盗制龙并 的口盛与木的惑崖有关：经验表明，在药飞室山下，龙井用5的本泡制，再等到茶水基度降 华G心℃时仗用，可以产生最性欲用口感.经过研究发现，茶水很度从8的℃开始，经道：分钟后 的星度为y且期足y=和”十25kER,0<4<1,x0, 刚两1山数学建视压动三) 《1)求常数的值 1L,「本小题横分15分》 (2经过测试可年=Q,227,求在雪室昌下，幅泡好的北并大约雷夏数置多长时0才能沾 某西业公司的橙蔡在交易市场过去的·个月内（以30天计，包括第30夫），箱：天蟀校的交易 到量住仗用口感？（结果精确到1分件） 价格P()(元)满足P(x》=G0一t一201场x30,EN”),第r人的日交易量Q(上)（万 (参考量据；g20.3010,lg10.4771.g?0.851.l以0.227m=0.034) 段)的第分数因如表： 地1天) 1 2 4的 Q()H了度 14118,4 1)龄出以下两种雨数核型，①Qz1-z十b②Q-g+ ,请你思摆上表中的数摆，从中 选华你认为最合适的一种函数核型来携送该取票目交易量Q(x(万股)与时间第工天的 数关系（简要说明理由，并求出流面数的关承式： (?)相据)的站论，求出孩取慕在这去一个月内第天的日交晷潮(r)的函数关装式。并求 其最小值， 10.(本小题满分13分1 已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔（单位：分）满足2？G20,EN,经洲算，电车线客 400-2(10-),36f10, 量户与发车时阳阳隔：离足：) 其中t∈N。 1400,106120, 《1)求p(5),并说明p5的实际意义： (2若孩线路每分件的净收楼为Q-卫100-0（元），当发车时间何隔为多少时，孩线 路每分钟的净收查最大？并求每分钟最大净收盛 州倒测数学，及择性必餐第一青5