周测12 向量在立体几何中的应用(二)(空间中的角 空间中的距离问题)-【蓝海启航·启航金卷周周测】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

周测12向量在立体几何中的应用（二） (空间中的角空间中的距离问题) 〔时间，40分种满分，80分) 一，选择本愿其4个小题，每思5分，共如分.在每小驱给出的四个选项中，只有一项是杆合 日要求的》 L.已知再量m=(2,0,一2)，屋=(1,1,1》分别为平面。~2的法向量，黑平面每与平面月的共角为 A.90 L60 C.45 D.30 ,如图，二童角AEFC的大小为5，四边形ABFE,DEF靠是边长为1的 正方形，则B,D两点闻的乐离 A回 且. C3-网 BV+丽 3.已知直规1过点A1。一1.一1》，且方向向量为国=(1.0.一1)，则点P(1.1.1)到1的距商为 A.2月 我石 C./3 D.@ 4,已知四棱柱1D-AB,C,D,的底面是正方君，AB一，A4,✉？2，若点引，在底面A倒) 的射影为BC巾点H,刚直线AD,与平面ACD所成角的正弦的为 平 业号 二，多项选择愿《本愿具？个小题，每是6分，具卫分，在每小驱给出的西个透项中，有多项是杆台 题日要求的，全部进对得日分，部分进对得部分分，墙选感多选得0分) 路 点.已知正三棱柱AC-A出，C1,若直线AC:与BB,所成角是45，写 A直线A,B,与B所成角是0 么直线A心与所成海的余然值是华 C,直线A4,与平直A4,C,所成角是4后 D.直线AB与平面A,AC℃，所成角是6行 G.如图，在棱长为2的正方体ACD-ABC,D,中，E,F分周为A目，AB的中 点：期下列结论正磷的是 板 A.点B到直线AC,的距离为后 玉直线C甲别平面AC的E高为 C直线，C与学面ABC,所底角的余驾值为得 、n宜线AG与直我B,F所我角的余独值为四 选择题答题栏 酒号 2 4 答案 三、填空避（本题共2个小题.每整5分，共10分） 气已知两异童直线，和1，的方向向量分别为，和，者@(-一，期，与(，听成角为 81图，在直角△4BC中，AB一1，BC=2,D为斜边AC上异干A,C的动点，若将么AD沿折有 BD智折，使点A斯至A,处，且二南角A-BD心的大小为，则线段A,C长度的最小值 为 四，解答题（本题共3个小题，共38分，解苦应写出文字说阴，证阴过程和演草步覆） 从.（本小题满分10分》 已知正四面体ADH所有棱长均朝等)的棱长为1，E,F,G,H分别是国衡体ACD中各棱的 中点，设AB一a,AC-b.AD=c,采用向量达解决下到问巡： 1)求E下的模长： (2)求EF,GH的类角 周周12内量在立体几间中约亿用（二》 10,(本小题清分13分) 1L,「本小题满分15分) 在四依银P-ABCD中，四边形ABCD为等鞭蜂形，ABCD,AD一DC-1,AB一2，AC⊥P. 如图.PD平直于梯形A做D所在半面：∠ADC-∠BAD-0,F为PA的中点，PD一严， 《1》任明，平育A1D⊥平面P以C: 《2若PB⊥C,PB一2，求直线P4与平山PD所成角的正驾值 AB=AD=D=1,因边形PE为矩悬， (1)求证.AC平面DEF, (2)求平面A此D与平面P的莫角的大小： 3)求点F到平南P的把离 每 州倒测数学，及择性必餐第一青5 2411.解：(1)任明：在直三枚柱ABCA1B,C中，AC=3,BC= 4,AB=5,别AC十BC=AB,所以AC⊥BC,AC,BC, (CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,(CB,C℃1分刷 为x轴，y轴，x袖，建立空间直角坐标系，别C(0.0,0): A(3,0,0),C(0.0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4) AC=(-3,0,0),BC=(0,-4,4), ∴AC.BC=0,即AC⊥BC, .AC⊥BCt. (2)假设在AB上存在点D,使得AC,∥平面CDB,则 AD=AB=(-3x,4以，0)，其中0≤1≤1，则D(3-3x,4以，0)， B,D=(3-3弘4-4：-)， 又B,C=(0,-4,-4),AC=(-3,0,4),AC1∥平面 CDB:,所以存在实数m,,使AC=mB1D+nB,C成立， .m(3-3入)=-3，m(4航-4)-4n=0,-4n-4n=4, A=子在AB上存在点D,能得AC∥年面CDB,且 D为AB的中点. 周测12向量在立体几何中的应用（二） (空间中的角空间中的距离问题) 1A解析：m=(2,0,一2)，n=(1,1,1), .m·n=2×1+0×1+(-2)×1=0. ..mn. .平面a与平面3的夹扇为90”，故选A 2.C解析：在正方形ABFE,CDEF中，DE⊥EF,EF⊥FB, CF⊥EF, ,二面角A-EFC的大小为45，∴，∠BFC=45, 成.成-成ia1=1x1x(》-号 又Di=Di+EF+Fi, ∴1D1:=D2+EF+Fi1中+2DE.Fi+2DE· E市+2E求.Fi=1+1+1-2=3-2, D引=√3-2，故选C 3.B.解析：点A(1,一1，一1)，点P(1,1,1), “Ap=(0,2,2, ·|AP1=/0+2+2=22, 又直线1的方向向量为m=(1,0,一1) 点P(1,1,1)到1的距离d= 4.C解析：：点B,在底面ABCD的射影为BC中点H,则 B,H⊥平面ABCD, 义四边形ABCD为正方形， 以点H为坐标原点，BA、H心，HB的方向分别为x,y: 抽正方向建立空间直角坐标系如困所示， 周周测数学选择性必修第一册BS ·60 ,B,H⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, :.B,H LBC, AB=2.AA=2/2, .B,H=√BB-BH-√8-I-√7， ∴.A(2,-1,0)、D(2,1,0).B(0,-1,0),B1(0,0WF), :AD=AD+DD,=AD+BB,=(0,2,0)+(0,1,7)= (0,3万)， 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), ∴.c0sAD,n》= AD·nF7 1AD11n4X=车， :直线AD,与手面ABCD所成角的正经位为只，戴选C 5,ABD解析：周为CC1∥BB:,所以∠AC,C即为克线AC,与 BB,所成的角，则∠AC,C=5,则AC=CC, 在正三棱柱ABCA,BC,中，AA⊥平面ABC,△ABC为 正三角形， 取AC中点O,以O为原点，OB所在克线为x轴，O℃所在 直线为y抽，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC=C℃1=2，则0(0,0,0)，A(0,-1,0》,B(5,0,0), C(0.1,0).A(0.-1,2),B1(3,0,2).C(0,1,2) 所以Ai=(W3,1,0).A1B=(w3.1,0).C=(-尽，1,0)： AC=(0,2.2).AA=(0.0,2),B1C=(-3,1.0), 所以c0s(A,B,BC)|= A可·03-合则 1AB1C12×2 直线A,B,与BC所成角是60”，故A正确： 又|cos(AC,BC)1= AC·BC 2 ACBC“22X2=子，则直线 AC,与BC所成商的余孩值是号，故B正嘛： 设平面AB,C的法向量为m=(红，y,z), m·AC=2y+2=0, m·BC=一V3x十y=0, 令x=1,别m=(1W5,-5), 则直线AA:与平面AB:C,所成角的正教值为 1mm不)=m·-2E-厚故特： m|AA12×厅7 易知平面A1ACC,的一个法向量为n=(1,0,0), 所以直线AB与平面A,ACC所成角的正孩值为 1 cos(nB=n·A忘_5 mAB 2' 则直线AB与平面A1AC℃所成角为60°，故D正确，故 选ABD. 6,ABD解析：在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E, F分别为A:B,AB的中点， 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如园所示， 则B(2,2,0A(2,0.2,C1(0,2,2),AB=(0,2,-2),A,C (-2,2,0) 则，点B到直线AC的距离为d=1A,B|· /AB·A,C 1- BIAC =22·√1-（2,2E =6,故A正确： 又A(2,0,0),F(2,1,0),E(2,1,2),C(0,2,0), 则C求=(2，-1,0)AE=(0,1,2).AC=(-2,2,2).AF (0.1,0), 设平面AEC1的法向量为H=(x,y,)， 则"正-y+2=0, 取x=1,得n=(1,2,一1)， n·AC=-2r+2y+2:=0. CF∥年面AEC1,,直线CF到平面AEC的距离为d A产·n2E n √6 =3,故B正确： 设直线A,C1与平面AEC1所成角为B, 则如9=ACn=2E A,C11n22X后=6，故C错课： 又B1(2,2,2).BF=(0,-1,-2), 设直线A,C与直线B1F所成角为日 则直线A:C1与直线B,F所成角的余弦值为Os9= A,C·BF1 2=0 A,CI1BF22510 ,故D正确.故选ABD 7.60 解析：因为cos1:》=一之 所以异面直线1与1：所成角为60°， 故答案为：60°. 8.2 解析：过点A1,C分别作直线BD的垂线，整是依次为 M.N. ·61 ∴A,C=A立+MN+NC,AM.MN=0,NC.MN=0, 记∠A,BD=a:则ee(0,受） Ai1=sina,Nc=2sin(受-a）=2cose, :二面角ABDC的大小为受N心，M的夹商为受 N花，Ai=-N花，M=-N1Meos号 -sin acos a. 且1=|B1-Bi1|=2eos(受-a）-osa 12sin a-cos al. Ac=(AM+M本+N心)=1AMP+1M+ INC'+2NC.A M=sin a+(2sin a-cos a)'+(2cos a)'- 2 sin acos=5-3sim2a≥2， AC≥E,且当im2a-1,即a-票时，等号成立， 故线AC长度的最小值为厄， 故答案为：厄， 9,解：(1)正四面体ABCD的校长为1，E,F,G,H分别是四面 体ABCD中各棱的中点， AB=a.AC=b.AD=c. 成-2成-C-)=b- 正-访- 成-丽+耐+亦-合b-)-a+名e 1 2(c a-b), 六=专c-0时 =号V6+a+b-2ac-2b…c+2ab =号1+-2X1X1m司-2X1X1司+2X1X1司 (2)由()知，正四面体ABCD中，E成=号(c-a-b), 成-号， 同a丽=+c.G-号， ∴cos(Ef,Gi)= EF GH EFIIGHI -a-b…6+e-o 1 e-aP-b灯 =1+1-2X1×1ms60-1 =0, :E与Gi的夹角为90 答案全解全析 10,解：(1)证明：过点C作CE⊥AB于点E,如图所示： 阿边形ABCD为等腰樽形，AB∥CD,AD=DC=1, E-. 又BC=AD=1.∠CEB=90°，则∠ABC=60°， 在△ABC中，由余孩定理祥AC=AB十CB一2AB· CBc0s60"=1+4-2=3, ∴，AC十CB=AB,即△ABC是直角三角形， ∴.AC⊥BC, 又AC⊥PC,BC∩PC=C.BCC平面PBC,PCC平 面PBC, ∴.AC⊥平面PBC, 又ACC平面ABCD,则平面ABCD⊥平面PBC: (2)由(1)得，AC⊥平面PBC,别AC⊥PB,又PB⊥BC, AC门BC=C,所以PB⊥平面ABCD.则建立以C为原点 的空间直角坐标系Cxy?,如图所示： AD=DC=1,AB=2,附A(3,0,0),B(0,1,0),P(0,123), 停，： 市-（停，-小-0128.i-w5 -1.-23). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,x), cp,n=y+2E:=0, “平西PCD的一个法向量为n=自v,-) 设直线PA与平面PCD的夹角为a, 六sina=leos(PA,n1=5 /51 34 2 故直线PA与手面PCD所成商的正孩值为一 11,解：(1)证明：设CP∩DE=G,速接FG,如图所示： ,国边形PDCE为矩形，，G为PC中点， 叉F为PA中点，.AC∥FG, 文FGC平面DEF,AC过平面DEF .AC∥平面DEF: 周周测数学选择性必修第一册BS ·6 (2)由题盒DA,DC,DP两两垂直，则建立以D为坐标原 点的空间直角坐标系，如图所示： PD=E,AB=AD=2CD=1,则B(11,0),C(0,2,0, P(0.02) BC=(-1,1.0).Cp=(0,-22). 设平面BCP的法向量为n=(x,y,), BC·n=-x十y=0. 市n=-2y+:=0 取y=1,别x=12一2， ∴.平面BCP的法向量为n=(1,1,√2)， :轴⊥平面ABCD, .平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1), m·nE “cos(m,n1=mm-2 故平面ABCD与平面BCP的类角为45： (3)由(2)得，F 1.0.),P(0,02),年面BCP的-个 交0,2) 法向堂为n=(1,1E), 云点F到举西BCP的距高d=P序，nl_乞 1 n 24 周测13数学建模活动（三） 1,D解析：被据题意，加大投入后每年比前一年增加了相同 颜度的敢益，故每年增加的收益为(50一30)÷2=10（万元）， 则从2019年至2026年每年的放益分别为30,40,50.60,70 80,90、100万元， 故遂收蓝为30+40+50+60+70+80+90十100=520（万 元).故选D 2.B解析：如图： C-60000bs 7elo 5c0 C-30000bs 4elo C-15000b/s 2e0 0 12345N 对于A,由S<e",N<4时，图中存在点满足C=30000≥ 15000,故A错误：对于B,由S<2e“,N>5时，图中所有，点 满是C<30000,故B正确：对于C,由C<60000,V<4时， 图中存在点满足S<3e",故C错误：对于D,由C<60000 时，当C=3000时，取N=3S=3e,元时月>e故D 错误.故选B.