周测11 向量在立体几何中的应用(一)(直线的方向向量与平面的法向量 用向量方法研究立体几何中的位置关系)-【蓝海启航·启航金卷周周测】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

周测11向量在立体几何中的应用（一）（直线的方向向量与 平面的法向量用向量方法研究立体几何中的位置关系) 〔时间，40分钟满分，如异) 一，选择题《本题其4个小题，每题得分，具的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是样合圆 日要求的 1,已知一直线经过两点1(2,32.B(一1,0,5)，则下刘向量中不是该直线约方向向量的为 Ag=1,1,11 B.s-4-1,-.l》 C.a=(-3,-3,81 0a=(1.1,-10 2.过空间三点A(自，1,0)，（日，0,1），C(0,1,1)的平面的一个达向量是 A.1.1,10 且(1,1，-10 C.1,0,1) D(-1,0.1 袋3，已知直线1的方向向量为u=《1,一2)，平面。的法向量为=《-2,4,64∈民)，若2a: 期一 A.-2 且.2 C.6 D.10 4,如图所示，正方体A)AB,C,D,中.E,F分房在A,D,AC上，且A,E= 影A,D,AF-AC则 A.F至多当A:D,AC之一垂直 我EF与A,D,AC都垂直 C.EF与BD,相安 DEF与D,异留 二、多项法择慧（本慧共？个小题，每题行分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是特台 节题日要求的.全部选对得6分，部分慧对得部分分，蜡选成多透得0分) 5.在如图断示的正方体ABCDA.B,CD,中，E,F,G分别是顿BB:·AD,A4:的中点，刚下列 说法量误的是 景板 ADF⊥H,C 且.PGD,E CG⊥平面AD,E DBF年面AD,B 6.在正四面体ACD中，E,F分别是C,AD的中点，平面ADE的法向量为n,附下列结论正睛 的是 A.配，A正+正-0 且.EFBD C.AD是平直BCF的法向量 D.BC/ 这择题苦题栏 翻号 2 4 答案 三，填空雕本量共2个小题.每题5分，共10分》 7,已知平雍a的一个达向量为W=一2，一2.1)，点A(一1，一3：0)在平面g内，若点B(m,0,2一w》在 平面g内，期m &在棱长为1的正方体A以DABC,D中，E为，的中点.P,Q是工方体表置上相异两点.满 是BP上A,E,Q⊥A,上，若P.Q均在平面A,B,CD,内，则Q与的的位置关系是： A,P的最小值为 四.解答道〔本题共3个小题.共38分，解答应写出文字说明，证阴过程和清算步露) ,本小题满分10分) 在空可直角坐标系中，已知向量a一(x,-1,2),b一《2，￥，11，其中￥，y∈R,,b分则是平面a 与平面3的法向量 (1)若a9,求y的值： 2)若a⊥3，且1一3，求1，y的植. 司测】库悬在立体几料中的院用一) 10,木小思满分13分1 11.〔本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABCA,BC,中，AB⊥AC,AB一AC一AA,D为BC的中点. 如图所茶，在直三棱柱ABC-A:BC,中，AC一a,C一1.AB-5,A4,一4： (1证明：A,B,羊雀ADC: (1)求证：AC⊥BC,d 《2)任明，平在AD⊥平真B,C,C. (2)在AB上是否存在点)，使得AC,平直D山，若存在，输定D点位置并境明理由，若不存 在，说明理由 国风测数学喜挥性必修第一质6 ·2·=+A+2C-A =号A丽+AA+AC =A-Ai=一a花+子a+花 :MN=xAB+yAC+:AA产 x+g+:= 故答家为：子 9,解：(1)空闻向量a=(2,4,-2),b=(-1.0.2),c=(x,2,-1D. 图为a∥e, 所以存在实数k,使得c=ka, r=2k, 所以〈2=4k, 解得x=1, -1=-2k· 则|e=√/+2+(-1)F=√6： (2)因为b⊥c, 则b·c=一x十0-2=0，解得x=一2， 所以e=(一2,2，-1)， 故cosa,c)=a1c a·e =-2X2+2×4+(-D×(-2-6 /4+16+4×√4++T 10.解：由CF=2DF得，DC=3DF, 则成=励+成=成+成+号=成+ Di+号Di-Di=是Di+Di-D成=a+ go-gc (2)由(1)得，F=20+2b 3c 所以|F龙= 1 1: za+zb-3e -b·e= ×4+ ×3+ -×4×3× 1一1×4×3× ×3×3X 23 127 2=4 所以1F馆=3 21 11,解：I)证明：以D为皇标原点，DA,DC,DD所在直线分 剂为工袖，y触，之抽，建立如围所示的空间直角坐标系， D 则D0.0.0.E(002)C(0,1,0F(侵号0) c012) 周周测数学选择性必修第一册BS 5 所以时-（侵子-），亦=（分-是），- (1.0.2).c=(0.-1,2)月 周为序.乎=×分+×()+()×0=0 所以EF⊥C市，呷EF⊥CF, (2)周为成.=2×1+2×0+()×号= 成-√侵)+)+() -√F++)- 设直线EF与CG所成角为日， 所以c0s9=|c0s(E示，d心)1= E求.C心 4 IEFIICGI 压 15 故并面直线EF与CG所成角的余猴位为压 15 3cE=1-√+(-1+(- 周测11向量在立体几何中的应用（一） (直线的方向向量与平面的法向量 用向量方法研究立体几何中的 位置关系) L.A解析：由题知，AB=(一3，一3,3)，则与向量A官共线的 非零向量均为该直线的方向向量，A选项中的向量(1,1,1) 与AB不共线，所以不是直线AB的方向向量，数选八 2.A解析：AB=(0,-1,1).4C=(-1,0,1. 设平面的法向量为a=(x+y,:). 由题意知，a·A书=0a·AC=0。 所以{厂十二0解得， 1-x十x=0, y=, 令x=1,得平面的一个法向童是(1,11).故选A 3.D解析：直线1的方向向量为M=(1,一2,1)，平面a的法向 量为n=(-2,4,k)(k∈R),图为l∥a+ 则4⊥n,即4·n=0,即1×(-2)十(-2)×4十1×k=0,解 得k=10.故透D. 4,B解析：分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，轴建立空阿 直角坐标系D-ry:(图略)，设正方体的校长为3，附A(3,0, 0).C(0,3.0),D(0,0,0),A(3,0,3),E(1,0,1).F(2,1,0) B(3,3.0),D1(0,0,3) Ai=(-3,0,-3).AC=(-3,3,0),E=(11.-1), BD1=(-3,-3,3). ∴A.,EF=0.AC.EF=0. AiLE京，A心⊥E求， A,D⊥EF,AC⊥EF 又BD=一3E京，所以BD:∥EF,故选B. 5,ABC解析：以D为原点，以DA,DC,D心，为方向向量建 立如图所示的空间直角坐标系Dxy:,设AD=2,别有关点 及向量的坐标为A(2,0,0),B(2,2,0).C(0,2,0),E(2,2,1), F(1,0.0).G(2,0,1).B(2,2,2,D1(0,0,2),D1F= (1,0,-2),B,C=(-2,0,-2),Fi=(1.0,1).D,E (2,2,-1),D,A=(2,0,-2).BF=(-1,-2,0). D DF.B,C=(1,0,-2)(-2,0,-2)=20,D,F⊥B,C不 成立，故A错误： 因为？产，所以F花/D它不成立，即FG∥D,E不成立， 0 故B错误： FG.D,E-(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0，数FG⊥平面 AD,E不成立，故C错溪： 设平面AD,E的法向量为n=(x,y,x), 时·D=0为2-=0 n.D,E=0.l2x+2y-x=0. 取x=2,则z=2,y=-1,别n=(2.-1,2). 因为BF·m=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,文BF正平面 AD,E,故BF∥平面AD,E,故D正确，故选ABC. 6.ACD解析：对于A,E为BC的中点，则有BC⊥AE,BC⊥DE, 则EC·(A正+D)=BC,A正+BC.D正=0，A正痛： 对于B,EF与BD为异面克线，B错误： 对于C,F是AD的中点，则AD⊥BF,AD⊥CF,别AD⊥平 面BCF,故AD是平面BCF的法向童，C王确： 对于D,由于BC⊥平面ADE,平面ADE的法向量为n,则 有BC∥n,D正确：故选ACD. 7.-2 解析：，平面：的一个法向量为n=(一2，一2,1)，点 A(-1,-3,0)在平面：内，点B(m,0,2-m)在平面a内 ·AB=(m十1,3,2-m),.AB·n=-2(m+1)-6十 2一n=0,.m=一2. 故答案为：一2 8平行3 解析：以D为原点，以DA,DC,DD所在的直线分别为x· y,:轴建立空间直角坐标系，如图所示， ·59 则A1,0,1),E(0.1,）B1.1,0),因为P,Q均在平面 A,B,CD内，所以设P(a,b,1),Q(m,,1)(ma,n 6)A=(1.1,-号）B前=(a-1b-1.1,脑- (m-1,n-1,1).因为BP⊥A,E.BQ⊥A,E, .A正-a-+6-0-专=0， 所以 脑.AE=-(m-10+(a-1》-号=0， 1 b二a-2'故n-6=m-a,则P戒=（m-4,n-6, 解得 1 n一m=2 0)=(n-b,n-b,0),又DB=(1,1,0), 所以PQ与BD的位置关系是平行： 因为6一a=豆则AP=√a一D+6= √a-w++-√+-√a-+ 喜a-时A,P泉花小值，最小值为吧 32 故答为：平行 4 9.解：1)a∥b, 1 1y=-2 (2)a=3, .x+1十4-3，解得x=士2， 又aLb, .2x-y+2=0 故x,y的值为x=2,y=6:r=一2，y=一2. 10.证明：(1)'在直三棱柱ABC-A B,C,中，AB⊥AC, 以AL为原点，A,C1为工抽，AB1为y抽，AA为z 抽，建立空间直角坐标系， 设AB=AC=AA,=2, 则A1(0,0,0),B(0,2,2),A(0,0,2),C(2,0,2), D(1,1,2),C(2,0,0), A,B=(0,2,2).Ai=(1.1,0).AC=(2,0,-2) 设平面ADC,的法向量n=(r,y,:), 期花=+y=0, m·AC=2r-2:=0, 取x=1,得n=(1,一1,1)， n·A,B=0-2+2=0,且A,Bd平面ADC1· .A:B∥平面ADC1, (2)DC=(1,-1,0).DC=(1,-1,-2), 设平面BBC,C的法向量m=(ab,c》, 则m·元=a-6=0, m·DC=a-b-2c=0 取a=1,得m=(1,1.0). 又平面ADC:的法向量n■(1，一1,1)， n·m=1一1十0=0， .平面ADC:⊥平面BB,C,C. 答案全解全析 11.解：(1)任明：在直三枚柱ABCA1B,C中，AC=3,BC= 4,AB=5,别AC十BC=AB,所以AC⊥BC,AC,BC, (CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,(CB,C℃1分刷 为x轴，y轴，x袖，建立空间直角坐标系，别C(0.0,0): A(3,0,0),C(0.0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4) AC=(-3,0,0),BC=(0,-4,4), ∴AC.BC=0,即AC⊥BC, .AC⊥BCt. (2)假设在AB上存在点D,使得AC,∥平面CDB,则 AD=AB=(-3x,4以，0)，其中0≤1≤1，则D(3-3x,4以，0)， B,D=(3-3弘4-4：-)， 又B,C=(0,-4,-4),AC=(-3,0,4),AC1∥平面 CDB:,所以存在实数m,,使AC=mB1D+nB,C成立， .m(3-3入)=-3，m(4航-4)-4n=0,-4n-4n=4, A=子在AB上存在点D,能得AC∥年面CDB,且 D为AB的中点. 周测12向量在立体几何中的应用（二） (空间中的角空间中的距离问题) 1A解析：m=(2,0,一2)，n=(1,1,1), .m·n=2×1+0×1+(-2)×1=0. ..mn. .平面a与平面3的夹扇为90”，故选A 2.C解析：在正方形ABFE,CDEF中，DE⊥EF,EF⊥FB, CF⊥EF, ,二面角A-EFC的大小为45，∴，∠BFC=45, 成.成-成ia1=1x1x(》-号 又Di=Di+EF+Fi, ∴1D1:=D2+EF+Fi1中+2DE.Fi+2DE· E市+2E求.Fi=1+1+1-2=3-2, D引=√3-2，故选C 3.B.解析：点A(1,一1，一1)，点P(1,1,1), “Ap=(0,2,2, ·|AP1=/0+2+2=22, 又直线1的方向向量为m=(1,0,一1) 点P(1,1,1)到1的距离d= 4.C解析：：点B,在底面ABCD的射影为BC中点H,则 B,H⊥平面ABCD, 义四边形ABCD为正方形， 以点H为坐标原点，BA、H心，HB的方向分别为x,y: 抽正方向建立空间直角坐标系如困所示， 周周测数学选择性必修第一册BS ·60 ,B,H⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, :.B,H LBC, AB=2.AA=2/2, .B,H=√BB-BH-√8-I-√7， ∴.A(2,-1,0)、D(2,1,0).B(0,-1,0),B1(0,0WF), :AD=AD+DD,=AD+BB,=(0,2,0)+(0,1,7)= (0,3万)， 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), ∴.c0sAD,n》= AD·nF7 1AD11n4X=车， :直线AD,与手面ABCD所成角的正经位为只，戴选C 5,ABD解析：周为CC1∥BB:,所以∠AC,C即为克线AC,与 BB,所成的角，则∠AC,C=5,则AC=CC, 在正三棱柱ABCA,BC,中，AA⊥平面ABC,△ABC为 正三角形， 取AC中点O,以O为原点，OB所在克线为x轴，O℃所在 直线为y抽，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC=C℃1=2，则0(0,0,0)，A(0,-1,0》,B(5,0,0), C(0.1,0).A(0.-1,2),B1(3,0,2).C(0,1,2) 所以Ai=(W3,1,0).A1B=(w3.1,0).C=(-尽，1,0)： AC=(0,2.2).AA=(0.0,2),B1C=(-3,1.0), 所以c0s(A,B,BC)|= A可·03-合则 1AB1C12×2 直线A,B,与BC所成角是60”，故A正确： 又|cos(AC,BC)1= AC·BC 2 ACBC“22X2=子，则直线 AC,与BC所成商的余孩值是号，故B正嘛： 设平面AB,C的法向量为m=(红，y,z), m·AC=2y+2=0, m·BC=一V3x十y=0, 令x=1,别m=(1W5,-5), 则直线AA:与平面AB:C,所成角的正教值为 1mm不)=m·-2E-厚故特： m|AA12×厅7 易知平面A1ACC,的一个法向量为n=(1,0,0),