第四章 图形的相似 回顾与思考　课件2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第四章 图形的相似 回顾与思考 一、线段的比和成比例线段的定义 如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ,n .那么两条线段的比 . 四条线段a , b , c , d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a , b , c , d叫做成比例线段，简称比例线段. 要点梳理 比例的基本性质─ 比例的合比性质─ 比例的等比性质─ 比例的更比性质— 二、比例的性质 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 A C B 那么称线段AB被点C 点C叫做线段AB的 AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比 ≈0.618 黄金分割 黄金分割点 黄金比 三、黄金分割 1.定义： 三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形. 四、相似三角形的定义、判定、性质 2.判定定理： （1）两角相等的两个三角形相似 （2）三边对应成比例的两个三角形相似 （3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.性质： （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比 ★相似三角形周长的比等于 相似比 ★相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ★相似多边形的周长比等于 相似比 ★相似多边形面积的比等于 相似比的平方 五、相似三角形的应用 （1） 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2） 测距 例如用相似测物体的高度 A B C E D 1.6m 8.4m 1.2m 测山高 测楼高 测内孔直径 A B D E F G H 求最大值与最小值 C 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形. ★这个点叫做位似中心. ★这两个相似图形的相似比又称为位似比. ★位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 六、图形的位似 3.体会位似图形何时为正像何时为倒像. 2.如何作位似图形(缩小). O P 1.如何作位似图形(放大). A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P 七、位似图形的作法 一、成比例线段及性质 1.若，则 ( ) A A.6 B. C.1 D. 2.已知，则 __. 3.已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则 的值是___. 9 练习与提升 12 二、平行线分线段成比例 4. 音乐 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平 行横线组成的，同一条直线上的三个点，， 都在横线上. 若线段，则线段 的长是( ) C A. B.1 C. D.2 第5题图 5.如图，直线，交于点， ， 若，，，则 的值为__. 13 6.如图，中，，为边的三等分点，为上一点，且， 与相交于点，连接并延长交于点，则 的值为___. 3 第6题图 14 三、相似三角形的判定及性质 第7题图 7.如图，在与中，，要使 与 相似，还需满足下列条件中的( ) C A. B. C. D. 第8题图 8.如图，在矩形中，，，是 边 上的一个动点，则当与相似时， __________. 2或8或5 15 9.如图，，，点 是线段上的一点，且.已知，， . （1）证明： ； 解：证明：，， ， ， ， ， ， . （2）求线段 的长. 解： ， ，， . 16 四、相似三角形的应用 第10题图 10.如图，在中， ，直尺的一边与 重合， 另一边分别交，于点，.点，，， 处的读数分 别为15，12，0，1，若直尺宽，则 的长为 ( ) B A. B. C. D. 17 第11题图 11. 数学文化 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度， 表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，， ，在同一平面内，点，， 在一条水平直线上.已知米，米，米， 米， 18.2 人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端 ，可求出塔的高度.根据以上信息， 塔的高度为_____米. 18 12. 创设真实问题情境 如图是一个常见铁夹的侧面示意图，， 表示 铁夹的两个面，是轴，于点，已知， ， ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出， 两点间的距离. 19 解：作出如图示意图，连接，，延长交于点 . 铁夹侧面是轴对称图形， 是对称轴， ， . ， ， ， . ， ，解得 ， . 答：，两点间的距离为 . 20 五、位似图形 第13题图 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点 为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点 的坐标是( ) D A. B.或 C. D.或 第14题图 14.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，， ，若四边形与四边形关于原点 位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点 的坐标为______. 21 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，原点 是位似 中心，且.若点的坐标是，则点 的坐标是__________________. 22 16.已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为， ， .（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度） 23 （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点 的坐标是________； 解： 24 （2）以点为位似中心，在网格中画出，使与 位似，且 相似比为，点 的坐标是______； 解： （3）求 的面积. 解：的面积为 . 25 17. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量旗杆高度. 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸 板、标杆、镜子，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然 后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度. 26 方案一 方案二 … 测量 工具 标杆，皮尺 自制直角三角形硬纸板，皮尺 … 27 方案一 方案二 … 测量 示意 图 图①说明：线段 表示学校旗 杆， 表示标杆.小明的眼睛到 地面的距离，测点 与， 在同一水平直线上， ，， 之间的距离都可以直接 测得，且，，，，， 都 在同一竖直平面内，点，， 三点在同一直线上 _______________________________ 图②说明：线段表示旗杆， 为直角三角板，斜边 .小明的 身高，测点与 在同一水 平直线上，， 之间的距离可以直接 测得，且，，，，，， 都 在同一竖直平面内，点，， 三点 在同一直线上，点，， 三点在同 一直线上. _________________________________ … 续表 28 方案一 方案二 … 测量数 据 ， 之间的 距离 ， 之间的距离 … ， 之间的 距离 的长度 … 的长度 的长度 … … … 根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆 的高度.(结果精确到 续表 29 解：方案一：如图①，过点作交于点，交于点 ，则四边形 ，四边形 都是矩形， ， . ， ， ，即，解得 . 方案二：， ， ， ，即，解得 . 答：学校旗杆的高度为 . 30 $$