4.4 探索三角形相似的条件 第4课时　课件2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第4课时 黄金分割 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 学习目标 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 导入新课 知识点1 黄金分割的定义 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示. (1)从图中找出相等的角、相等的线段. (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形 小亮认为， . 你同意他的看法吗？说说你的理由. 知识讲解 定义 L K D E G H F A B C 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果 ， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 一条线段有几个黄金分割点？ 例 计算黄金比. 解：由 得AC2=AB·BC. 设AB=1，AC=x，则BC=1-x. ∴x2=1× (1-x). 即 x2+x-1=0. 解这个方程，得x1= x2= (不合题意，舍去). 所以，黄金比 知识点2 黄金分割的应用 黄金分割被应用于各种艺术品创作与建筑当中 古希腊时期的巴台农神庙 想一想 图1是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我 们可以惊奇地发现， .点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 图1 图2 点E是AB的黄金分割点 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. （即 ）是黄金比 拓展:黄金分割点的作法 方法一： 如图，已知线段AB， （2）连接DA，在DA上截取DE＝DB； （3）在AB上截取AC＝AE； 点C即为线段AB的黄金分割点. A B D E C （1）过点B作BD⊥AB，使BD＝ AB； （1）以线段AB为边作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至点F，使EF＝EB； （4）以AF为边作正方形AFGH； A B D C E 点H即为线段AB的黄金分割点. F G H 拓展:黄金分割点的作法 方法二： 如图，已知线段AB， 黄金比 定义 黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 课堂小结 知识点一 黄金分割的概念 1.如图，点是线段 的黄金分割点，则下列各式正确的是( ) B A. B. C. D. 当堂练习 14 2.如图，是叶脉的黄金分割点，则 ( ) A A. B. C. D. 15 知识点二 黄金分割的应用 3.若点是线段的黄金分割点，且，则 等于( ) C A. B. C. D.或 4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已 知这本书的长为 ，则它的宽约为( ) A A. B. C. D. 5. 音乐 如图，乐器上 的一根弦，两个端点， 固定在乐 器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点 的黄金分割点， 则支撑点，之间的距离为______________ .（结果保留根号） 16 6. 数学文化 20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法 作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法， 所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点， . 已知为2米，则线段 的长为_________米. 17 7. 提供思路支架 （教材P96想一想改编）如图，在矩形 中，，，且四边形 是一个正方 形，试问点是 的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过 程） 解：点是 的黄金分割点.理由如下： 四边形 是一个正方形， . 又 在矩形中， ， _____， 点是 的黄金分割点. 18 8. 新定义型阅读理解题 定义：如图1，点在线段 上，若满足 ，则称点为线段的黄金分割点.如图2， 中， ， ，平分交于点 . 图1 图2 19 （1）求证：点是线段 的黄金分割点； 解：证明：， ， . 平分 ， ， ， ， ， . ，， ， ，即， ， 点是线段 的黄金分割点. 20 （2）求线段 的长. 解： 点是线段的黄金分割点， ， . 21 第9题图 9.如图，扇子的圆心角为 ，余下扇形的圆心角为 ，与 的比 通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取 ， 则 为( ) B A.144 B.135 C.136 D.108 第10题图 10.如图，已知是线段的黄金分割点，且，若 表示以 为一边的正方形的面积，表示长是，宽是 的矩形的面积， 则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 22 11. 新定义型阅读理解题 我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄 金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉 效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形，边 的长度为 ，则该矩形的周长为____________. 或4 23 12.如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取 的 中点，连接，在的延长线上取点，使，以 为 边作正方形，点在 上. （1）求， 的长； 解：在中，， ， 由勾股定理，得 ， ， ， . 24 （2）点是 的黄金分割点吗？为什么？ 解：点是 的黄金分割点.理由如下： ， 点是 的黄金分割点. 25 13. 提供方法支架 宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形.现将小波同学在数 学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形 ； 第二步：分别取，的中点，，连接 ； 第三步：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点 ； 第四步：过点作，交的延长线于点 . 请你根据以上作法，证明矩形 为黄金矩形. 26 证明：在正方形中，取 . 为的中点， . 在 中，由勾股定理，得 . 又 ， ， . 故矩形 为黄金矩形. 27 $$