第15章 综合与实践 最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套课件PPT（人教版2024）

八年级数学 上册 第十五章 轴对称 综合与实践　最短路径问题 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 图① 【分析问题】 小亮：如图②，作点B关于l的对称点B′，连接AB′与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线AC－CB走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 图② 小亮：如图③，在l上另取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，只要证明AC＋CB<AC′＋C′B即可．请写出小亮的证明过程． 图③ 【解决问题】 任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线)； 图④ 任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF，MN，则这两座桥EF，MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短(要求在图上标出道路和大桥的位置)? 图⑤ 解：【分析问题】∵点B，B′关于l对称，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′，AC′＋C′B＝AC′＋C′B′. ∵AB′<AC′＋C′B′，∴AC＋CB<AC′＋C′B， ∴作点B关于l的对称点B′，连接AB′与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线AC－CB走的路程是最短的． 【解决问题】任务一：如答图①所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，则路线PE－EF－FP即为所求． 答图① 任务二：如答图②所示，分别过点P和点Q作l1，l3的垂线，垂足分别为A，B，在PA上截取PC等于靠近P村的河的宽，在BQ上截取QD等于靠近Q村的河的宽，连接CD分别交l2，l4于点E，M，分别过点E，M作l1，l3的垂线，垂足分别为F，N，连接PF，QN，则路线PF－FE－EM－MN－NQ即为所求． 答图② $$