第13章 专题2 三角形内外角的角平分线模型-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套课件PPT（人教版2024）

八年级数学 上册 第十三章 三角形 专题2　三角形内外角的角平分线模型 40 60 45° C 25° 90° ①④ C 三角形两个内角平分线的夹角　 eq \o(——————————→,\s\up17(点P是∠ABC，∠ACB),\s\do15(平分线的交点))∠BPC＝90°＋ eq \f(1,2)∠A 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D．若∠A＝80°，则∠BOD＝____°. 1题图 如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．若∠BPC＝2∠A，则∠A＝____°. 2题图 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. (1)若∠A＝42°，求∠BOC的度数； (2)把(1)中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC 和∠A 之间有怎样的数量关系． 3题图 解：(1)∵∠A＝42°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝138°. ∵BO，CO分别是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠1＝ eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝ eq \f(1,2)∠ACB， ∴∠1＋∠2＝ eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝ eq \f(1,2)×138°＝69°， ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－69°＝111°. (2)∵BO，CO分别是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠1＝ eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝ eq \f(1,2)∠ACB， ∴∠1＋∠2＝ eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝ eq \f(1,2)(180°－∠A)， ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－ eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°＋ eq \f(1,2)∠A． 如图①，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE. (1)求证：∠BAE＝∠CED； (2)如图②，AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是______(直接写出答案即可)； 4题图① 4题图② (3)如图③，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG⊥AF(提示：三角形的内角和等于180°). 4题图③ (1)证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED． (3)解：∵EH平分∠CED， ∴∠CEH＝ eq \f(1,2)∠CED， ∴∠BEG＝ eq \f(1,2)∠CED． ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAG＝ eq \f(1,2)∠BAE. ∵∠BAE＝∠CED， ∴∠BAG＝∠BEG. ∵∠BAE＋∠BEA＝90°， ∴∠BAG＋∠GAE＋∠AEB＝90°， 即∠GAE＋∠AEB＋∠BEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴EG⊥AF. 三角形一个内角与一个外角平分线的夹角　　 eq \o(——————————————→,\s\up17(点O是∠ABC的平分线与外),\s\do15(角∠ACD的平分线的交点))∠O＝ eq \f(1,2)∠A 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC 的外角∠ACM的平分线．若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＋∠P＝( ) A．70° B．80° C．90° D．100° 5题图 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数为______． 6题图 如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，∠CAD的平分线与∠CBD的平分线相交于点E.当∠E＋∠C＝60°，∠EBA＝25°时，∠CAD的度数为______． 7题图 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2.给出下列结论：①∠1＝2∠2；②∠BOC＝3∠2; ③∠BOC＝90°＋∠1；④∠BOC＝90°＋∠2.其中正确的是____．(请填写序号) 8题图 三角形两个外角平分线的夹角　　 eq \o(————————————→,\s\up17(点O是∠DBC与∠BCE),\s\do15(平分线的交点))∠O＝90°－ eq \f(1,2)∠A 如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为( ) A．47° B．57° C．67° D．77° 9题图 已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动(不与点O重合)，AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD(或其反向延长线)与BC交于点C． (1)如图①，若∠MON＝90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若∠MON＝α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值(用含α的式子表示)；若改变，请说明理由． 10题图① 10题图② 解：(1)∠ACB＝45°. [解析]∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM， ∴∠NAD＝∠BAD＝ eq \f(1,2)∠BAN，∠ABC＝∠MBC＝ eq \f(1,2)∠ABM.∵∠BAO＋∠ABO＝180°－∠AOB＝90°， ∴∠CAB＋∠CBA＝ eq \f(1,2)(∠BAN＋∠ABM)＝ eq \f(1,2)(360°－90°)＝135°，∴∠ACB＝180°－135°＝45°. (2)∠ACB的度数不改变． ∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM， ∴∠NAD＝∠BAD＝ eq \f(1,2)∠BAN， ∠ABC＝∠MBC＝ eq \f(1,2)∠ABM. ∵∠BAO＋∠ABO＝180°－∠AOB＝180°－α， ∴∠CAB＋∠CBA＝ eq \f(1,2)(∠BAN＋∠ABM) ＝ eq \f(1,2)[360°－(180°－α)]＝90°＋ eq \f(1,2)α， ∴∠ACB＝180°－(∠CAB＋∠CBA)＝90°－ eq \f(1,2)α. $$