第09讲 三角形全等的判定（知识梳理+4课本习题典例+11题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第09讲 三角形全等的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。像我们把△ABC通过平移、旋转、轴反射后得到的△A′B′C′，如果它们能完全重合，那△ABC和△A′B′C′就是全等三角形。 当表示两个三角形全等时，我们会把表示对应顶点的字母写在对应位置上，记作：ΔABC ≌ΔA’B’C’，这个符号“≌”要读作“全等于”。 对应顶点、对应边和对应角：在全等三角形里，互相重合的顶点就是对应顶点，互相重合的边就是对应边，互相重合的角就是对应角。比如说在ΔABC ≌ΔA’B’C’中，A和A’是对应顶点，AB和A’B’是对应边，∠A和∠A’是对应角。 知识点2 全等三角形的判定 1、 “SAS”（边角边）判定 含义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。比如说，在△ABC和△A'B'C'中，如果AB = A'B'，∠A = ∠A'，AC = A'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：在实际做题的时候，就像这样的题，已知AC = DB，∠ACB = ∠DBC，那么我们就可以判定△ABC ≌△DCB，理由就是“SAS”。这里AC和DB是一组对应边，∠ACB和∠DBC是一组对应角，BC是公共边，也就是另一组对应边。 2、 “ASA”（角边角）判定 含义：如果两个三角形有两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。假设在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：如果有一道题说AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“ASA”就需要添加条件∠B = ∠C。因为AD是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，AD是公共边，再加上∠B = ∠C，就满足“ASA”的条件了。 3、 “AAS”（角角边）判定 含义：如果两个三角形有两角和其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。例如在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：在一个三角形中，如果已知两个角的度数和其中一个角的对边长度，就可以用这个判定方法来判断和另一个三角形是否全等。 4、 “SSS”（边边边）判定 含义：三边对应相等的两个三角形全等。就像如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC ≌△DEF。 举例：比如有一个钢架△ABC，AB = AC，AD是连接A与BC中点D的支架，要证明△ABD≌△ACD。因为D是BC的中点，所以BD = CD，又因为AB = AC，AD是公共边，满足三边对应相等，所以△ABD≌△ACD。 5、斜边、直角边（HL）：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个直角三角形全等。 知识点3 判定三角形全等的注意事项 1、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小不同的等边三角形，它们的角都相等，但边不相等，所以不全等。 2、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等，即 “边边角（SSA）” 不能判定三角形全等。 知识点4 全等三角形判定的常考点 公共边：两个三角形中如果有一条公共边，那么这条边是对应边。 公共角：两个三角形中如果有一个公共角，那么这个角是对应角。 两直线平行：利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来得到相等的角，为证明三角形全等创造条件。 对顶角：对顶角相等，可作为证明三角形全等时的角相等条件。 知识点5 全等三角形判定的应用 1、 证明三角形全等的步骤 （1）确定要证明全等的两个三角形。 （2）分析已知条件，看能满足哪种全等判定定理。 （3）按照全等判定定理的要求，逐步证明对应边或对应角相等。 （4）得出两个三角形全等的结论，并注明理由。 三角形全等书写三步骤：摆出三个条件用大括号括起来。例如在证明⊿ABC≌⊿DBC时，如果用“SAS”定理，先说明AC = DC，AB = DB，然后指出∠CAB = ∠CDB，最后写⊿ABC≌⊿DBC（SAS）。 2、 通过全等三角形证明角相等或边相等 如果我们已经证明了两个三角形全等，那么就可以根据全等三角形的性质得到对应角相等或者对应边相等。比如已知△AEB ≌ △ADC，那么就可以得出∠B = ∠C，AE = AD等结论。这就像一个连锁反应，先证明全等这个“大前提”，然后就能得出角和边相等这些“小结论”。 3、 在实际几何问题中的应用 在一些复杂的几何图形中，我们要善于发现全等三角形。比如在一个四边形中，如果能找到其中的全等三角形，就可以利用全等三角形的性质来解决边或者角的关系问题。又比如在一些关于图形的折叠或者旋转的问题中，往往会出现全等三角形，我们可以通过证明全等，进而求出未知的边或者角的长度或者度数。就像把一个三角形沿着某条边折叠，折叠前后的两个三角形就是全等的，我们就可以利用这个关系来解题。 课本典例1（习题12.2第4题） 如图， AB 与 CD 相交于点 O ， ∠A=∠D ， CO=BO 。求证： △AOC≅△DOB 。 【答案】 【解析】已知 ∠A=∠D ， CO=BO ，又因为对顶角 ∠AOC 和 ∠DOB 相等，满足 AAS 的条件，所以可证两三角形全等。 【点睛】本题关键是要想到对顶角相等这个隐含条件，结合已知条件，选择合适的全等判定定理。 课本典例2（习题12.2第5题） 如图， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。求证： AB=AC 。 【答案】 【解析】先由 ∠3 和 ∠4 的补角关系得到 ∠ABC=∠ACB ，再结合已知的 ∠1=∠2 和公共边 BC ，利用 AAS 证明三角形是等腰三角形，从而得出 AB=AC 。 【点睛】通过角的补角关系转化得到相等的角是关键，再利用全等三角形判定或等腰三角形的判定来解题。 课本典例3（习题12.2第6题） 如图，在 △ABC 中， AB=AC ， AD 是边 BC 上的高。 (1) 求证： BD=CD ； (2) 求证： ∠BAD=∠CAD 。 【答案】 【解析】对于 (1)，先确定两个直角三角形，再根据已知的斜边 AB=AC 和公共直角边 AD ，利用 HL 证明全等，进而得到对应边相等；对于 (2)，利用 (1) 中全等三角形的性质，即全等三角形对应角相等得出结论。 【点睛】涉及等腰三角形底边上的高时，常利用 HL 证明被高分成的两个直角三角形全等，从而得到对应边、对应角相等的关系。 课本典例4（习题12.2第9题） 如图，点 B 、 E 在线段 AD 上， AB=DE ， BC∥EF ， BC=EF 。求证： AF=DC 。 【答案】因为 BC∥EF ，所以 ∠ABC=∠DEF （两直线平行，同位角相等）。 在 △ABC 和 △DEF 中： AB=DE ∠ABC=∠DEF BC=EF 根据边角边（SAS）判定定理， △ABC≅△DEF ，所以 AC=DF 。 因为 AC=DF ，即 AC−EC=DF−EC ，所以 AF=DC 。 【解析】先由 BC∥EF 得到 ∠ABC=∠DEF ，再结合已知的 AB=DE 和 BC=EF ，利用 SAS 证明 △ABC 和 △DEF 全等，得到 AC=DF ，最后通过线段的等量减等量得到 AF=DC 。 【点睛】平行线的性质是得到角相等条件的关键，利用 SAS 证明全等后，再通过线段的和差关系得出结论。 题型一 用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由，推导出，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，根据同位角相等，两直线平行得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在与中， ． （2）由（1）得， ， ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 先根据推出，再根据即可证明． 【详解】证明：， ，即， 又，， ． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由得，再由得到，于是可根据“”判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 题型二 用SAS间接证明证明三角形全等 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 6．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，再根据证明即可． 【详解】证明：， ． 在和中， ． 7．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 由，根据平行线的性质，可得，又由，，根据，即可证得：． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是线段的中点，在的同侧有两点E，D，使得．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查利用证明三角形全等，根据题意得和，即可证明全等． 【详解】证明：， ， ， ∵是线段的中点， ∴， ， ． 题型三 用ASA（AAS）证明三角形全等 9．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 10．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由可得，根据，可得，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，得到，再根据即可证明，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 12．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理． 利用判定全等即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴． 题型四 用SSS证明三角形全等 13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 14．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 15．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】证明：在与中， ∴． 16．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ． 题型五 用SSS间接证明三角形全等 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（12-13八年级上·湖北十堰·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明详见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵C是的中点， ∴ 在和中， ， ∴． 20．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．先证明，再利用证明即可； （2）本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定；先证明，再利用证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型六 用HL证明三角形全等 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据判定． 【详解】解：由题意可知，和都是直角三角形， 在和中， ， 满足斜边相等和一组直角边相等，因此， 故选：D． 22．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 23．（15-16八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 24．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 题型七 添加条件使三角形全等 25．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，两个三角形全等共有五个定理，即、、、及，注意：无法证明三角形全等．先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，找出错误的选项即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意， 当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意， 当时，可利用证明，故C选项不符合题意， 当时，可利用证明，故D选项不符合题意， 故选：B． 26．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理并能正确寻找全等三角形全等的条件．据此即可作出判断． 【详解】解：∵，， ∴， A．添加，根据可推出，故此选项不符合题意； B．添加，根据可推出，故此选项不符合题意； C．添加，可得，根据可推出，故此选项不符合题意； D．添加，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项符合题意． 故选：D． 27．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，，，下列条件中不能判断的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意； B、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意； C、添加条件，结合，不可以利用证明，故符合题意； D、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意； 故选：C． 28．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 29．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，于点，若要根据“”判定，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得，，进而根据判定方法“”即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵于点， ∴， 又∵， ∴要根据“”判定，还需要添加的条件是， 故选：． 题型八 倍长中线模型 30．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 32．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即． 33．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， （2）∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 题型九 旋转模型 34．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 35．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 36．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 题型十 垂线模型 37．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 38．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 39．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 40．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 41．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 题型十一 全等三角形综合问题 42．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 【答案】（或或） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加，两边夹一角判定其全等． 【详解】解：，， ， 又， 可添加； ． 故答案为:（或或）． 43．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 44．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 45．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 46．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形外角的定义即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的度数是． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，连接，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴当时，；故A选项不符合题意； 当时，；故B选项不符合题意； 当时，；故C选项不符合题意； 当，无法得到；故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，中，，平分，交于点D．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与大小无法确定 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，三角形三边关系应用．在上截取，连接，证明，得出，再结合三角形三边关系可证得结论． 【详解】解：在上截取，连接， 则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据得出，的周长问题可解． 【详解】解：， ， 的周长， 的周长， 故选：C． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的条件是解题的关键 ．依据全等的判定方法判定即可． 【详解】解：①若， 因为，但没有提及或，所以无法确定和一定全等，如图， 故选:D． ②若， ，， ， ②成立．如图， 故选：． 9．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 10．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在正六边形中，M，N分别为边的中点，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，根据正六边形的性质可得，利用全等三角形的判定与性质可得，然后利用三角形的内角和定理可得，从而可得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵M，N分别为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 12．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知，，，相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、对顶角相等、三角形内角和定理等知识，先由全等性质得到，，等量代换得到，进而由已知求出，在和中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握全等三角形性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ， ，， ， 在和中，，，则由三角形内角和定理可知， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段与相交于点，，请添加一个条件 使得．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可利用直角三角形判定定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明得，从而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：3.2 三、解答题 16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，请添加以下其中一个条件：①；②，试证明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 选②，首先由得到，然后证明出． 【详解】证明：选②： ∵， ∴， 在和中 ，，， ∴． 17．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点E、F在上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，进而可证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．连接，证明即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ． 19．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等判定定理得到，再由两个三角形全等的性质即可得证．熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 20．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形全等的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。像我们把△ABC通过平移、旋转、轴反射后得到的△A′B′C′，如果它们能完全重合，那△ABC和△A′B′C′就是全等三角形。 当表示两个三角形全等时，我们会把表示对应顶点的字母写在对应位置上，记作：ΔABC ≌ΔA’B’C’，这个符号“≌”要读作“全等于”。 对应顶点、对应边和对应角：在全等三角形里，互相重合的顶点就是对应顶点，互相重合的边就是对应边，互相重合的角就是对应角。比如说在ΔABC ≌ΔA’B’C’中，A和A’是对应顶点，AB和A’B’是对应边，∠A和∠A’是对应角。 知识点2 全等三角形的判定 1、 “SAS”（边角边）判定 含义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。比如说，在△ABC和△A'B'C'中，如果AB = A'B'，∠A = ∠A'，AC = A'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：在实际做题的时候，就像这样的题，已知AC = DB，∠ACB = ∠DBC，那么我们就可以判定△ABC ≌△DCB，理由就是“SAS”。这里AC和DB是一组对应边，∠ACB和∠DBC是一组对应角，BC是公共边，也就是另一组对应边。 2、 “ASA”（角边角）判定 含义：如果两个三角形有两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。假设在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：如果有一道题说AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“ASA”就需要添加条件∠B = ∠C。因为AD是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，AD是公共边，再加上∠B = ∠C，就满足“ASA”的条件了。 3、 “AAS”（角角边）判定 含义：如果两个三角形有两角和其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。例如在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。 举例：在一个三角形中，如果已知两个角的度数和其中一个角的对边长度，就可以用这个判定方法来判断和另一个三角形是否全等。 4、 “SSS”（边边边）判定 含义：三边对应相等的两个三角形全等。就像如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC ≌△DEF。 举例：比如有一个钢架△ABC，AB = AC，AD是连接A与BC中点D的支架，要证明△ABD≌△ACD。因为D是BC的中点，所以BD = CD，又因为AB = AC，AD是公共边，满足三边对应相等，所以△ABD≌△ACD。 5、斜边、直角边（HL）：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个直角三角形全等。 知识点3 判定三角形全等的注意事项 1、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小不同的等边三角形，它们的角都相等，但边不相等，所以不全等。 2、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等，即 “边边角（SSA）” 不能判定三角形全等。 知识点4 全等三角形判定的常考点 公共边：两个三角形中如果有一条公共边，那么这条边是对应边。 公共角：两个三角形中如果有一个公共角，那么这个角是对应角。 两直线平行：利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来得到相等的角，为证明三角形全等创造条件。 对顶角：对顶角相等，可作为证明三角形全等时的角相等条件。 知识点5 全等三角形判定的应用 1、 证明三角形全等的步骤 （1）确定要证明全等的两个三角形。 （2）分析已知条件，看能满足哪种全等判定定理。 （3）按照全等判定定理的要求，逐步证明对应边或对应角相等。 （4）得出两个三角形全等的结论，并注明理由。 三角形全等书写三步骤：摆出三个条件用大括号括起来。例如在证明⊿ABC≌⊿DBC时，如果用“SAS”定理，先说明AC = DC，AB = DB，然后指出∠CAB = ∠CDB，最后写⊿ABC≌⊿DBC（SAS）。 2、 通过全等三角形证明角相等或边相等 如果我们已经证明了两个三角形全等，那么就可以根据全等三角形的性质得到对应角相等或者对应边相等。比如已知△AEB ≌ △ADC，那么就可以得出∠B = ∠C，AE = AD等结论。这就像一个连锁反应，先证明全等这个“大前提”，然后就能得出角和边相等这些“小结论”。 3、 在实际几何问题中的应用 在一些复杂的几何图形中，我们要善于发现全等三角形。比如在一个四边形中，如果能找到其中的全等三角形，就可以利用全等三角形的性质来解决边或者角的关系问题。又比如在一些关于图形的折叠或者旋转的问题中，往往会出现全等三角形，我们可以通过证明全等，进而求出未知的边或者角的长度或者度数。就像把一个三角形沿着某条边折叠，折叠前后的两个三角形就是全等的，我们就可以利用这个关系来解题。 课本典例1（习题12.2第4题） 如图， AB 与 CD 相交于点 O ， ∠A=∠D ， CO=BO 。求证： △AOC≅△DOB 。 课本典例2（习题12.2第5题） 如图， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。求证： AB=AC 。 课本典例3（习题12.2第6题） 如图，在 △ABC 中， AB=AC ， AD 是边 BC 上的高。 (1) 求证： BD=CD ； (2) 求证： ∠BAD=∠CAD 。 课本典例4（习题12.2第9题） 如图，点 B 、 E 在线段 AD 上， AB=DE ， BC∥EF ， BC=EF 。求证： AF=DC 。 题型一 用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 题型二 用SAS间接证明证明三角形全等 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 6．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 7．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是线段的中点，在的同侧有两点E，D，使得．求证：． 题型三 用ASA（AAS）证明三角形全等 9．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 10．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 12．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 题型四 用SSS证明三角形全等 13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 14．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 15．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，．求证：． 16．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 题型五 用SSS间接证明三角形全等 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 19．（12-13八年级上·湖北十堰·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 20．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 题型六 用HL证明三角形全等 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 23．（15-16八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 24．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 题型七 添加条件使三角形全等 25．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知点，，，在同一条直线上， ，，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，，，下列条件中不能判断的是（   ）    A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，于点，若要根据“”判定，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 题型八 倍长中线模型 30．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 31．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 32．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 33．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 题型九 旋转模型 34．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 35．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 36．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型十 垂线模型 37．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 38．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 39．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    40．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 41．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 题型十一 全等三角形综合问题 42．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 43．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 44．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 45．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 46．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，连接，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，中，，平分，交于点D．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与大小无法确定 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 9．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 10．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在正六边形中，M，N分别为边的中点，与相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 12．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知，，，相交于点，则的度数是 ． 13．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段与相交于点，，请添加一个条件 使得．（写出一种情况即可） 14．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，请添加以下其中一个条件：①；②，试证明． 17．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点E、F在上，．求证：． 18．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 19．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，，求证：． 20．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，．求证：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$