12.4.3 角平分线&专题8 分类讨论思想在三角形中的应用-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

参考答案及解析 7.C 8.B 9.①③ 10.解：(1)①相等的角是内错角的逆命题：如果两个角是内 错角，那么这两个角相等. ②如果a+b>0,那么ab>0的逆命题：如果ab>0,那么 a+b>0. (2)因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命 题都是假命题，故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆 定理. 11.解：逆定理为“等边三角形的三个角都相等”. 已知：△ABC是等边三角形. 求证：∠A=∠B=∠C. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC. 由AB=BC,得∠C=∠A; 由BC=AC,得∠A=∠B,∴∠A=∠B=∠C. 2.线段垂直平分线 【基础巩固练】 1.C 2.C 3.C 4.10 5.60 6.证明：∵DE垂直平分AC,DF垂直平分BA, 7.A 8.AC 9.(1)解：∵AD平分∠BAC,∠BAC=50°, (2)证明：∵DE⊥AB,∴ ∠AED=90°=∠ACB. 【能力提升练】 ∴DC=DA,DB=DA,∴DB=DC. ∠EAD=一—∠BAC=25° 又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC. ∵DE⊥AB,∴ ∠DEA=90°, ∵AD=AD,∴△AED≌△ACD, ∴∠EDA=180°-90°-25°=65°. ∴AE=AC,DE=DC, ∴直线AD是线段CE的垂直平分线. 1.D 2.B [解析]连结AD、AM,如答图. C E D M A- F B 2题答图 ∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=6,∴AD⊥ BC,CD=3,∴SABC= BC·AD= —×6×AD=30,,解得 AD=10.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴CM=AM,∴CD+ CM+DM=CD+AM+DM.∵AM+DM≥AD,∴AD的长为 CM+DM的最小值，∴△CDM周长的最小值为AD+CD= 10+3=13.故选B. 3.8 4.20° 5.解：(1)当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上.理由： 当x=5时，AE=2×5=10(cm)=BC. ∵AB=25cm,DA=15cm. 在△ADE和△BEC中， ∴△ADE≌△BEC(SAS),∴DE=CE, ∴点E在线段CD的垂直平分线上.故当x=5时，点E在线 段CD的垂直平分线上. (2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE.理由： ∵△ADE≌△BEC,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠A=90°,∴∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED+∠BEC=90°, ∴∠DEC=180°-(∠AED+∠BEC)=90°, ∴DE⊥CE. 6.证明：(1)∵AD//BC,∴∠ADE=∠FCE, ∵E为CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD. (2)∵△ADE≌△FCE, ∴AE=FE,AD=FC. ∵BE⊥AE,.BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+FC=BC+AD, 即AB=BC+AD. 7.解：(1)∵DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∴ BE=AE,AF=CF, ∴∠B=∠BAE=20°,∠C=∠CAF=20°, ∴∠BAE+∠CAF=40°. ∵∠B=∠C=20°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=140°, ∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=140°-40°=100°. (2)①80 2n°-180° ②135 ③由(1)知BE=AE,AF=CF. ∵BC=BE+EF+CF=a,∴AE+EF+AF=a, ∴△AEF的周长为a. 3.角平分线 【基础巩固练】 1.B 2.C 3.6cm [解析]如答图，过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB,垂足分 别为点N、Q.∵BP、CP分别是∠HBC与∠BCM的平分线， ∴PQ=PN,PN=PM,∴PQ=PM.∵PM=6cm,∴ PQ= 6cm,即点P到AB的距离为6cm.故答案为6cm. A B NT C Q H M P 3题答图 4.证明：∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∴∠DOF=∠EOF(角平分线的定义),PD=PE(角平分线 的性质定理). 在Rt△OPD和Rt△OPE中，PD=PB(已证力) ∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL), ∴OD=0E(全等三角形的对应边相等). ·25· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 在△ODF和△OEF中，r, ∴△ODF≌△OEF(SAS), ∴DF=EF(全等三角形的对应边相等). 5.C 6.A 7.30°8.M 9.证明：如答图，连结BC. ∵BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F, ∴∠CFB=∠BEC=90°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 在△BCF和△CBE中， BF D A E Cm 9题答图 ∴△BCF≌△CBE(AAS),∴ BF=CE. 在△BFD和△CED中， ∴△BFD≌△CED(AAS),∴DF=DE,∴AD平分∠BAC. 10.C 【能力提升练】 1.D [解析]过点D作DM⊥AE于点M,DN⊥AF于点N, DH⊥BC于点H,如答图.∵BD、CD分别平分∠CBE与 ∠BCF,∴ DH= DM,DH= DN,∴ DM= DN,∴AD平分 ∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.故选D. A B Hlo M CN E D F 1题答图 2.150°3.四 4.①③④ [解析]∵AP平分∠CAB,BP平分∠CBE, .∠PAB= 2∠CAB,∠PBE = 2∠CBE.∵∠CBE= ∠CAB+ ∠ACB,∠PBE= ∠PAB+ ∠APB,∴ ∠ACB= 2∠APB,故①正确；如答图，过点P作PM⊥AE于点M, PN⊥AD于点N,PS⊥BC于点S,则PM=PN=PS,∴.CP平 分∠BCD.∵S△Pac?S△PAB=(—AC·PN):(—AB·PM)= AC:AB,故②不正确；∵ BE=BC,BP平分∠CBE,∴BP垂直 平分CE,故③正确；∵PG//AD,∴∠FPC=∠DCP.∵CP平 分∠DCB,∴∠DCP=∠PCF,∴∠PCF=∠CPF,故④正 确.综上，正确的是①③④. N D C 或 超 F A? G BM E 4题答图 5.(1)证明：∵DE⊥AB交AB延长线于点E,DF⊥AC于点F, ∴∠E=∠DFC=90°, ∴△BDE与△CDF均为直角三角形. 在Rt△BDE和 Rt△CDF中，BE=C). ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF, ∴AD平分∠BAC. (2)解：AB+AC=2AE. ∵BE=CF,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD. ∵∠E=∠AFD=90°,∴∠ADE=∠ADF. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(ASA),∴AE=AF, ∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE. 6.(1)解：作PQ⊥BE于点Q,如答图. ∵BP平分∠ABC,∴.PQ=PH=8cm, 即点P到直线BC的距离为8cm. (2)证明：∵CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC,∴PD=PQ. 而PH=PQ,∴PD=PH. ∵PD⊥AC,PH⊥BA, ∴点P在∠HAC的角平分线上. H A P D B C Q E 6题答图 微专题4 与角平分线有关的面积问题 1.B [解析]过点D作DF⊥AB于点F,如答图. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴.DE=DF. 4 F E B D C △ABD的面积为5,—AB·DF=5. ∵AB=5,∴DF=2,∴DE=2. 故选B. 2.2:3:4 3.2 1题答图 专题8 分类讨论思想在三角形中的应用 1.解：不一定全等.理由如下： 当两个三角形均为锐角三角形或均为钝角三角形或均为直 角三角形时全等，以两个三角形均为锐角三角形为例进行 证明.(另外两种情况同理可证). 已知：如答图①,在锐角三角形ABC和锐角三角形EFG中， AB=EF,BC=FG,AD⊥BC于点D,EH⊥FG于点H, 且AD=EH. 求证：△ABC≌△EFG. 证明：因为AD⊥BC,EH⊥FG, 所以∠ADB=∠EHF=90°. 在Rt△ABD和Rt△EFH中， 因为AB=EF,AD=EH, 所以Rt△ABD≌Rt△EFH(HL), 所以∠B=∠F. 在△ABC和△EFG中， 因为AB=EF,∠B=∠F,BC=FG, 所以△ABC≌△EFG(SAS). ·26· 参考答案及解析 A E B D C F HG 1题答图① 当两个三角形不都是锐角三角形时不全等，反例如答图②. A E B DC F G H 1题答图② X易错分析--------------- 本题的易错之处是认为题中三角形都是锐角三角 形，从而得到两个三角形全等的结论.而事实上题目中 的两个三角形并没有指明都是锐角三角形，因此容易 犯特殊代替一般的错误. 2.B [解析]如答图所示，可知满足条件的点C的个数为8. B A 2题答图 3.65°或115°[解析]①如答图①,当等腰三角形的顶角是 钝角时，腰上的高在等腰三角形外部.由题意得∠ABD= 25°,∠D=90°.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，即可求得顶角∠BAC=90°+25°=115°; ②如答图②,当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等 腰三角形内部，此时有∠ABD=25°,∠BDA=90°,故顶角 ∠A=90°-25°=65°.故答案为65°或115°. 思 A B C A D B C 3题答图① 3题答图② 4.解：∵ BD为△ABC的边AC上的中线，∴AD=CD. 分两种情况讨论： ①当(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=6cm时， AB-BC=6cm. ∵BC=10cm,∴AB=10+6=16(cm), ∴周长为AB+AC+BC=16+16+10=42(cm); ②当(BC+CD+BD)-(AB+AD+BD)=6cm时， BC-AB=6cm. ∵BC=10cm,∴ AB=10-6=4(cm). 当AB=4cm时，三边长分别为4cm,4 cm,10 cm, 而4+4<10,不能构成三角形，故舍去. 综上，等腰三角形ABC的周长为42cm. 5.14或20 [解析]①如答图①,∵DF、EG分别是线段AB、 AC的垂直平分线，∴ BD=AD=8,CE=AE=9,∴ BC=BD +DE+CE=8+3+9=20;②如答图②,∵DF、EG分别是线 段AB、AC的垂直平分线，∴BD=AD=8,CE=AE=9,∴ BC =BD-DE+CE=8-3+9=14.综上，BC的长为14或20. A A F G G B4 D E C B4 E D C 5题答图① 5题答图② 6.解：①如答图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交于点D 时，∠ADM=50°. ∵∠AMD=90°,∴∠A=90°-50°=40°. ∵AB=AC,∴.∠B=∠C=—(180°-∠A)=70°; A M D N B C M D A B C W 6题答图① 6题答图② ②如答图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交 于点D时，∠ADN=50°,∠DAB=90°-50°=40°. ∵AB=AC,∴∠B=∠C=—∠DAB=20°. 综上所述，∠C的度数为20°或70°. 7.解：①如答图①, ∵点0到△ABC三边的距离相等， 二点0是△ABC三个内角平分线的交点. ∵∠ABC=60°,∠ACB=70°, ∠OBC=—∠ABC=30°,∠OCB=—∠ACB=35°, ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=115°; A Q B C A B C E/ O F 7题答图① 7题答图② ②如答图②,∵∠ABC=60°,∠ACB=70°, ∴∠EBC=180°-∠ABC=120°,∠FCB=180°-∠ACB= 110°. ∵点0到△ABC三边的距离相等， ∴0是∠EBC和∠FCB的平分线的交点， ∠OBC=—∠EBC=60°,∠OCB=—∠FCB=55°, ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=65°; ③如答图③,∵∠ABC=60°,∠ACB=70°, ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°. ∵点0到△ABC三边的距离相等， ∴0是∠EBA和∠ACB的平分线的交点， ∠OBA=—∠EBA=—×(180°-60°)=60°, ∠OCB=—∠ACB=35°, ·27· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 ∴∠BOC=180°-(∠OBA+∠ABC+∠OCB)=180°- (60°+60°+35°)=25°; 0 A EB C B A 0 C F 7题答图③ 7题答图④ ④如答图④,同③可得∠BOC=25°. 综上可得，∠BOC的度数为115°或65°或25°. 易错疑难集训三 1.D 2.②④ 3.D [解析]∵△ABC和△DEF全等，∴△ABC和△DEF的 周长相等，∴△ABC的周长为奇数.∵AB=2,BC=4,∴AC 的长为奇数.根据三角形的三边关系，得4-2<AC<4+2, 即2<AC<6,∴AC=3或5.∵AB与DE是对应边，∴DF的 对应边是AC或BC,∴.DF=3或4或5. X易错分析---------------------- 本题的易错之处是没有进行分类讨论，虽然AB与 DE是对应边，但另两边的对应关系不明确，因此需要 分类讨论求解.“全等”与“≌”意义不一样，“≌”表示 对应关系已经确定，而“全等”中的对应关系不确定，因 此，当题中出现“全等”时，应分类讨论进行解答，否则 容易漏解. 4.A X易错分析------------------- 实际上本题的条件“BD=CE”多余，在证明两个三 角形全等时，一定要按照“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”和 “HL”五种方法证明，不能独创其他方法，如“AAA” “SSA”“ASS”这些方法都是想当然的，不能成立. 5.解：不正确.三角形全等的判定方法中没有“SSA”.正确的 证明过程：∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△BFD 和 Rt△ACD中， ED=CD,∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL), ∴∠DAC=∠DBF. 6.(1)解：HL (2)证明：如答图①,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于 点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H,则∠G= ∠H=90°. ∵∠ABC=∠DEF, ∴180°-∠ABC=180°-∠DEF,∴∠CBG=∠FEH. 在△CBG和△FEH中， ∴△CBG≌△FEH(AAS),∴CG=FH. 在Rt△ACG和 Rt△DFH中，LCC=PH, ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),∴∠A=∠D. 在△ABC和△DEF中，.2 ∴△ABC≌△DEF(AAS). C F A B D EH 6题答图① (3)解：如答图②,△DEF就是所要求作的三角形，△DEF 和△ABC不全等. C(F) A D B(E) 6题答图② 本章考点检测训练 1.B 2.C 3.D 4.解：选择①. 理由：∵AE//BF,∴∠A=∠FBD.∵CE//DF, ∴∠ACE=∠D. 在△AEC和△BFD中， ∴△AEC≌△BFD(AAS),∴AC=BD,∴AB=CD. 选择③. 理由：∵AE//BF,∴∠A=∠FBD. 在△AEC和△BFD中， ∴△AEC≌△BFD(ASA),∴ AC=BD,∴ AB=CD. 5.证明：∵0是AB的中点，∴AO=OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,∴∠E=∠BCO. 又∵∠AOE=∠BOC,∴ △AOE≌△BOC(AAS),∴AE=BC. 6.证明：∵E是AC的中点，∴AE=CE. 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(SAS),∴∠ADE=∠CFE,∴.CF//AB. 7.C 8.100° 9.80 [解析]∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中，2 ∴△BED≌△CFD(AAS),∴∠BDE=∠CDF. ∵∠BDE=40°,∴∠CDF=40°, ∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-2×40°=100°, ∴∠BAC=360°-∠AED-∠AFD-∠EDF=360°-90°- 90°-100°=80°.故答案为80. 10.(1)证明：如答图，过点A作AF⊥BC于点F. A B D F E C 10题答图 ·28· 第12章 全等三角形 3.角平分线 《基础巩固练 [答案 P25] 知识点③角平分线的性质 1如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为点C、D,则下列结论错误的是( ) A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD A A C P A B C C P 五 H/ M 0 D B 0 D B P 1题图 2题图 3题图 2(青海中考)如图，OC平分∠AOB,点P在OC 上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3 如图，△ABC的外角∠HBC与∠BCM的平分线 交于点P,PM⊥AC于点M,若PM=6cm,则点P 到AB的距离为_____. 4 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一 点，PD⊥0A于点D,PE⊥OB于点E,F是OC上 的另一点，连结DF、EF.求证：DF=EF. A D FC P 0 E B 4题图 知识点②角平分线的判定 5 如图，在CD上找一点P,使点P到OA、OB的距 离相等，则点P是 ( ) A.线段CD的中点 A B.CD与过点0作CD的垂线的 C 交点 02 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D B 5题图 D.以上均不对 6 如图，AD⊥0B,BC⊥OA,垂足分别为点D、点C, AD、BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的 大小关系是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 A C P 1 0 2 D B D B C A 4- P Q M O B 6题图 7题图 8题图 7如图，DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=60°, 则∠BAD=_______. 8 在9×7的正方形网格中，∠AOB的位置如图所 示，则到∠AOB两边距离相等的点是_____. 9(四川广元期末)如图，已知 BE⊥AC于点E, CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,若AB= AC.求证：AD平分∠BAC. B E D A E C 9题图 知识点③三角形的角平分线 10到△ABC三边距离相等的点是△ABC的( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.以上均不对 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 63 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P26] 能力提升练 ① 如图，D是△ABC外的一点，BD、CD分别平分 ∠CBE与∠BCF,连结AD交BC于点0.下列结 论一定成立的是 ( ) A.DB=DC B.OA=OD C.∠BDA=∠CDA D.∠BAD=∠CAD A E Bo C B D E D F A? C G F 1题图 2题图 2如图，已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且 DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=____. 3 如图，直线l、I'、I"”表示三条相互交叉的公路，现 计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离 相等，则可供选择的地址有_____处. I" DC P T' A G B E 3题图 4题图 4 如图，△ABC的内角∠BAC与外角∠CBE的平分 线相交于点P,E为AB的延长线上一点，BE=BC, PG//AD交BC于点F,交AB于点G,连结CP、CE. 给出下列结论：①∠ACB=2∠APB;②S△PAc:S△PAB =PC:PB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF. 其中正确的是____.(填序号) 5如图，DE⊥AB交AB延长线于点E,DF⊥AC于 点F,BD=CD,BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系. B E D A F C 5题图 6如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角 ∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH1 BA于点H. (1)若PH=8cm,求点P到直线BC的距离； (2)求证：点P在∠HAC的平分线上. H人 A P D B C E 6题图 专题4与角平分线有关的面积问题 方法指导 【结论1】如图①,在△ABC中，AD是它的角平 分线，则SABD:S△ACD=AB:AC. A A E B D C B D C 图① 图② 【结论2】如图②,当点E在角平分线AD上的 任何位置(不与点A重合)时，都有SABE· SACE =AB:AC. 1.(绵阳中考)如图，在△ABC中，AB=5, AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC, 垂足为点E,△ABD的面积为5,则 DE的长为 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.5 A E D C 1题图 2.如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4, 6,8,其三条角平分线将△ABC分成三个三角 形，则S△AB:S△oAcS△OBC=____. A 0 C- B 2题图 3.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、 BD相交于点E,EF⊥AB于点F.若AB=14,AC =12,S△BDc=20,则EF的长为____ A F反 D E B C 3题图 64 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第12章 全等三角形 专题8 分类讨论思想在三角形中的应用 [答案 P26] 类型③全等三角形问题中的分类讨论 ① 两个三角形的两边及其中一边上的高对应相应相 等，这两个三角形是否全等?若全等，请给出证 明；若不全等，请说明理由. 类型②等腰三角形问题中的分类讨论 2 如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，点， 图中点A、B在格点上，则图中满足△ABC为等为等 腰三角形的格点C的个数为 ( ) ) B A 2题图 A.7 B.8 C.9 D.10 3(浙江宁波期末)等腰三角形一腰上的高与另一另一 腰的夹角为25°,则该等腰三角形顶角的度数为数为 ④ 已知等腰三角形ABC的底边BC长为10 cm,ACA 上的中线 BD把其周长分为差是6cm的两部两部 分，求等腰三角形ABC的周长. 类型③)线段垂直平分线与角平分线问题中的分 类讨论 5(黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，AB的垂直平 分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点 E.若AE=9,AD=8,DE=3,则BC=_______ 6在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°,求∠C的 度数. 7在△ABC中，∠ABC=60°,∠ACB=70°.若点0 到△ABC三边的距离相等，求∠BOC的度数. 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 65