15.3.2 等边三角形-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 黑龙江专版）

同步练测·八年级数学(上册) ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.D 7.B 8.20° 9.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=40°, ∴∠BAC=2∠BAD=80°. 【能力提升练】 1.A 2.D 3.80°4.45° 5.证明：(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC=90°. ∵∠BAC=90°,∴.∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD. (2)∵AF//BC,∴∠EAF=∠AEB. ∵AB=AE,∴∠B=AEB,∴∠B=∠EAF. 又∵AB=EA,∠BAC=∠AEF=90°, ∴△BAC≌△AEF,∴AC=EF. 6.(1)解：42°[解析]∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB=66°. ∵ BE1AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=90°-∠ACB=90°- 66°=24°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°. (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°,∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70° ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= 2∠ABC=35°. (4)解：①15°[解析]∵AD是边 BC上的高，AB=AC, ∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.∵AD=AE,∴∠ADE= ∠AED=—(180°-30°)=75°,∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-75°=15°. ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC = ∠ADE+∠EDC= ∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵DE//AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠BAD=∠EDA. ∵AD⊥BD, ∴∠B+∠BAD=90°,∠BDE+∠EDA=90°, ∴∠B=∠BDE,∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. 4.C 5.10 6.(1)解：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵EF//AC,∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. 7.解：作等腰△ABC如答图. C A D| B Y 7题答图 【能力提升练】 1.D 2.D 3.3 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴∠DCG+∠CDG=90°. ∵CB=CD,∴∠BCG=∠DCG=2∠BCD. ∵BF⊥CD于点E,∴∠ABF+∠CDG=90°, ∠ABF=∠DCc=—∠BCD C F E 友 合 A‘ D G B 4题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： ∵∠A=45°,CG⊥AB, ∴∠ACG=45°. ∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. ∵∠BCG=∠DCG=∠ABF, ∴∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF, ∴△BCF是等腰三角形. 微专题4 角平分线+平行线→等腰三角形 【例】2 【变式训练】 (1)证明：∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. ∵DE//BC,∴.∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE. (2)解：30° 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 【基础巩固练】 1.C 2.A 3.75°4.120° 5.(1)解：∵DB=DE,∴∠E=∠DBE. ∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴∠DBC=30°, ∴∠E=∠DBE=30°, ∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. ·14· 参考答案及解析 (2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°. ∵∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°, ∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 6.C 7.60°8.①②④ 9.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, ∴Rt△AED≌Rt△CFD,∴ ∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 【能力提升练】 1.C 2.30 3.48 4.30° 5.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AB=AC,∴.∠B=∠C. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. Ac0mo nAcmoa ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=2BD=8, ∴△ABC的周长为24. 6.解：如答图，分别以AP,AC为边作等边△APD,等边△ACE, 连接DE, ∴∠PAD=∠CAE=60°, ∴∠PAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 即∠PAC=∠DAE. 在△PAC和△DAE中，E2 zu ∴△PAC≌△DAE(SAS), ∴PC=DE,故PA+PB+PC=PD+PB+DE. 当B,P,D,E在同一条直线上时， PA+PB+PC取得最小值. ∵△APD为等边三角形， ∴∠APD=∠ADP=60°, ∴∠APB=180°-60°=120°. ∵△PAC≌△DAE, ∴∠APC=∠ADE=180°-∠ADP=180°-60°=120°, ∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC=360°-120°-120° =120°. E A D P B C 6题答图 课时2 含30°角的直角三角形的性质 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.6072 8.解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60°. ∵AD=2,∴ BD=AB-AD=8-2=6. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°, BE= BD=2×6=3,CE=BC-BE=8-3=5. 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°, CF= —CE= 2×5=2, AF=AC-FC=8-2=2 (2)在△BDE和∠CEF中，- ∴△BDE≌∠CEF(AAS),∴ BE=CF. ∠CEF=30°⋯.BE=CF=—EC, BE= BC=8,BD=2BE=, AD=AB-BD=3⋯当AD=8时，DE=EF. 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 1.解：①当底边长为6,腰长为7时，符合三角形三边关系，周 长为6+7+7=20; ②当底边长为7,腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为 7+6+6=19. 2.解：若∠C为底角， ①如答图①,当AB=AC时， ∵AD⊥BC,∴BD=CD. AD= BC,AD=BD=CD,.∠C=45°; ②如答图②,当AB=BC时， AD=2BC,∴AD=—AB. 又∵AD⊥BC,∠ABD=30°,∴∠C=75°; ③如答图③,当AB=BC时， AD= BC,AD= AB. 又∵AD⊥BC,∴∠DBA=30°,∴.∠C=15°; 若∠C为顶角，如答图④,AC=BC, ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. AD= BC,AD= —AcC,⋯.∠C=30°. 综上，∠C的度数为45°或75°或15°或30°. C B C D D B D 口 D A2 B A CC A A B题答图① 2题答图② 2题答图③ 2题答图④ 3.解：设这个角的度数为x, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为 180°-2x, 根据题意得x=2(180°-2x),解得x=72°; 当这个角为顶角时，则底角为180°- 根据题意得：x=2(180°-=),,解得x=90°,则底角的度数为 180°-*=45。.综上所述，底角为72°或45°. 4.3或10 [解析]分两种情况；①当点P在OA上时，如答 图①,0P=0Q,根据题意，得PO=A0-AP=10-21,0Q= ·15· 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P14] 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 《基础巩固练 知识点①等边三角形的性质 1 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,E为AD 上一点，∠CED=50°,则∠ABE等于 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° A E B D C β 7 α I? 1题图 2题图 2已知直线l?//2,将等边三角形按如图所示的方 式放置，若∠α=40°,则∠β等于 ( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 3如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D,AE =AD,则∠ADE=_____ A A F E E 介 B D C B C 3题图 4题图 4 如图，在等边△ABC中，BE,CF是△ABC的中 线，BE,CF 交于点 0,则∠EOF的度数 为_______ 5(云南保山期中)如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至点E,使DB =DE. (1)求∠BDE的度数； (2)求证：△CED为等腰三角形. A D B C E 5题图 54 知识点② 等边三角形的判定 6 下列三角形中，不一定是等边三角形的是 ( ) A.三个角都相等的三角形 B.有两个角等于60°的三角形 C.一边上的高也是该边上的中线的三角形 D.有一个外角等于120°的等腰三角形 如图，用圆规以直角顶点0为圆 B 心，以适当长为半径画弧，分别 C 交两直角边于A,B两点，再以点 A为圆心，以OA的长为半径画 0 A 弧，与前面所画的弧相交于点 7题图 C,连接OC,则∠AOC的度数为______ 8 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,点D在边 AB上，连接CD.给出下列四种说法： ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 腰三角形. 其中正确的说法是____.(请填写序号) 9如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点， DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE= DF.求证：△ABC是等边三角形. A E D B- F C 9题图 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 能力提升练 [答案 P15] ①(益阳中考)如图，AB//CD,△ACE为等边三角 形，∠DCE=40°,则∠EAB等于 ( ) A.40° B.30° C.20° D.15° C D C E >E A2 F B A B 1题图 2题图 2(常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分 线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三 角形，则∠B=____. 3(宜昌中考)如图，在一个池塘两旁有一条笔直 小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树 位置).测得的相关数据为∠ABC=60°,∠ACB =60°,BC=48米，则AC=___米. AX 池塘 B- C A B< E C D 3题图 4题图 4 如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC= CD,∠ACD=90°,连接BD交AC于点E,则 ∠ADB的度数为________. 5 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为BC边上 的中点，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F. (1)求证：DE=DF; (2)若∠A=60°,BD=4,求△ABC的周长. F B D C 5题图 见此 标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 6[核心素养]【问题发现】1643年，法国数学家费 马曾提出一个著名的几何问题：对于不在同一 条直线上的三个点A,B,C,存在一点P,它到这 三个点的距离之和最小，这个点后来被称为“费 马点”. 【问题解决】如图，△ABC三个内角均小于120°, 点P是△ABC内部一点，当PA+PB+PC取得 最小值时，请分别求∠APB,∠APC,∠CPB的 度数. 解：如图，分别以AP,AC为边作等边△APD,等 边△ACE⋯⋯ 请将上述解题过程补充完整. E A >D P B C 6题图 知识精讲 固 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 55 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P15] 课时2 含30°角的直角三角形的性质 基础巩固练 知识点①含有30°角的直角三角形的性质 1(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°,∠C=30°,AD⊥BC,垂足为D,则BD与BC 的数量关系是 ( ) A.BD= BC B. BD= BC C BD=4BC D.BD= BC A B D E A C C D B 1题图 2题图 2(西宁中考)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B= 30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一 点，连接DE,则下列说法错误的是( ) A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED 知识点②含有30°角的直角三角形的性质的应用 3 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对 岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C,利 用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC = 2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于 ( ) A A.2 km B.3 km C.3.5 km C 11 B D.4 km 3题图 4如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC,顶角 ∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为支柱(即底 边BC的中线),两根支撑架 DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F,则DE+DF等于 ( ) A.10m B.9.5m C.5m D.2.5m B A E F D B D C A C 4题图 5题图 5 如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, CD⊥AB于点D,AB=12,则DB等于( ) A.3 B.4 C.6D.9 56 6 (河北承德期末)如图，一艘轮船以每小时20海 里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C 在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B 处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当 轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航 程AD的距离是______海里. 北 C D 60 SB 30° A Ay P C2 M N B 6题图 7题图 如图，已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边 CB上，PM= PN.若MN =3,则CM的长 为________. 8 如图，等边三角形ABC的边长为8,D为AB边上 一动点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作 EF⊥AC于点F. (1)若AD=2,求AF的长； (2)当AD取何值时，DE=EF? 4 D/ F B E C 8题图 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好 成绩