第13章 专题1-2 三角形中角度的计算—与角平分线、高结合 三角形内外角的角平分线模型-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) 微专题2 运用“飞镖型”“8字型”求角度(2)证明：∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠CAE. ∵∠CAE+∠CEF=90°, ∴∠BAE+∠AFD=90°, ∴∠CEF=∠AFD. ∵∠CFE=∠AFD, ∴∠CEF=∠CFE. 6.B 7.B 8.证明：∵AB//CD,∴ ∠BEF+∠DFE=180°. 又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P, ∴∠PEF=2∠BEF,∠PFE=—∠DFE, ∠PEF+∠PFE=—(∠BEF+∠DFE)=90°, ∴△PEF是直角三角形. 【能力提升练】 1.D 2.B 3.50°或30° 4.(1)解：∵在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°, 13.3.2 三角形的外角 【基础巩固练】 ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°. 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 又∵CE平分∠ACB, ∠ACE= —∠ACB=45°. (2)证明：∵CD⊥AB,∠B=60°, ∴∠BCD=90°-60°=30°. 又∵∠BCE=∠ACE=45°, ∴∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°. 又∵∠CDF=75°, ∴∠CDF+∠DCF=75°+15°=90°, ∴△CFD是直角三角形. 5.解：(1)17 (2)①△ABD是“准互余三角形”. 理由：∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD. ∵∠C=90°,∴∠BAC+∠B=90°, ∴2∠BAD+∠B=90°, ∴△ABD是“准互余三角形”. ②121°或118° 1.C 2.A [解析]由折叠，得∠A = ∠A'.∵∠BDA′= ∠A+ ∠AFD,∠AFD= ∠A′+ ∠CEA’,∠A =α,∠CEA′=β, ∠BDA'=y,∴∠BDA'=y=α+α+β=2α+β.故选A. 3.解：∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∠2+∠4=2(180°-∠A)=90°-—4. ∵∠DEC=∠2+∠4,CD⊥BD, ∠DCE=90°=∠DEC=90°-(90°-—∠A)=—4. 1.180° 2.解：如答图，由模型可知 ∠AMC=∠1+∠D+∠4,① ∠ABC=∠2+∠AMC+∠3.② ①-②,得∠AMC-∠ABC=∠1+∠D+ ∠4-∠2-∠AMC-∠3. ∵AM平分∠DAB,CM平分∠DCB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴2∠AMC=∠ABC+∠D. 3.63°4.180°5.减少 10 D M L 4 B ③ A C 2题答图 专题1 三角形中角度的计算—与角平分线、高结合 1.证明：∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. ∵BD⊥AC,∠ABC=90°, ∴∠BAE+∠BEF=∠CAE+∠AFD=90°, ∴∠BEF=∠AFD. ∵∠BFE=∠AFD,∴∠BEF=∠BFE. 2.解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠BED+∠EBD=90°. ∵∠BED=68°,∴ ∠EBD=22°. ∵ BE平分∠ABC,∠ABC=2∠EBD=44°. ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠C=65°,∴∠BAC=71°. 3.解：(1)因为∠B=40°,∠C=62°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-62°=78°. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC=2∠BAC=39°. 因为AE是BC边上的高， 所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-∠C=90°-62°=28°, 所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=39°-28°=11°. (2)数量关系：∠DAE=—(∠C=∠B). 因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC=÷∠BAC=90°-—(∠B+∠C). 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-∠C, 所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-—(∠B+∠C)- (90°-∠C)=2(∠C-∠B). (3)设∠ACB=α,则∠BCF=180°-α. 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-α. 因为∠CAE和∠BCF的平分线交于点G, 所以∠CAG= —∠EAC=—(90°-aα)=45°-2α, ∠BCG=—∠BCF=—(180°-a)=90°-2a, 所以∠G=180°-∠GAC=∠ACG=180°-(45°-2a)- a-(90°-2a)=45° 专题2 三角形内外角的角平分线模型 1.40 2.60 3.解：(1)∵∠A=42°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°. ∵BO,CO分别是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线， ∠1=—∠ABC,∠2=—∠ACB, ·2· 参考答案及解析 ∠1+∠2=2(∠ABC+∠ACB)= —×138°=69°, ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-69°=111°. (2)∵ BO,CO分别是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线， ∠1=—∠ABC,∠2=—∠ACB, ∠1+∠2=—(∠ABC+∠ACB)=—(180°-∠A), ∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-—(180°-∠A)= 90°+—∠4. 4.(1)证明：∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°. ∵AE⊥DE,∴ ∠AED=90°, ∴∠AEB+∠CED=90°,∴∠BAE=∠CED. (2)解：45° (3)解：∵EH平分∠CED, ∠CEH=—∠CED,∠BEG= —∠CED. ∵AF平分∠BAE,∴:∠BAG=—∠BAE. ∵∠BAE=∠CED,∴∠BAG=∠BEG. ∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠BAG+∠GAE+∠AEB=90°, 即∠GAE+∠AEB+∠BEG=90°, ∴∠AGE=90°,∴EG⊥AF. 5.C 6.25°7.90°8.①④ 9.C 10.解：(1)∠ACB=45°. [解析]∵AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,∴∠NAD= ∠BAD=2∠BAN,∠ABC =∠MBC= ∠ABM. ∵∠BAO+ ∠ABO= 180°- ∠AOB=90°,∵∠CAB+ ∠CBA=2(∠BAN+∠ABM)=—(360°-90°)=135°, ∴∠ACB=180°-135°=45°. (2)∠ACB的度数不改变. ∵AD平分∠BAN,BC平分∠ABM, ∠NAD=∠BAD=—∠BAN, ∠ABC=∠MBC=—∠ABM ∵∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=180°-α, ⋯∠CAB+∠CBA=÷(∠BAN+∠ABM) =2[360°-(180°-α)]=90°+2a, ∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=90°-2a 数学活动 1.C 2.解：(1)4根火柴不能搭成三角形. (2)12根火柴能搭成3种不同形状的三角形.示意图如答 图所示. 4 4 4 等边三角形 5 5 2 等腰三角形 2题答图 3 5 4 直角三角形 3.n-2 4.解：(1)有关系.关系如下：题图①中，三角形的个数=多边 形的边数-2;题图②中，三角形的个数=多边形的边数；题 图③中，三角形的个数=多边形的边数-1. (2)由(1)得，若是n(n为大于3的整数)边形，三种方法分 割所得三角形的个数依次为n-2,n,n-1. 易错疑难集训一 1.A 2.D 3.解：∵(b-5)2+√c-7=0, ∴b-5=0,c-7=0,解得b=5,c=7. ∵a为方程la-31=2的解， ∴a=5或1. 当a=1时，1+5<7,不能构成三角形， ∴a=1不符合题意； 当a=5时，5+5>7,能构成三角形， 此时，△ABC的周长为5+5+7=17. 综上，△ABC的周长为17. ∵a=b=5, ∴△ABC是等腰三角形. 4.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x. 当AB+AD=15,BC+CD=6时，有2x+x=15, 所以x=5,2x=10,BC=6-5=1; 当BC+CD=15,AB+AD=6时，有2x+x=6, 所以x=2,2x=4,所以BC=13. 但4+4<13,不能组成三角形. 故三角形的腰长为10,底边长为1. 5.解：(1)2x-4 32-3x (2)6<x<9 (3)x的值是8或35 6.70°或30° 7.解：∠ABC的度数为80°或40°. 本章考点检测训练 1.C 2.B 3.D 4.能 5.8 6.解：(1)∵在△ABC中，AB=22,BC=10,AC=2m+2, ∴22-10<2m+2<22+10, ∴m的取值范围为5<m<15. (2)∵△ABC为等腰三角形，分类讨论： ①当AC=AB时，2m+2=22,解得m=10. ∵5<m<15,∴符合题意， ∴△ABC的周长为22+22+10=54; ②当AC=BC时，2m+2=10,解得m=4. ∵5<m<15,∴不符合题意，舍去. 综上所述，△ABC的周长为54. 7.C 8.B 9.9 10.解：(1)如答图，线段AD即为所求. (2)如答图，线段BE 即为所求. (3)4 A E D C B 10题答图 11.A 12.D 13.B 14.B 15.60或10 ·3· 第十三章 三角形 专题1 三角形中角度的计算——与角平分线、高结合[答案 P2] 类型③不同顶点处的角平分线与高结合求角度 1 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AE平分 ∠BAC,交BD于点F,∠ABC=90°,求证：∠BEF =∠BFE. A D F B E C 1题图 2 如图，AD是△ABC的边BC上的高，BE平分 ∠ABC交AD于点E,若∠C=65°,∠BED=68°, 求∠ABC和∠BAC的度数. A E B D C 2题图 类型②同一顶点处的角平分线与高结合求角度 见此 标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 3 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC 边上的高. (1)如图①,若∠B=40°,∠C=62°,求∠DAE的 度数； (2)如图①,若∠B<∠C,试说明∠DAE,∠B, ∠C的数量关系； (3)如图②,延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的 平分线交于点G,求∠G的度数. 4 B DE C A C B E F G 3题图① 3题图② 11 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P2]专题2 三角形内外角的角平分线模型 类型③三角形两个内角平分线的夹角 模型展示 A P B C 平分致的义之AC△∠BPC=90°+2∠4 ① 如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交 于点0,0D⊥0C交BC于点D.若∠A=80°,则 ∠BOD=_______. A 0 B D C A P B C 1题图 2题图 2 如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分 线的交点.若∠BPC=2∠A,则∠A=____. 3如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相 交于点0. (1)若∠A=42°,求∠BOC的度数； (2)把(1)中∠A=42°这个条件去掉，试探索 ∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系. A 0 B 2 C 3题图 12 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好 成绩 ④ 新考法 如图①,AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点 C,点E在线段BC上，且AE⊥DE. (1)求证：∠BAE=∠CED; (2)如图②,AF,DF分别平分∠BAE和∠CDE, 则∠F的度数是_____(直接写出答案 即可); (3)如图③,EH平分∠CED,EH的反向延长线 交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG1 AF(提示：三角形的内角和等于180°). CD EK B A C D F< Ek B A CHD E F、 G B A 4题图① 4题图② 4题图③ 第十三章 三角形 类型②三角形一个内角与一个外角平分线的夹角 模型展示 A 0 B C D 力24△cCD平分点所0=224 5 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACM的平分线.若∠ABP=20°, ∠ACP=50°,则∠A+∠P= ( ) A.70° B.80° C.90° D.100° A P B C M 5题图 A E B C -D 6题图 6如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A =50°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,则∠E的 度数为________ 7如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点， ∠CAD的平分线与∠CBD的平分线相交于点 E.当∠E+∠C=60°,∠EBA=25°时，∠CAD的 度数为_______ C E D A B 7题图 A 1 E 0 2 B C D 8题图 8 如图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC, ∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延 长线于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2.给出 下列结论：①∠1=2∠2;②∠BOC =3∠2; ③∠BOC=90°+∠1;④∠BOC=90°+∠2.其 中正确的是_______(请填写序号) 类型③三角形两个外角平分线的夹角 模型展示 A B C D 0 E 点0平分线的点BCE,0=90°-—∠A 9 如图，在△ABC中，∠B=46°,三角形的外角 ∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC 的度数为 ( ) DA A.47° E B.57° B< C.67° C F D.77° 9题图 10 新考向已知∠MON,点A,B分别在射线ON, OM上移动(不与点0重合),AD平分∠BAN, BC平分∠ABM,AD(或其反向延长线)与BC交 于点C. (1)如图①,若∠MON=90°,试猜想∠ACB的度 数，并直接写出结果； (2)如图②,若∠MON=α,问：当点A,B在射线 ON,OM上运动的过程中，∠ACB的度数是 否改变?若不改变，求出其值(用含α的式 子表示);若改变，请说明理由. N C D AK 0 B M 10题图① N C D A 0 BM 10题图② 见此图标眼微信扫码 难题轻松解练出好成绩 13