15.3.2 等边三角形-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.D 7.B 8.20° 9.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=40°, ∴∠BAC=2∠BAD=80°. 【能力提升练】 1.A 2.D 3.80°4.45° 5.证明：(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC=90°. ∵∠BAC=90°,∴.∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD. (2)∵AF//BC,∴∠EAF=∠AEB. ∵AB=AE,∴∠B=AEB,∴∠B=∠EAF. 又∵AB=EA,∠BAC=∠AEF=90°, ∴△BAC≌△AEF,∴AC=EF. 6.(1)解：42°[解析]∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB=66°. ∵ BE1AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=90°-∠ACB=90°- 66°=24°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°. (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°,∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70° ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= 2∠ABC=35°. (4)解：①15°[解析]∵AD是边 BC上的高，AB=AC, ∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.∵AD=AE,∴∠ADE= ∠AED=—(180°-30°)=75°,∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-75°=15°. ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC = ∠ADE+∠EDC= ∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵DE//AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠BAD=∠EDA. ∵AD⊥BD, ∴∠B+∠BAD=90°,∠BDE+∠EDA=90°, ∴∠B=∠BDE,∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. 4.C 5.10 6.(1)解：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵EF//AC,∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. 7.解：作等腰△ABC如答图. C A D| B Y 7题答图 【能力提升练】 1.D 2.D 3.3 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴∠DCG+∠CDG=90°. ∵CB=CD,∴∠BCG=∠DCG=2∠BCD. ∵BF⊥CD于点E,∴∠ABF+∠CDG=90°, ∠ABF=∠DCc=—∠BCD C F E 友 合 A‘ D G B 4题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： ∵∠A=45°,CG⊥AB, ∴∠ACG=45°. ∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. ∵∠BCG=∠DCG=∠ABF, ∴∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF, ∴△BCF是等腰三角形. 微专题4 角平分线+平行线→等腰三角形 【例】2 【变式训练】 (1)证明：∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. ∵DE//BC,∴.∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE. (2)解：30° 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 【基础巩固练】 1.C 2.A 3.75°4.120° 5.(1)解：∵DB=DE,∴∠E=∠DBE. ∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴∠DBC=30°, ∴∠E=∠DBE=30°, ∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. ·14· 参考答案及解析 (2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°. ∵∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°, ∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 6.C 7.60°8.①②④ 9.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, ∴Rt△AED≌Rt△CFD,∴ ∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 【能力提升练】 1.C 2.30 3.48 4.30° 5.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AB=AC,∴.∠B=∠C. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. Ac0mo nAcmoa ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=2BD=8, ∴△ABC的周长为24. 6.解：如答图，分别以AP,AC为边作等边△APD,等边△ACE, 连接DE, ∴∠PAD=∠CAE=60°, ∴∠PAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 即∠PAC=∠DAE. 在△PAC和△DAE中，E2 zu ∴△PAC≌△DAE(SAS), ∴PC=DE,故PA+PB+PC=PD+PB+DE. 当B,P,D,E在同一条直线上时， PA+PB+PC取得最小值. ∵△APD为等边三角形， ∴∠APD=∠ADP=60°, ∴∠APB=180°-60°=120°. ∵△PAC≌△DAE, ∴∠APC=∠ADE=180°-∠ADP=180°-60°=120°, ∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC=360°-120°-120° =120°. E A D P B C 6题答图 课时2 含30°角的直角三角形的性质 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.6072 8.解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60°. ∵AD=2,∴ BD=AB-AD=8-2=6. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°, BE= BD=2×6=3,CE=BC-BE=8-3=5. 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°, CF= —CE= 2×5=2, AF=AC-FC=8-2=2 (2)在△BDE和∠CEF中，- ∴△BDE≌∠CEF(AAS),∴ BE=CF. ∠CEF=30°⋯.BE=CF=—EC, BE= BC=8,BD=2BE=, AD=AB-BD=3⋯当AD=8时，DE=EF. 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 1.解：①当底边长为6,腰长为7时，符合三角形三边关系，周 长为6+7+7=20; ②当底边长为7,腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为 7+6+6=19. 2.解：若∠C为底角， ①如答图①,当AB=AC时， ∵AD⊥BC,∴BD=CD. AD= BC,AD=BD=CD,.∠C=45°; ②如答图②,当AB=BC时， AD=2BC,∴AD=—AB. 又∵AD⊥BC,∠ABD=30°,∴∠C=75°; ③如答图③,当AB=BC时， AD= BC,AD= AB. 又∵AD⊥BC,∴∠DBA=30°,∴.∠C=15°; 若∠C为顶角，如答图④,AC=BC, ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. AD= BC,AD= —AcC,⋯.∠C=30°. 综上，∠C的度数为45°或75°或15°或30°. C B C D D B D 口 D A2 B A CC A A B题答图① 2题答图② 2题答图③ 2题答图④ 3.解：设这个角的度数为x, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为 180°-2x, 根据题意得x=2(180°-2x),解得x=72°; 当这个角为顶角时，则底角为180°- 根据题意得：x=2(180°-=),,解得x=90°,则底角的度数为 180°-*=45。.综上所述，底角为72°或45°. 4.3或10 [解析]分两种情况；①当点P在OA上时，如答 图①,0P=0Q,根据题意，得PO=A0-AP=10-21,0Q= ·15· 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P14] 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 《基础巩固练 知识点①等边三角形的性质 1 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,E为AD 上一点，∠CED=50°,则∠ABE等于 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° A E B D C β 7 α I? 1题图 2题图 2已知直线l?//2,将等边三角形按如图所示的方 式放置，若∠α=40°,则∠β等于 ( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 3如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D,AE =AD,则∠ADE=_____ A A F E E 介 B D C B C 3题图 4题图 4 如图，在等边△ABC中，BE,CF是△ABC的中 线，BE,CF 交于点 0,则∠EOF的度数 为_______ 5(云南保山期中)如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至点E,使DB =DE. (1)求∠BDE的度数； (2)求证：△CED为等腰三角形. A D B C E 5题图 54 知识点② 等边三角形的判定 6 下列三角形中，不一定是等边三角形的是 ( ) A.三个角都相等的三角形 B.有两个角等于60°的三角形 C.一边上的高也是该边上的中线的三角形 D.有一个外角等于120°的等腰三角形 如图，用圆规以直角顶点0为圆 B 心，以适当长为半径画弧，分别 C 交两直角边于A,B两点，再以点 A为圆心，以OA的长为半径画 0 A 弧，与前面所画的弧相交于点 7题图 C,连接OC,则∠AOC的度数为______ 8 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,点D在边 AB上，连接CD.给出下列四种说法： ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 腰三角形. 其中正确的说法是____.(请填写序号) 9如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点， DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE= DF.求证：△ABC是等边三角形. A E D B- F C 9题图 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 能力提升练 [答案 P15] ①(益阳中考)如图，AB//CD,△ACE为等边三角 形，∠DCE=40°,则∠EAB等于 ( ) A.40° B.30° C.20° D.15° C D C E >E A2 F B A B 1题图 2题图 2(常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分 线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三 角形，则∠B=____. 3(宜昌中考)如图，在一个池塘两旁有一条笔直 小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树 位置).测得的相关数据为∠ABC=60°,∠ACB =60°,BC=48米，则AC=___米. AX 池塘 B- C A B< E C D 3题图 4题图 4 如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC= CD,∠ACD=90°,连接BD交AC于点E,则 ∠ADB的度数为________. 5 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为BC边上 的中点，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F. (1)求证：DE=DF; (2)若∠A=60°,BD=4,求△ABC的周长. F B D C 5题图 见此 标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 6[核心素养]【问题发现】1643年，法国数学家费 马曾提出一个著名的几何问题：对于不在同一 条直线上的三个点A,B,C,存在一点P,它到这 三个点的距离之和最小，这个点后来被称为“费 马点”. 【问题解决】如图，△ABC三个内角均小于120°, 点P是△ABC内部一点，当PA+PB+PC取得 最小值时，请分别求∠APB,∠APC,∠CPB的 度数. 解：如图，分别以AP,AC为边作等边△APD,等 边△ACE⋯⋯ 请将上述解题过程补充完整. E A >D P B C 6题图 知识精讲 固 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 55 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P15] 课时2 含30°角的直角三角形的性质 基础巩固练 知识点①含有30°角的直角三角形的性质 1(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°,∠C=30°,AD⊥BC,垂足为D,则BD与BC 的数量关系是 ( ) A.BD= BC B. BD= BC C BD=4BC D.BD= BC A B D E A C C D B 1题图 2题图 2(西宁中考)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B= 30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一 点，连接DE,则下列说法错误的是( ) A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED 知识点②含有30°角的直角三角形的性质的应用 3 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对 岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C,利 用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC = 2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于 ( ) A A.2 km B.3 km C.3.5 km C 11 B D.4 km 3题图 4如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC,顶角 ∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为支柱(即底 边BC的中线),两根支撑架 DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F,则DE+DF等于 ( ) A.10m B.9.5m C.5m D.2.5m B A E F D B D C A C 4题图 5题图 5 如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, CD⊥AB于点D,AB=12,则DB等于( ) A.3 B.4 C.6D.9 56 6 (河北承德期末)如图，一艘轮船以每小时20海 里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C 在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B 处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当 轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航 程AD的距离是______海里. 北 C D 60 SB 30° A Ay P C2 M N B 6题图 7题图 如图，已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边 CB上，PM= PN.若MN =3,则CM的长 为________. 8 如图，等边三角形ABC的边长为8,D为AB边上 一动点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作 EF⊥AC于点F. (1)若AD=2,求AF的长； (2)当AD取何值时，DE=EF? 4 D/ F B E C 8题图 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 [答案 P15] 类型③腰或底不确定时分类讨论 1已知等腰三角形的两边长分别为6和7,求这个 三角形的周长. 类型②顶角或底角不确定时分类讨论 2已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D,且AD = BC,,求锐角∠C的度数. 3若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两 倍，求底角的度数. 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 类型③点的位置不确定时分类讨论 ④ 如图，∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点， OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s 的速度移动，动点Q从点0出发沿OC以1cm/s 的速度移动，如果点P,Q同时出发，用t(s)表示 移动的时间，那么当t=_____时，△POQ是 等腰三角形. C Q A P0 B 4 E B D C 4题图 5题图 5(四川成都期中)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点，点E在AB 上，∠AED=69°,若点P是等腰三角形ABC的 腰AC上一点，则当△EDP为等腰三角形时， ∠EDP的度数是______. 类型④腰的垂直平分线不确定时分类讨论 6 在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于 点D,交直线AC于点E,∠AEB=80°,求∠EBC 的度数. 57 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P16]专题6 构造等腰三角形的常用方法 类型①构造“三线合一”图形 ①如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC 的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF. 求证：(1)ED=DF;(2)ED⊥DF. A F E B D C 1题图 类型②作平行线构造等腰三角形 3 如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E 在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F. 求证：DF=EF. A D B CF E 3题图 2如图，在△ABC中AC=2AB,AD平分∠BAC交 ④ 如图，在△ABC中，CA=CB,D在AC延长线上， BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC.求证： E在BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB. EB⊥AB. D B C D E E A C A B 2题图 4题图 58 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 类型③“倍长中线法”构造等腰三角形 类型④“截长补短法”构造等腰三角形 5 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以 便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的 有关知识来解决问题的方法.利用上述方法解 决以下问题：如图，在正方形ABCD中，E为AB 边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点.若AG =2,BF=4,∠GEF=90°,求GF的长. D C F G A E B 5题图 6 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点， AD,CE交于点F,且AE=EF.求证：AB=CF. A E F B D C 6题图 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 7如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点， 且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证：BD+DC=AB. A B D C 7题图 8 如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于点 D,且AB+BD=DC,求∠C的度数. A B D C 8题图 59 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P17]专题7 “手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形 类型①共顶点的等腰直角三角形 ①(哈尔滨中考)已知，△ABC和△DCE都是等腰 直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD 交于点0,AE与DC交于点M,BD与AC交于 点N. (1)如图①,求证：AE=BD; (2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图②中四对全等的直角 三角形. A DA D 0N M℃ B M N C B E é 1题图① 1题图② 类型②共顶点的等边三角形 2 如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点 B,C,D在一条直线上时，连接AD,BE交于点 M,连接CM,试探究线段BM与线段AM,CM之 间的数量关系，并说明理由. A M E B C D 2题图 60 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好成绩 3 在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一点(不 与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①,若△ABC是等边三角形，且AB=AC =2,点D在线段BC上. ①求证：∠BCE+∠BAC=180°; ②当四边形ADCE的周长取最小时，求BD 的长； (2)若∠BAC≠60°,当点D在线段BC的延长线 上移动时，如图②,∠BCE和∠BAC之间有 怎样的数量关系?并说明理由. E B D C A E B C D 3题图① 3题图② 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 抖音/微信 扫码进阶 第十五章 轴对称 专题8 轴对称——将军饮马 [答案 P17] 类型①“两定一动”型 类型 模型分析 依据 在直线l上找一点P,使得PA+ PB的值最小 “两定一 动”求 A· ·B A 两点之 B 和 -1 -1 间，线段 P 的最小值 B' 最短 (作点B关于直线l的对称点 B′,连接AB′,与直线l交于点P) 在直线l上找一点P,使得IPA- PBI的值最大 A· B A- B “两定一 动”求 (连接AB并延长，与直线l交于 三角形 差 点P) 的 三边 的最大值 A· A- 关系B' B B1P 1 (作点B关于直线l的对称点 B',连接AB'并延长，与直线l交 于点P) 1 如图，在正方形网格中有M,N两点，在直线l上 找一点P使PM+PN的值最小，则点P应选在 ( ) M: iN A B C D l 1题图 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 2如图，A,B两点都在直线MN的上方，AB=5,A 到直线MN的距离AC=8,B到直线MN的距离 BD=5,P在直线 MN上运动，则IPA-PBI的最 大值等于________ A B N DP C M 2题图 类型②“一定两动”型 3如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°,∠B= ∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使 △AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的 度数为 ( ) 4 □D B N M C 3题图 A.130° B.120° C.110° D.100° 4 (安徽芜湖期末)如图，在锐角三角形ABC中， AB=6,△ABC的面积为18,BD平分∠ABC,若 E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最 小值为 ( ) A D E B F C 4题图 A.5 B.6 C.7 D.8 类型 模型分析 依据 点P为∠AOB内一点，在OA上 找一点M,在OB上找一点N,使 得PN+NM的值最小 “一定两 动”求 A A 垂线段 和 .P M P 最短 的最小值 0 B 0 -BN P' (作点P关于OB的对称点P', 过点P′作OA的垂线，分别与 OB,0A交于点N,M) 点P为∠AOB内一点，在OA上 找一点M,在OB上找一点N,使 得△PMN的周长最小 “一定两 动”求周 A P′ A 两点之 长的最 M 间，线段 小值 0 ·P-B 04 最短NYP" (分别作点P关于OA,OB的对 称点P',P",连接P'P”,交OA,OB 于点M,N) 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 61 同步练测·八年级数学(上册) 5 如图，在△ABC中，AD⊥BC,AC=AE,AD=8, BC=18,P为线段AD上一动点，E是BC上一定 点，F是线段AB上一动点，则当EP+FP取最小 值6时，AB的长为______. 4 P F C D E B 5题图 6 已知点P在∠MON内. (1)如图①,点P关于射线OM的对称点是G,点P 关于射线ON的对称点是H,连接OG,OH,OP. ①若∠MON=50°,则∠GOH=____; ②若PO=5,连接GH,请说明当∠MON为 多少度时，GH=10; (2)如图②,若∠MON =60°,A,B分别是射线 OM,ON上的任意一点，当△PAB的周长最 小时，求∠APB的度数. G M P 0 N H M P A 0 B N 6题图① 6题图② 类型③ “两定两动”型 7 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥MN,使从点A到B的路径A-M-N- B最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与 河岸垂直) ( ) A< A· Ma M -a Nb B N bB A (BM垂直于a) (AM不平行于BN) A B A 自 A M 西 B a M a 7题图 N bB N b B (AN垂直于b) (AM平行于BN) C D 8(北京西城区期末)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°,D,E是边AB上的两个定点，M,N分 别是边AC,BC上的两个动点.当四边形DEMN 的周长最小时，∠DNM+∠EMN的度数是 ( ) A E M D B N C 8题图 A.45° B.90° C.75° D.135° 类型 模型分析 依据 直线l同侧有两点A,B,在直线l 上找两点M,N(其中MN的长度 固定),使得AM+MN+NB的值 最小 “两定两 A\ B Ar B 两点之 动”求线 段和的 M N 1 M N 1 间，线段 最短 最小值 A? (将点A向右平移MN的长度到 点A?,作点A?关于直线l的对称 点A?,连接A?B,交直线l于点 N,再确定点M) 62 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十五章 轴对称 数学活动 [答案 P18] 活动①美术字与轴对称 ①汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金 文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每 种书体都有着鲜明的艺术特征.下面文字属于 轴对称图形的是 ( ) 得饕业蹈 A B C D 活动②利用轴对称设计图案 ② 已知网格中每个小正方形的边长都是1,图①中 的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形 的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆 心、2为半径所画的圆弧围成的弓形.请你在图 ②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设 计一个图案，使该图案为轴对称图形. 2题图① 2题图② 活动③等腰三角形中相等的线段 3【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问 题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 同学们就这个问题展开探究. 【问题初探】 (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的 图形，如图①,在△ABC中，AB=AC,D是BC 的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E, F.经过探究讨论，该小组的同学们得出的结 论是DE=DF,他们的证法如下： 证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. ∵AB=AC,∴ ∠B=∠C(依据1). ∵D是BC的中点，∴ BD=CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(依据2), ∴DE=DF. ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1: 依据2: : ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 (2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现， 如图②,在△ABC中，D是BC的中点，DE1 AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,作腰AB上的 高CG,则CG与DE有确定的数量关系.请 你直接写出这个数量关系：____; 【类比探究】 (3)奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以 下两个正确结论：①如图③,在△ABC中， AB=AC,D为BC的中点，若DE,DF分别为 △ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然 成立；②如图④,在△ABC中，AB=AC,D为 BC的中点，若 DE,DF分别为△ABD和 △ACD的角平分线，那么DE = DF仍然成 立.请你选择其中一个结论证明. A E F BDC A G E F BD C A E F B D C A E F B DC 3题图① 3题图② 3题图③ 3题图④ 知识精讲 固 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 63 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P18]易错疑难集训三 易错疑难点③)不能正确理解对称轴的含义 画出图中图形的对称轴. A D B C 1题图 易错疑难点②混淆关于坐标轴对称与其他直线 对称的坐标关系 2 △ABC三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘-1 后得到△DEF,则△ABC与△DEF的位置关系 是 ( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.△ABC向下平移1个单位长度后得到△DEF 3点(3,4)关于直线y=2 对称的点的坐标 为____ 易错疑难点③遗漏对称轴条数 4 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴 共有 ( ) 4题图 A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 易错疑难点④没有正确利用轴对称的性质 5 如图，作出△ABC关于直线BC对称的图形. A B C 5题图 易错疑难点⑤对线段的垂直平分线的判定理解 不清 6 如图，直线l与线段AB交于点0,点P在直线l 上，且PA=PB,则下列结论正确的有( ) ①AO=BO; ②PO⊥AB; ③∠APO=∠BPO; ④点P在线段AB的垂直平分 线上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 l P A- 0 B 6题图 7如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形 的骨架，其中AC是∠BAD的平分线，∠ABC= ∠ADC=90°.求证：AC是线段BD的垂直平 分线. A B← D ? 7题图 易错疑难点⑥网格或平面直角坐标系中确定等 腰三角形个数时漏解 8 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称 为格点.已知A,B是两格点，如果C也是图中的 格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的 个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 y4 /A B A 0 8题图 9题图 9如图，在平面直角坐标系中，0是原点，OA与 x轴正半轴的夹角为60°,P是x轴上的动点，且 满足△OAP为等腰三角形，点P的可能位置共 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 64 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 第十五章 轴对称 本章考点检测训练 [答案 P18] 考点①)轴对称与轴对称图形 1(跨学科(衡阳中考)下面四种化学仪器的示意 图是轴对称图形的是 ( ) A B C D 2 如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于 y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A 的坐标为(6,-1),则点B的坐标是 ( ) A.(-3,-1) B.(-2,-1) C.(-1,-1) D.(-3,-2) y4 A B0 X A B D B'C 2题图 3题图 3(哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与 △ADB′关于直线AD对称，点B对称点是点B′, 则∠CAB′的度数为 ( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 4如图，已知A(7,2),B(3,-2),点C与点B关于 y轴对称，且点D与点B关于x轴对称. (1)求点C,D的坐标； (2)作出四边形ABCD关于x轴对称的四边形 A'B'C′D'; (3)求四边形ABCD的面积； (4)在平面直角坐标系中找一点P,使其到A,B, C三点的距离相等，求点P的坐标. y 5 4E2 10 32+ 2 3.45!6Z8 23 [B 4题图 见此图标眼微信扫码 难题轻松解练出好成绩 考点②线段的垂直平分线的性质 5如图，在△ABE中，AD垂直平分BC,CF垂直平 分AE,若AB=4,BD=2,则BE=______. A 4 p F E F B D C E B D C 5题图 6题图 6 如图，在△ABC中，∠B=75°,分别以点A,C为 圆心，大于4C的长为半径作弧，两弧在AC两 侧分别交于点P,Q,作直线PQ,交BC于点D, 交AC于点E,F是AD上一点，且AB=CF,若 ∠DAC=45°,则∠ACF的度数为_______. 考点③等腰三角形的性质与判定 7如图，直线a//b,点A和点B分别在直线a和b 上，点C在直线a,b之间，且BC=AC,∠ACB= 120°,∠1=45°,则∠2的度数是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° B 1 b C 2 A\ a C D b E A B 7题图 8题图 8 如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于点E,∠DAB =∠DBA,AC=14,△CDB的周长为22,则DC 的长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9 如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边三角 形ABC,立柱DE的端点D在AB上，且立柱 DE 与地面垂直(即DE⊥BC,垂足为E),则BD与 BE的比值为 ( ) A D B E C 9题图 A上 B. c.2 D.2 65 同步练测·八年级数学(上册) 10 (江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按 如图所示的方式放置，已知∠α=60°,点B,C表 示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为___ cm. A. B/ C 0 2 45 10题图 11如图，在点A处有AB,AC两条路，甲、乙两车同 时从点A出发，甲车沿南偏西60°方向行驶至点 C,乙车沿正西方向行驶至点B.经测量，点C位 于点B的南偏东15°方向上，若AB=300米，则 点C到公路AB的距离为______米. 北 B A 60 15° C A D 0 E B C 11题图 12题图 12如图，△ABC为等边三角形，CD垂直平分AB, BE垂直平分AC,CD与BE交于点0,若BE=6, 则点0到BC的距离为_______ 13如图，在△ABC中，AB=AC=BC=6,点M,N分 别是BC,CA边上的动点.点M从点B运动到点 C,点N从点C运动到点A,已知点M的速度为 每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个 单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之 停止运动.设运动时间为ts,当△MCN为直角三 角形时，求t的值. A N B C M 13题图 66 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 14如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作BC的平 行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD. (1)求证：△ACD为等腰三角形； (2)若∠BAD=140°,求∠BDC的度数. A D B C 14题图 15 如图，在△ABC中，AB=AC,AD是AC右侧的线 段，且AD=AC,∠CAD的平分线AE与BD交于 点E,BD与AC交于点F,连接CE. (1)求证：∠BAC=∠BEC; (2)若∠ABC=60°,求线段AE,CE,BE之间存在 怎样的数量关系，并写出你的理由. A E E >D B C 15题图 第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 [答案 P19] 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数 学问题——将军饮马.如图①,将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他 时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢? 【分析问题】 小亮：如图②,作点B关于l的对称点B′,连接AB′与l交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路线AC- CB走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释原因吗? B A* 1 图① 7 B A C B' 图② B A I C C B′ 图③ A ·P 0 B 图④ 小亮：如图③,在l上另取一点C′,连接AC′,BC′,B'C′,只要证明AC+CB<AC′+C'B即可.请写出小亮的 证明过程. 【解决问题】 任务一：如图④,将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别 在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径 用实线); 任务二：如图⑤,在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条 河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使 由P村到Q村的路程最短(要求在图上标出道路和大桥的位置)? ·P L l? L? Q· l? 图⑤ 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解 练出好成绩 抖音/微信 扫码进阶 67 同步练测·八年级数学(上册) 第十六章 整式的乘法 16.1 幂的运算 16.1.1 同底数幂的乘法 基础巩固练 [答案 P20]“答案】 细识点⑦同底数幂的乘法法则 ①计算a·a?的结果为 ( ) A.a? B.a? C.a? D.a1? ② 下列运算结果正确的是 ( ) A.a?+a?=a? B.b2·b?=b? C.-5·5“=5a+1 D.a·a"=a" 3 化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x? B.x? C.-x? D.x? 4 若2×2”×23m+1=21?,则m的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5[传统文化]《孙子算经》中记载：“凡大数之法， 万万曰亿，万万亿曰兆.”这说明了大数之间的 关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万× 1亿.则这里1兆等于 ( ) A.10? B.1012 C.101? D.102? 6 计算： (1)(-a)3·a?=_____; (2)x”+1·x2-"=_____; (3)(-10)3×(-10)2=____; (4)×()=__ 7计算： (1)-m2·m?·m?; (2)a·a2m·a2-m; (3)(y-x)?·(x-y)3. (2)已知x”一·x2+1=x",y"?1·y?-"=y?,求 mn2的值. 9 新考法 规定a※b=2°×2°. (1)求2※3的值； (2)若2※(x+1)=16,求x的值. 知识点② 同底数幂的乘法法则的逆用 10若2?=a·23,则a的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 11当x2=a,x3=b时，x?等于 ( ) A.2a+b B.a2b C.2ab D.ab2 12已知a"=3,a”=9,则a"+n+1=_______. 68 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十六章 整式的乘法 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 课时1 幂的乘方 《基础巩固练 [答案 P20] 计算：4 知识点①幂的乘方法则 ①计算(m?)3的结果是 ( ) A.m? B.m12 C.m?? D.m?1 2 下列运算正确的是 ( ) A.a3+a2=a? B.a2·a3=a? C.(a+1)3=a3n+1 D.(a3)3=a? 3 如果一个正方形的边长是(a+b)3,那么这个正 方形的面积是_____. (1)(10?)2; (2)(-a3)2; (3)-[(x-y)3]?; (4)(x2)“·x”+1. 知识点②幂的乘方法则的逆用 5(广东中考)已知9"=3,27”=4,则32m+3"= ( ) A.1 B.6 C.7 D.12 6若(a3)2=64,则a等于 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.以上都不对 7若3×9”×27"=321,则m的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8(广东东莞期末) (1)若a"=2,a"=3,求a2m+”的值. (2)已知x2?=2,求(x3")2-4(x2)2的值. 专题5利用幂的乘方法则比较大小 类型①化为同指数幂比较 1.已知a=2?,b=332,c=42,试比较a,b,c的大 小，用“>”将它们连接起来：_______. 类型②化为同底数幂比较 2.已知a=8131,b=27?1,c=96,则a,b,c的大小 关系是 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 【变式训练】 1.比较大小：210_____375.(填“>”“<”或 “=”) 2.已知a3=3,b?=4,则a____b.(填“>” “<”或“=”) 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 69 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P20] 课时2 积的乘方 基础巩固练 知识点① 积的乘方法则 ①计算(2m2)3的结果为 ( ) A.8m? B.6m? C.2m? D.2m? 2 下列运算正确的是 ( ) A.(ab3)2=ab? B.(3xy)2=6x2y2 C.(-2a3)2=-4a? D.(-x2yz)3=-x?y323 3 下列各式中，错误的有 ( ) ①(2a2)3=6a?; ②(x3y3)2=(xy)?; ③(2a2)=2a°; ④(-3x2y2)?=81x?y?. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4计算： (1)-(2)-__ (2)(-3a2b)?=_____ 5一个正方体的棱长为4×103mm,用科学记数法 表示它的体积是____mm3. 6计算： (1)(3ab)3; (2)(-x2y2z)3; (3)(x"y")3; (4)(-3×102)?. 已知(x“y·xy?)?=x1?y?,求3a(b+1)的值. 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 抖音/微信 扫码进阶 知识点②积的乘方法则的逆用 8 已知2”=p,3“=q,则6”等于 ( ) A.p+q B.p-q C.9 D. pq 9(河北唐山期末)将2?×5?的结果用科学记数法 表示为 ( ) A.1×10? B.5×10? C.2×10? D.5×10? 10计算(号)×1.52024×(-1)2025的结果是 ( ) A3 B.2 C一3 D-2 11已知(a-2)2+12b-11=0,则a2025·b2?24的值 为____ 70 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 第十六章 整式的乘法 专题9 运用幂的运算法则巧计算的三种常见类型[答案 P20] 类型①运用同底数幂的乘法法则运算 题型1 底数是单项式的同底数幂的乘法 ①计算： (1)a2·a3·a; (2)-a2·a?; (3)a?·(-a)?. 题型2 底数是多项式的同底数幂的乘法 2计算： (1)(a+3)2·(a+3)3·(a+3)?; (2)(x-2y)2·(2y-x)3; (3)(x-y)3·(y-x)?. 题型3 同底数幂乘法法则的逆用 3(1)已知2“=32,2”=4,求2"+”的值. (2)已知3"=P,9"=Q,求32m+4n+1的值. 类型② 运用幂的乘方法则计算 题型4 直接运用幂的乘方法则求字母的值 4已知273×9?=3*,求x的值. 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 题型5 逆用幂的乘方法则求式子的值 5若5*=2,53=3,求52x+3的值. 题型6 运用幂的乘方法则解方程 6解方程：()?1=(16)3 类型③)运用积的乘方法则运算 题型7 逆用积的乘方法则计算 7用简便方法计算： (1)(8号)°×(-5)×39 (2)0.25202?×(-42024). 题型8 运用积的乘方法则求式子的值 8若1a”1=2,,1b”1=3,求(ab)”的值. 71 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P20] 16.2 整式的乘法 课时1 单项式与单项式相乘 基础巩固练 知识点①单项式与单项式相乘 ①计算3a2·a3的结果是 ( ) A.4a? B.4a? C.3a? D.3a? 2下列各式计算正确的是 ( ) A.(-3x)2=9x B.x?+x=x? C.(xy)?=x?y D.3x·x?=3x? 3 计算(7.2×103)×(2.5×10?)的结果用科学记 数法表示正确的是 ( ) A.180 000000 B.18×10? C.1.8×10? D.1.8×10? 4填空： (1)2m2n4mn=___ (2)(2a)3·(-3a)2=________ 5计算： (1)4xy3·2xyz; (2)6w3(一—), (3)(-3mx2)2·(-2m2x)3. 知识点②单项式与单项式相乘的应用 6(金华中考)某超市出售一商品，有如下四种在 原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最 低的是 ( ) A.先打九五折，再打九五折 B.先提价50再打六折 C.先提价30再降价30% D.先提价25再降价25% 7一个长方体的长、宽、高分别是5x,4x,3x,则它 的体积是 ( ) A.12x3 B.24x3 C.30x3 D.60x3 8一个直角三角形两直角边的长分别是2a和3a, 则此三角形的面积是_____;当a=3时，三角 形的面积是____. 9光的速度约为3×10?km/s,太阳光射到地球上 需要的时间约是5×102s,地球与太阳的距离约 是多少千米? 10新考向 三角 a x w 表示3abc,方框 b c ,2表 示-4x'w2,求 m × n 3 25的值. 72 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 第十六章 整式的乘法 课时2 单项式与多项式相乘 基础巩固练 [答案 P20] 知识点①单项式与多项式相乘 1 (天津河西区期末)计算a(a+b-c)的结果是 ( ) A.a2+ab+ac B.a2+ab-ac C.a+ab+ac D.a+b-ac ② 下列计算正确的是 ( ) A.-2x(x-y)=-2x2-2xy B.a2(a3+1)=a?+a2 C.(b2-b+1)·b=b3-b2+1 D.2x(x2-y)=2x3-2xy 3(江苏苏州期末)今天数学课上，老师讲了单项 式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复 习，发现一道题：-7xy(2y-x-3)=-14xy2+ 7x2y□,□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内 应填写 ( ) A.+21xy B.-21xy C.-3 D.-10xy ④ 计算： (1)ab·(a+1)=_____; (2)-2x2·(x2+0.5x)=________ 5计算： (1)2x2·(2x+1); (2)(3a2b-3ab2)·3ab; (3)(-2~)·(3x2-2xy+3y); 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 (4)3x·(2x2-x+1)-x·(2x-3)-4(1-x2). 知识点②单项式与多项式相乘的应用 6若三角形的一边长为2n,这条边上的高为2n- 1,则这个三角形的面积为 ( ) A.4n2+2n B.4n2-1 C.2n2-n D.2n2-2n 7某环卫处有甲、乙两辆垃圾清运车，每辆垃圾清 运车每天需清运2次垃圾，已知甲车每次可以清 运(a+b)千克，乙车每次可以清运2b千克，则 甲、乙两辆垃圾清运车一天一共可以清运 ________千克垃圾. 8先化简，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+ 4),其中a=-2. 9 已知有理数a,b,c满足la-b-31+(b+1)2+ Ic-11=0,求(-3ab)·(a2c-6b2c)的值. 73 同步练测·八年级数学(上册) 课时3 多项式与多项式相乘 基础巩固练 [答案 P21] 知识点①多项式与多项式相乘 1计算(x-2)(x-3)的结果是 ( ) A.x2-5x+6 B.x2-5x-6 C.x2+5x-6 D.x2+5x+6 ② 下列各式计算正确的是 ( ) A.(x+6)(x-6)=x2-12x+36 B.(2x+5y)(3x-2y)=6x2-10y2 C.(3x+2)(x+2)=3x2+8x+4 D.(4x-1)(x+7)=4x2-6x-7 3 下列算式计算结果为x2-x-12的是( ) A.(x+3)(x-4) B.(x-3)(x+4) C.(x-3)(x-4) D.(x+3)(x+4) ④ 若(x-m)(x+7)中常数项为14,则m的值为 ( ) A.7 B.-7 C.2 D.-2 5计算： (1)(2m=3n)(m一2”); (2)(t-4)2; (3)(2x-5)(x2+3x+6). 6 先化简，再求值：(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+ 2y),其中x=9,y=2 74 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 7 试说明：多项式(2x+3)(6x+2)-6x(2x+13)+ 8(7x+2)的值与x的取值无关. 知识点② 多项式与多项式相乘的应用 8 三个连续偶数，若中间一个数为n,则它们的积 是 ( ) A.6n3-6n B.4n3-4n C.n3-4n D.n3-n 9 如图为李伯伯家的户型尺 寸示意图(单位：米),为了 防止日后渗漏，李伯伯要 N→ 为厨房和卫生间的地面刷 本 y 防水材料，若每平方米的 防水材料a元，则至少需 要购买____元的防水材料. 厨房 卫生 间 一x 客厅 3y 主卧 次卧 9题图 10如图，某校有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米 的长方形空地，中间是边长为(a+b)米的正方形 草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地(阴影 部分)进行改造. (1)用含a,b的式子表示需要改造的场地面积 并化简； (2)当a=5,b=2时，求需要改造的场地面积. (单位：米) a+b 2a+b a+b 3a+b- 10题图 第十六章 整式的乘法 能力提升练 [答案 P21] 1 (江苏无锡期末)若M=(x-3)(x-4),N=(x- 1)(x-6),则M与N的大小关系为 ( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.由x的取值而定 2(河北迁安期末)聪聪计算一道整式乘法的题： (x+m)(5x-4),由于聪聪将第一个多项式中 的“+m”抄成了“-m”,得到的结果为5x2-34x +24.则这道题的正确结果是 ( ) A.5x2+26x-24 B.5x2-26x-24 C.5x2+34x-24 D.5x2-34x-24 3 新考法(江苏扬州期末)甲、乙两个长方形的边 长如图所示(m为正整数),其面积分别为S?, S?.若满足条件0<n<IS?-S?I的整数n有且只 有8个，则m为 ( ) m+4 m+7 m+2 乙 m+1 甲 3题图 A.4 B.5 C.7 D.8 4已知m+n=2,mn=-2,则(2-m)(2-n)的值 为 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.3 5 若多项式(x2+mx+n)(x2-3x+4)展开后不含 x3和x2项，则m,n的值分别是 ( ) A.3,5 B.5,3 C.4,2 D.2,4 6若-x+by?与3x?y2b-a的和是单项式，则(2a+ 2b)(a-3b)的值为_______ 7 新考法 4个数a,b,c,d排列成 a,我们称之 为二阶行列式.规定它的运算法则为a=- bc.若x-2×-32|=13,则x=_______. 8 计算下列各式，然后回答问题： (x+3)(x+4)=________; (x+3)(x-4)=________; (x-3)(x+4)=__________; (x-3)(x-4)=_____ ____. (1)根据以上的计算总结出规律： (x+m)(x+n)=________; (2)运用(1)中的规律，直接写出下列各式的结果： ①(a+1)(a+4); ②(x-1)(x+3); ③(y+5)(y-6);④(m-4)(m-5). 9 [核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同 一道整式乘法：(2x+a)(3x+b),甲由于抄错了 第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2+ 11x-10;乙由于漏抄了第二个多项式中的系数， 得到的结果为2x2-9x+10. (1)试求出式子中a,b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果. 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 75 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) 课时4 同底数幂的除法 基础巩固练 [答案 P21] 知识点①同底数幂的除法 ①(重庆中考)计算x?÷x结果正确的是( ) A.x? B.x3 C.x2 D.x 2 计算16”÷4”÷2等于 ( ) A.2"=n-1 B.22m-n-1 C.23m-2n-1 D.24m-2n-1 3已知5*=3,5=2,则52×-3y= ( ) A4 B.1 c3 D 4 若3×9”×27"÷81=313,则m的值为______. 5(江西九州期末)若x?=4,x?=3,x?=8,则 x2a+b-c的值为________ 6计算： (1)(-x2)?÷(-x3)2; (2)(a2·a?)÷(a·a?); (3)[(a2)?·(-a2)3]÷(-a?)?; (4)(x3-y)?÷(y-x3)2+(y-x3)?÷(x3-y)4. 7 先化简，再求值：(2x-y)13÷[(2x-y)3]2÷[(y- 2x)2]3,其中x=2,y=-1. 76 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 知识点② 零指数幂的性质 8(泰州中考)(-3)°等于 ( ) A.0 B.1 C.3 D.-3 9 若(a-2)°=1,则a的取值范围是 ( ) A.a>2 B.a=2 C.a<2 D.a≠2 10 (黑龙江哈尔滨期末)若(2x+y-5)°无意义，且 3x+2y=8,则x=_____ 11计算： (1)(-2)°+(-1)2?25-2; (2)(-3)2+(36)+(-5)2÷(-5)2, (3)(-2)2-1202?+(π-3.14)°. 12小明做了这样一道题：若(a-1)"+3=1,求a 的值. 他解出来的结果为a=2,老师说小明考虑问题 不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗? 小明的解答过程如下： 解：∵1的任何次幂为1,∴a-1=1,∴a=2, 此时(a-1)a+3=(2-1)2+3=1?=1, ∴a的值为2. 你的解答过程是： 第十六章 整式的乘法 课时5 整式的除法 基础巩固练 [答案 P21] 知识点①单项式除以单项式 ①计算6m?÷(-2m2)3的结果为 ( ) A.-m B.-1 C34 D-3 2若3xy·( )=-6x3y2,则括号内应填的代数 式是 ( ) A.2xy B.-2xy C.-2x2y D.-2y 3 下列各式中，计算正确的是 ( ) ①(-2a2b3)÷(-2ab)=a2b3; ②(-2a2b?)÷(-2ab2)=a2b2; ③2zab3c-(2a3)=4c; ④5a2B3c2÷(-5abc)= -25ab2c. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4计算： (1)-20a2b2c÷10a2b2=____; (2)4a2B3c÷(3ab)2=____ 5 已知18a?b3c÷6a"b"=3a3c,则m=_____,n=_____ 6 (山东烟台期末)计算：(x-1)?÷(x-1)3·(x+1)=____. 知识点②多项式除以单项式 7(河南邓州期末)弟弟把小明的作业本撕掉了一 角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你 帮他推测出被除式应等于 ( ) ÷5x=x2-3x+6 7题图 A.x2-8x+6 B.5x3-15x2+30x C.5x3-15x2+6 D.x2+2x+6 8下列运算正确的是 ( ) ①(12x12-6x?)÷3x3=4x?-2x2; ②(3a2b=6ab)=6ab= a, ③(36x?-24x?)÷(6x3·x2)=6x-4; ④(21m?n2-9m?n3)÷3m3n2=7m2-3mn. A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④ 9(重庆沙坪坝区期末)重庆市“旧城改造”项目 中，计划在市内一块长方形空地上种植某种草皮， 以美化环境.已知长方形空地的面积为(3ab+ 2b)平方米，宽为b米，则这块空地的长为 ( ) A.(3a+2)米 B.(3ab+b)米 C.(3ab+3b)米 D.(3ab2+2b2)米 10 (福建宁德期末)一个三角形的面积为3xy-4y, 一边是2y,则这条边上的高为_____ 11已知被除式是2x3-2x2+1,商式是3x,余式是 x+1,则除式是___. 12计算： (1)(3a?5?-2a2b?÷(3ab3), (2)(30m°n2+一mn?-3m°n2)-(一—m2n) 13 已知(a-1)2+1b+1l=0,求(a2b-2ab2-b3)÷ b-(a-2b)(b-2a)的值. 见此图标眼微信扫码难题轻松解 练出好成绩 77 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P21]《能力提升练 ①已知??-3x2y2=6,则x23= ( ) A.1 B.2 C.3]D.4 2 下列计算正确的是 ( ) A.x1?÷x2=x? B.(x3)2÷(x2)3=x C.(15x2y-10xy2)÷5xy=3x-2y D.(12x3-6x2+3x)÷3x=4x2-2x 3 已知x=2,x?=-3,则x3a-2b= ( ) A.3 B.9 c-3 D-8 4若长方形的面积是4a2+8ab+2a,它的一边长 为2a,则它的周长为 ( ) A.2a+4b+1 B.2a+4b C.4a+4b+1 D.8a+8b+2 5如图，小明把m个大小相同的网球恰好放进新 买的圆柱形收纳筒中，则这个圆柱形收纳筒的 体积是 m个网球体积之和的_____ 倍.(v球=3m3,Vm±=m2h) ⋯ 5题图 6 先化简，再求值：[(x+3y)(x-3y)+(2y-x)2+ 52(1-x)-(22=2)]-(一”),,其中x= 94,y=220. 78 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 7 (浙江宁波期末)老师在黑板上书写了一个正确 的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形 式如下： (一)=32-2+2” (1)求所捂的多项式； (2)若：x=3,y=2,求所捂多项式的值. 8[核心素养]某市有一块如图所示的梯形空地 ABCD,梯形空地的上底BC长为(4x+y)米，下 底AD长为(5x+2y)米，高BE为(x+2y)米. (1)求这块空地的面积； (2)现计划对这块空地进行改造，修建一个长方 形广场.若长方形广场的面积为(6x2+12xy+ 9x)平方米，它的宽为3x米，则长方形的长 比梯形的下底短多少米? B C AL E D 8题图 第十六章 整式的乘法 16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 《基础巩固练 [答案 P22] 知识点①平方差公式 ①下列各式中能用平方差公式的是 ( ) A.(x+y)(y+x) B.(x+y)(y-x) C.(x+y)(-y-x) D.(-x+y)(y-x) ②下列计算正确的是 ( ) A.(x+3)(x-3)=x2-6 B.(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2 C.(m-n)(-m-n)=m2-n2 D.(3a+36)(36-4a)=2-96°2 3 填空： (1)(_____)(x-4)=x2-16; (2)(mn+3)(mn-3)=_______ 4 计算： (1)(3x+y)(3x-y); (2)(4x+5)(×-5); (3)(y+8)(y-8)-(y-7)(y-9). 知识点②平方差公式的应用 5计算(x+1)(x-1)(x2+1)的结果是( ) A.x2-1 B.x3-1 C.x?+1 D.x?-1 6若x2-y2=7,则(x+y)2(x-y)2的值为( ) A.14 B.21 C.49 D.56 7若(-5a+M)(4b+N)=16b2-25a2,则M,N分 别为 ( ) A.4b,5a B.-4b,5a3 C.4b,-5a D.-4b,-5a 8计算20242-2025×2023的结果为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 9 已知a2-b2=12,a+b=2,则a-b=_____. 10利用平方差公式简便运算： (1)1.03×0.97; (2)602-58×62. 11先化简，再求值：(a+b)(a-b)+a(2b-a),其 中a=1.5,b=2. 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 79 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P22]《能力提升练 1计算下列各式，其结果是4y2-1的是( ) A.(-2y-1)(-2y+1) B.(2y-1)2 C.(4y-1)2 D.(2y+1)(-2y+1) 2 若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2= ( ) A.3 B.6 C.±3 D.±6 3 新情境 从前，一位庄园主把一块边长为am(a >6)的正方形土地租给一位农户，第二年，他对 农户说：“我把这块地的一边增加6m,相邻的另 一边减少6m,变成长方形土地继续租给你，租 金不变，你也没有吃亏，你看如何?”如果这样， 你觉得农户的租地面积会 ( ) A.没有变化 B.变大 C.变小 D.无法确定 4若计算(x+m)(x+)的结果不含字母x的一 次项，则(x+m)(x-m)=_________. 5 观察下列各式：1×3=22-1,3×5=42-1,5×7 =62-1,7×9=82-1,⋯把发现的规律用含字 母n(n为正整数)的等式表示为______. 6 运用平方差公式计算： (1)(x-2)(x+2)(x2+4); (2)1232-124×122. 80 7 先化简，再求值：(5a+3b)(3b-5a)-(3a- b)(-b-3a)+(2b-3a)(-2b-3a),其中a= 一，6=-2 8新考向乘法公式的探究与运用： (1)如图①,边长为a的大长方形中有一个边长 为b的小正方形，则阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式); (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方 形，如图②,则长方形的长是_ ,宽是 ,面积是 (写成 多项式乘法的形式); (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到 恒等式： (4)运用你得到的公式计算：10.3×9.7. a b a b 8题图① 8题图② 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 抖音/微信 扫码进阶 第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 课时1 完全平方公式 基础巩固练 [答案 P22] 知识点① 完全平方公式 1计算(x-1)2的结果 ( ) A.x2-1 B.x2-2x+1 C.x2-2x-1 D.x2+1 2下列计算正确的是 ( ) A.(x+2)2=x2+4 B.(2x-y)2=4x2-4xy+y2 C.(x-2y)2=x2-4xy+2y2 D.(2x+3y)2=4x2+6xy+9y2 3 下列各式，计算结果是4m2n2=mn+11的是 ( ) A(mm) B(2m+1) C(2m-1) D(4m-1) 4(河北衡水期末)若(2x+4y)2=4x2-2(m- 1)xy+16y2,则m的值为___. 5计算： (1)(一 a-b2 (2)(2a+b)2[(a-b)2+2a(a-b)+a2]. 知识点②完全平方公式的应用 6 已知(x+4)2=9,则代数式x2+8x+20的值为 ( ) A.12 B.13 C.18 D.27 7若(2a-3b)2=(2a+3b)2+N,则表示N的代数 式是 ( ) A.12ab B.-12ab C.24ab D.-24ab 8若(x+a)2=x2-10x+b,则a,b的值分别为( ) A.2,4 B.5,-25 C.-5,25 D.-2,25 9 将面积为a2的正方形边长均增加2,则正方形 的面积增加了 ( ) A.4 B.2a+4 C.4a+4 D.4a 10计算： (1)(2y+3)2; (2)(--a+2b), (3)(2a+3)2+(3a-2)2. 11用完全平方公式计算： (1)9992; (2)20012. 见此图标眼微信扫码 难题轻松解练出好成绩 81 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P22]《能力提升练 1(威海中考)下列运算正确的是 ( ) A.(-3a2)3=-9a? B.(-a)2·a3=a? C.(2x-y)2=4x2-y2 D.a2+4a2=5a? 2(江苏常州期末)下列各式中，能用完全平方公 式计算的是 ( ) A.(x-y)(x+y) B.(2x-y)(x+y) C.(x-y)(2x-y) D.(x-y)(-x+y) 3 下列计算正确的是 ( ) A.(2a+b)2=4a2+b2 B.(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2 c.(x-y)=2x2-xy+y2 D(2+3)=42+3+ ④(湖南长沙期末)先化简，再求值：[(x+y)(x- 2y)-(x-2y)2]-2y,其中x=-1,y=4 5 新考法 将4个数a,b,c,d排成两行两列，两边 各加一条竖直线，记成a a,定义：a ad - bc,上述记号叫作二阶行列式，若 11 4+1=8,求x的值. 专题6完全平方公式的变形应用 方法指导： 1.a2+b2的变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (3)a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2] 2.ab的变形： (1)ab=[(a+b)2-(a2+b2)】, (2)ab=[(a2+b3)-(a-b)31, (3)ab=[(a+b)2-(a-b)2] 3.(a±b)2的变形： (1)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (2)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 【例】已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值. 【变式训练】 1.已知实数a,b满足a+b=2,ab=4,,则a-b= ( ) A.1 B-2 C.±1 D±5 2.已知a2+b2=13,(a-b)2=1,则(a+b)2=_______. 3.已知(m-n)2=40,(m+n)2=4000,则m2+n2 的值为______. 4.(四川绵阳期末)若x-y=√3,xy=-3,则x+ y=_____. 82 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 第十六章 整式的乘法 课时2 添括号法则 [答案 P22] 知识点①添括号法则 ①下列添括号正确的是 ( ) A.a-b+c=a-(b+c) B.a-b+c=a-(-b-c) C.a-b+c=a-(b-c) D.a-b+c=a+(b-c) 2将多项式3x3-2x2+4x-5添括号后正确的是 ( ) A.3x3-(2x2+4x-5) B.(3x3+4x)-(2x2+5) C.(3x3-5)+(-2x2-4x) D.2x2+(3x3+4x-5) 3 下列添括号错误的是 ( ) A.a2-b2-b+a=a2-b2+(a-b) B.(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)] C.a-b+c-d=(a-d)+(c-b) D.a-b=-(b+a) ④ 在下列( )里填上适当的项，使其符合(a+ b)(a-b)的形式. (1)(a+b-c)(a-b+c)=[a+( )][a- ( ); (2)(2a-b-c)(-2a-b+c)=[( )+ ( )·[( )-( )]. 知识点②添括号法则在乘法公式中的应用 5 已知(x-2015)2+(x-2017)2=34,则(x-2016)2 的值是 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 6 (福建福州期末)已知a+b=3,ab=2,则a2+b2- 3ab的值为____. 7 (教材母题变式)计算： (1)(x-y+z)2; (2)(a-2b-3c)2; 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 固练 (3)(2x-y+4)(2x+y-4); (4)(a+2b-c)(a-2b-c). 8(1)设m+n=10,mn=24,求m2+n2和(m- n)2的值. (2)已知x-2y=3,x2-2xy+4y2=13,求下列各 式的值： ①xy; ②x2y-2xy2. 83