15.3.1 课时1 等边三角形的性质和判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 <基础巩固练 [答案 P13] 知识点①等腰三角形的性质：等边对等角 ① 如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=100°,则∠B 的度数为 ( ) A.40° B.50° C.60° D.80° A A A- B E E D B C C D B C 1题图 3题图 4题图 ②若一个等腰三角形的底角为55°,则它的顶角的 度数为 ( ) A.55° B.60° C.70° D.80° 3 (教材母题变式)如图，AB//CD,点E在线段AD 上，AB=AE,连接BE,若∠ADC=20°,则∠B的 度数为_________ 4 如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径 画弧，分别交AC,AB于D,E两点，并连接BD, DE.若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE的度数 为____. 5 如图，在△ABC中，点D在BC上AB=AC=CD, 且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数. A B D C 5题图 50 知识点②等腰三角形的性质：三线合一 6(台州中考)如图，已知线段AB,分别以A,B为 圆心，大于AB且同样长为半径画弧，两弧交于 点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错 误的是 ( ) C A.AB平分∠CAD A B B.CD平分∠ACB / C.AB⊥CD D、 D.AB=CD 6题图 7如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD =5,则CD等于 ( ) A.10 B.5 C.4 D.3 A B D C 4 E B D C 7题图 8题图 8如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,点E 在边AB上，且 BD=BE.若∠BAC =100°,则 ∠ADE的大小为_____. 9如图，在△ABC中，∠B=∠C,过BC的中点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数. A E F B D C 9题图 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 能力提升练》 [答案 P14] 1如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作DA⊥AC 交BC于点D.若∠B=2∠BAD,则∠BAD的度 数为 ( ) A.18° B.20° C.30° D.36° A B D C 1题图 A 人 E C D B 2题图 2 (湖南长沙期末)如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点 F,DE=4,则BF的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3 如图，在△ABC中，∠C=40°,点D在BC上，且 AB=AD=DC,则∠B的度数为________. A A D E B D C B C 3题图 4题图 4如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，点E 在AB上，且BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度 数是______. 5(黄石中考)如图，在△ABC中，∠BAC=90°,E 为边BC上的点，且AB=AE,D为线段BE的中 点，过点E作EF⊥AE,过点A作AF//BC,且 AF,EF相交于F. (1)求证：∠C=∠BAD; (2)求证：AC=EF. A F B D E C 5题图 见此 标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 6[核心素养]如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分 别是边BC,AC上的点，连接AD,BE. (1)若BE⊥AC,∠ACB=66°,则∠ABE的度数 为_____; (2)若D是BC的中点，∠CBE=∠CAD,求证： BE⊥AC; (3)若AD,BE分别是△ABC的中线和角平分 线，∠CAD=20°,求∠CBE的度数； (4)连接DE,若AD=AE, ①当AD是边BC上的高，且∠BAD=30°时， 则∠EDC的度数为_________; ②当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD 与∠EDC之间的数量关系，并加以证明. A E B D C 6题图 51 参考答案及解析 15.2 画轴对称的图形 课时1 画轴对称的图形 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.B 4.A 5.6 6.解：(1)如答图，四边形A'B'C'D'即为所求. 6题答图 7.解：(1)△ABC关于直线m对称的△DEF如答图. (2)△DEF关于直线n对称的△PQR如答图. 【基础巩固练】 M (2)四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BcD=-×4×1+ n A 2×4×3=8. m A'i F B 大 D R D' Q B' E C D|A C B P o 7题答图 课时2 用坐标表示轴对称 1.D 2.A 3.A 4.(-5,-4) 5.(1)-2 -3(2)3 ≠-3 [解析](1)∵点A,B关于x轴对称，∴b+1=-2,2a-1=-5, ∴a=-2,b=-3.(2)∵AB//x轴，∴A,B两点的横坐标不 相等，纵坐标相等，∴b+1≠-2,2a-1=5,∴a=3,b≠ -3. 6.(-30,20)(30,-20)(30,20)7.12 8.解：点M的坐标为(-1,4),点N的坐标为(1,-4).理由如下： ∵点A与点M关于y轴对称，且A(1,4), ∴点M的坐标为(-1,4). ∵点A与点N关于x轴对称，且A(1,4), 二点N的坐标为(1,-4). 9.解：(1)△A?B?C?如答图所示. (2)△A?B?C?如答图所示.(3)(m-4,-n) y 5 B? 4 B 3C 2 2i C A? 十(A 5--4-3-—2—-10 A 2 3 4 5x 1 +2 C+3 4 B 5 9题答图 【能力提升练】 1.D 2.A 3.(1,-2) 4.解：(1)如答图，△A?B?C?即所求，点A?的坐标为(2,-4). (2)如答图，△A?B?C? 即所求， 点A?的坐标为(-2,-4). +y A C B o x B?B C C A2 A 4题答图 5.解：(1)由题意可知13+2831解得{=4. (2)由题意可知12+2=-3解得1a=-5 6.解：(1)A?(4,0),B?(5,0),C?(5,2). (2)如答图①,当0<a≤3时， ∵点P与点P?关于y轴对称，P(-a,0), ∴P?(a,0). 设P?(x,0), 由点P?与点P?关于直线l对称，得2a=3, 即x=6-a,∴P?(6-a,0), 则PP?=6-a-(-a)=6-a+a=6;y Y4 l l P1 P? M P 1 P? M 0 1 P? X 0 1 P? 6题答图② 如答图②,当a>3时， ∵点P与点P?关于y轴对称，P(-a,0), ∴P?(a,0). 设P?(x,0), 由点P?与点P?关于直线l对称，得a=3, 即x=6-a,∴P?(6-a,0), 则PP?=6-a-(-a)=6-a+a=6. 综上，可得PP?的长是6. 6题答图① 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 【基础巩固练】 1.A 2.C 3.80°4.67.5° 5.解：设∠B=x,∵AB=AC,∴∠C=x. ∵AC=CD,∴ ∠CAD=∠CDA. ∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x. 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD=2x, ∴∠CAD=2x. 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°, ·13· 同步练测·八年级数学(上册) ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.D 7.B 8.20° 9.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=40°, ∴∠BAC=2∠BAD=80°. 【能力提升练】 1.A 2.D 3.80°4.45° 5.证明：(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC=90°. ∵∠BAC=90°,∴.∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD. (2)∵AF//BC,∴∠EAF=∠AEB. ∵AB=AE,∴∠B=AEB,∴∠B=∠EAF. 又∵AB=EA,∠BAC=∠AEF=90°, ∴△BAC≌△AEF,∴AC=EF. 6.(1)解：42°[解析]∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB=66°. ∵ BE1AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=90°-∠ACB=90°- 66°=24°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°. (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°,∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70° ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= 2∠ABC=35°. (4)解：①15°[解析]∵AD是边 BC上的高，AB=AC, ∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.∵AD=AE,∴∠ADE= ∠AED=—(180°-30°)=75°,∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-75°=15°. ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC = ∠ADE+∠EDC= ∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵DE//AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠BAD=∠EDA. ∵AD⊥BD, ∴∠B+∠BAD=90°,∠BDE+∠EDA=90°, ∴∠B=∠BDE,∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. 4.C 5.10 6.(1)解：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵EF//AC,∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. 7.解：作等腰△ABC如答图. C A D| B Y 7题答图 【能力提升练】 1.D 2.D 3.3 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴∠DCG+∠CDG=90°. ∵CB=CD,∴∠BCG=∠DCG=2∠BCD. ∵BF⊥CD于点E,∴∠ABF+∠CDG=90°, ∠ABF=∠DCc=—∠BCD C F E 友 合 A‘ D G B 4题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： ∵∠A=45°,CG⊥AB, ∴∠ACG=45°. ∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. ∵∠BCG=∠DCG=∠ABF, ∴∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF, ∴△BCF是等腰三角形. 微专题4 角平分线+平行线→等腰三角形 【例】2 【变式训练】 (1)证明：∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. ∵DE//BC,∴.∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE. (2)解：30° 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 【基础巩固练】 1.C 2.A 3.75°4.120° 5.(1)解：∵DB=DE,∴∠E=∠DBE. ∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴∠DBC=30°, ∴∠E=∠DBE=30°, ∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. ·14·