13.3.1 课时2 直角三角形的性质与判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

参考答案及解析 学升·同步练测·八年级数学(上册) ■知识 精讲 AI匹配资源 参考答案及解析 =AI智能工具■AI方法指导 抖音/微信 扫码进阶 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 【基础巩固练】 1.D 2.6 △ABD,△ABE,△ABC △ACE,△ACD,△ACB AE 3.解：图中共有8个三角形，它们分别是：△AEF,△ACF, 7.B [解析]由已知得a-2=0,b-2=0,c-2=0,故a=b= 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 【基础巩固练】 △AEC,△ABD,△ACD,△ABC,△CDF,△BCE. c=2,此三角形为等边三角形. 4.C 5.D 6.C 8.4 1 1.C 2.C 3.A [解析]∵三角形的三边长分别是a,b,c,∴a-b+c> 6.解：(1)∵a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6, 7.B 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【基础巩固练】 0,a-b-c<0,∴ Ia-b+cl-Ia-b-cl=a-b+c+a- ∴2<c<10, b-c=2a-2b. ∴△ABC的周长x的取值范围是12<x<20. 4.3<m<9 5.10 (2)①∵△ABC的周长是小于18的偶数， ∴x=16或x=14. 当x=16时，c=6;当x=14时，c=4. ②当c=4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形. 1.B 2.解：∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm, 【能力提升练】 ∴BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3cm. 1.C 2.D 3.③④ 又∵CD是△ABC的边AB上的中线， ∴AD=BD.∴ BC-AC=3cm. 又∵BC=8cm,∴AC=8-3=5(cm). 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.5° 4.解：如答图，连接AP. D AE E B P C 4题答图 ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP, SAABCc=-AC·BD,S△AB= 2AB·PF, SAAcCP=-—AC·PE, 2AC·BD= 2AB·PF+—AC·PE. 又∵AB=AC,∴ BD=PE+PF,∴PE+PF=4. 微专题1 利用中线求三角形的面积 【例】4 【变式训练】 1.C 2.2 3.9 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形内角和 【基础巩固练】 1.A 2.D 3.D 4.解：∵∠B=∠A+10°,∠ACB=∠A+20°, ∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°,∴∠A=50°. ∵CD⊥AB,∴∠ACD=90°-∠A=90°-50°=40°. 5.123°6.80° 7.解：如答图，过点A沿正南方向作射线AD交BC于点D. 由题意知∠BAD=57°,∠CAD=15°,∠EBC=82°. ∵AD//BE, ∴∠EBA=∠BAD=57°, ∴∠ABC=∠EBC-∠EBA=25°. 在△ABC中，∠ABC=25°,∠BAC=∠CAD+∠BAD=72°, ∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=83°. 北 E A 南 B Di C 7题答图 【能力提升练】 1.B 2.B 3.100° 4.解：在△ABC中，∠ABC=60°,∠C=80°, ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-80°=40°. ∵AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=2∠BAC=20°. ∵ BE⊥AE,∴∠E=90°, ∴∠ABE=180°-90°-20°=70°, ∴∠EBD=∠ABE-∠ABC=70°-60°=10°. 5.解：(1)130 90 40 (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°, 即(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)+∠A=180°. 在△BCP中，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90° =90°, ∴(∠ABP+∠ACP)+90°+∠A=180°, ∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立.新的结论：∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 课时2 直角三角形的性质与判定 【基础巩固练】 1.C 2.B 3.A 4.52° 5.(1)解：∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°. ∵∠ACB=90°,∴.∠CAB+∠B=90°, ∴∠CAB=∠DCB=50°. ∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=—2∠CAB=25°, ∴∠CEF=90°-∠CAE=65°. ·1· 同步练测·八年级数学(上册) 微专题2 运用“飞镖型”“8字型”求角度(2)证明：∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠CAE. ∵∠CAE+∠CEF=90°, ∴∠BAE+∠AFD=90°, ∴∠CEF=∠AFD. ∵∠CFE=∠AFD, ∴∠CEF=∠CFE. 6.B 7.B 8.证明：∵AB//CD,∴ ∠BEF+∠DFE=180°. 又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P, ∴∠PEF=2∠BEF,∠PFE=—∠DFE, ∠PEF+∠PFE=—(∠BEF+∠DFE)=90°, ∴△PEF是直角三角形. 【能力提升练】 1.D 2.B 3.50°或30° 4.(1)解：∵在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°, 13.3.2 三角形的外角 【基础巩固练】 ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°. 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 又∵CE平分∠ACB, ∠ACE= —∠ACB=45°. (2)证明：∵CD⊥AB,∠B=60°, ∴∠BCD=90°-60°=30°. 又∵∠BCE=∠ACE=45°, ∴∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°. 又∵∠CDF=75°, ∴∠CDF+∠DCF=75°+15°=90°, ∴△CFD是直角三角形. 5.解：(1)17 (2)①△ABD是“准互余三角形”. 理由：∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD. ∵∠C=90°,∴∠BAC+∠B=90°, ∴2∠BAD+∠B=90°, ∴△ABD是“准互余三角形”. ②121°或118° 1.C 2.A [解析]由折叠，得∠A = ∠A'.∵∠BDA′= ∠A+ ∠AFD,∠AFD= ∠A′+ ∠CEA’,∠A =α,∠CEA′=β, ∠BDA'=y,∴∠BDA'=y=α+α+β=2α+β.故选A. 3.解：∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∠2+∠4=2(180°-∠A)=90°-—4. ∵∠DEC=∠2+∠4,CD⊥BD, ∠DCE=90°=∠DEC=90°-(90°-—∠A)=—4. 1.180° 2.解：如答图，由模型可知 ∠AMC=∠1+∠D+∠4,① ∠ABC=∠2+∠AMC+∠3.② ①-②,得∠AMC-∠ABC=∠1+∠D+ ∠4-∠2-∠AMC-∠3. ∵AM平分∠DAB,CM平分∠DCB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴2∠AMC=∠ABC+∠D. 3.63°4.180°5.减少 10 D M L 4 B ③ A C 2题答图 专题1 三角形中角度的计算—与角平分线、高结合 1.证明：∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. ∵BD⊥AC,∠ABC=90°, ∴∠BAE+∠BEF=∠CAE+∠AFD=90°, ∴∠BEF=∠AFD. ∵∠BFE=∠AFD,∴∠BEF=∠BFE. 2.解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠BED+∠EBD=90°. ∵∠BED=68°,∴ ∠EBD=22°. ∵ BE平分∠ABC,∠ABC=2∠EBD=44°. ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠C=65°,∴∠BAC=71°. 3.解：(1)因为∠B=40°,∠C=62°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-62°=78°. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC=2∠BAC=39°. 因为AE是BC边上的高， 所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-∠C=90°-62°=28°, 所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=39°-28°=11°. (2)数量关系：∠DAE=—(∠C=∠B). 因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC=÷∠BAC=90°-—(∠B+∠C). 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-∠C, 所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-—(∠B+∠C)- (90°-∠C)=2(∠C-∠B). (3)设∠ACB=α,则∠BCF=180°-α. 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC=90°, 所以∠EAC=90°-α. 因为∠CAE和∠BCF的平分线交于点G, 所以∠CAG= —∠EAC=—(90°-aα)=45°-2α, ∠BCG=—∠BCF=—(180°-a)=90°-2a, 所以∠G=180°-∠GAC=∠ACG=180°-(45°-2a)- a-(90°-2a)=45° 专题2 三角形内外角的角平分线模型 1.40 2.60 3.解：(1)∵∠A=42°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°. ∵BO,CO分别是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线， ∠1=—∠ABC,∠2=—∠ACB, ·2· 第十三章 三角形 课时2 直角三角形的性质与判定 <基础巩固练 [答案 P1] 知识点①直角三角形的性质 1(云南昭通期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°, 若∠A=22°,则∠B等于 ( ) A.42° B.67° C.68° D.77° ②(泸州中考)如图，BC⊥DE,垂足为C,AC//BD, ∠B=40°,则∠ACE的度数为 ( ) A.40° B.50° C.45° D.60° E A A- C B D B D C 2题图 3题图 3 如图，在△ABC中，AB⊥AC,过点A作AD⊥BC 于点D,若∠B=36°,则∠DAC的度数为( ) A.36° B.46 C.54° D.64° A 4 如图，AD是△ABC的高，BE平分 ∠ABC交AD于点E.若∠C=76°, ∠BED =64°,则∠BAC的度数 为_____. E B D C 4题图 5(江苏泰州期末)如图，在△ABC中，∠ACB = 90°,AE平分∠CAB,CD⊥AB,AE,CD相交于点F. (1)若∠DCB=50°,求∠CEF的度数； (2)求证：∠CEF=∠CFE. C E F A D B 5题图 知识点②直角三角形的判定 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 6在△ABC中，∠A+∠B=90°,则△ABC的形状 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 7在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B =2∠C;③∠A=∠B= 2∠C;④∠A:∠B ∠C =1:2:3中，能确定△ABC为直角三角形的条件 有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.0个 8 如图，AB//CD,直线 EF分别交AB,CD于点E, F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点 P.求证：△PEF是直角三角形. A E/ B P C F D 8题图 7 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P2]能力提升练》 ①下列说法中错误的是 ( ) A.三角形的三个内角中，最多有一个钝角 B.三角形的三个内角中，至少有两个锐角 C.直角三角形中有两个锐角互余 D.三角形中的两个内角和必大于90° 2(毕节中考)将一副三角板按如图所示的位置摆 放在直尺上，则∠1的度数为 ( ) 30° 1 45° 2题图 A.70° B.75° C.80° D.85° 3在△ABC中，∠A=20°,∠B=40°,点D在边AB 上，连接CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD 的度数为_______ 4如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°,CE平 分∠ACB交AB于点E. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°.求证： △CFD是直角三角形. C FA ED B 4题图 8 5[核心素养]定义：如果一个三角形的两个内角 Lα与∠β满足2∠α+∠β=90°,那么我们称这 样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°, ∠A=56°,则∠B=____°; (2)已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. ①如图，若AD平分∠BAC,则△ABD是否为 “准互余三角形”?请说明理由； ②E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角 形”,且∠CAB=62°,则∠AEB的度数 为____ A C D B 5题图 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩