15.3.1 课时2 等腰三角形的判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 河南专版）

同步练测·八年级数学(上册) ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.D 7.B 8.20° 9.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=40°, ∴∠BAC=2∠BAD=80°. 【能力提升练】 1.A 2.D 3.80°4.45° 5.证明：(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC=90°. ∵∠BAC=90°,∴.∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD. (2)∵AF//BC,∴∠EAF=∠AEB. ∵AB=AE,∴∠B=AEB,∴∠B=∠EAF. 又∵AB=EA,∠BAC=∠AEF=90°, ∴△BAC≌△AEF,∴AC=EF. 6.(1)解：42°[解析]∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB=66°. ∵ BE1AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=90°-∠ACB=90°- 66°=24°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°. (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°,∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70° ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= 2∠ABC=35°. (4)解：①15°[解析]∵AD是边 BC上的高，AB=AC, ∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.∵AD=AE,∴∠ADE= ∠AED=—(180°-30°)=75°,∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-75°=15°. ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC = ∠ADE+∠EDC= ∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵DE//AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠BAD=∠EDA. ∵AD⊥BD, ∴∠B+∠BAD=90°,∠BDE+∠EDA=90°, ∴∠B=∠BDE,∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. 4.C 5.10 6.(1)解：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵EF//AC,∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. 7.解：作等腰△ABC如答图. C A D| B Y 7题答图 【能力提升练】 1.D 2.D 3.3 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴∠DCG+∠CDG=90°. ∵CB=CD,∴∠BCG=∠DCG=2∠BCD. ∵BF⊥CD于点E,∴∠ABF+∠CDG=90°, ∠ABF=∠DCc=—∠BCD C F E 友 合 A‘ D G B 4题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： ∵∠A=45°,CG⊥AB, ∴∠ACG=45°. ∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. ∵∠BCG=∠DCG=∠ABF, ∴∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF, ∴△BCF是等腰三角形. 微专题4 角平分线+平行线→等腰三角形 【例】2 【变式训练】 (1)证明：∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. ∵DE//BC,∴.∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE. (2)解：30° 15.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形的性质和判定 【基础巩固练】 1.C 2.A 3.75°4.120° 5.(1)解：∵DB=DE,∴∠E=∠DBE. ∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴∠DBC=30°, ∴∠E=∠DBE=30°, ∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. ·14· 同步练测·八年级数学(上册) 课时2 等腰三角形的判定 基础巩固练 [答案 P14] 知识点①等腰三角形的判定 1(上海普陀区期中)下列三角形中，等腰三角形 的个数是 ( ) 5 5 90° 100° 35° 4 45°℃ 40° 50° ① ② ③ ④ 1题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2 如图，在△ABC中，∠A=36°,∠C=72°,BD平 分∠ABC,ED//BC,则图中等腰三角 A 形的个数是 ( ) A.2 EL D B.3 B C C.4 2题图 D.5 3 如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE// AC.求证：△BDE是等腰三角形. A E C B D 3题图 知识点② 等腰三角形的性质与判定的综合应用 4 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正 北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛 A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84° 方向上.则海岛B到灯塔C的距离是( ) A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里 5 (河南信阳期中)将一张长 方形纸片ABCD按如图所 示的方式进行折叠，若AE =3,AB=4,BE=5,则重叠 部分的面积是______. C Ar E D B 5题图 6 (重庆中考 B卷)如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°,求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线 于点F.求证：AE=FE. A 以 B D C F 6题图 知识点③ 用尺规作等腰三角形 7 (教材母题变式)如图，作一个以AB为底边，底 边上的高CD=AB的等腰三角形.(保留作图痕 迹，不写作法) A B 7题图 52 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 第十五章 轴对称 能力提升练 [答案 P14] ①在下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形 的是 ( ) A.∠B=40°,∠C=80° B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2:2:1 ② 如图，∠B= ∠C =36°, A ∠ADE = ∠AED=72°,则 图中的等腰三角形的个数 为 ( ) B D E C 2题图 A.3 B.4 C.5 D.6 3在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°.用无刻度 的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为 等腰三角形，如图所示，作法正确的有 个. B D B D B BD 才 D A C A C A C A C * 3题图 ④如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°,D是AB 边上一点，且CD=CB,过点B作BF⊥CD于点 E,与AC交于点F. (1)求证：∠ABF=—∠BCD; (2)判断△BCF的形状，并说明理由. C F E A D B 4题图 专题4 角平分线+平行线→等腰三角形 【模型展示】 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型 有以下两种： A C B D 图① D A -E B C 图② (1)如图①,BC平分∠ABD,AC//BD,则AB=AC. (2)如图②,AE//BC,AE平分∠DAC,则△ABC 是等腰三角形. 【例】(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠B, ∠C的平分线交于点0,过点0作EF//BC分 别交AB,AC于点E,F.已知 EF=6,BE=4,则 CF的长为_____ A E 0 F B C 【变式训练】 (淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 交AC于点D,过点D作DE//BC交AB于点E. (1)求证：BE=DE; (2)若∠A=80°,∠C=40°,则∠BDE=_____. A E D B C 变式题图 见此图标眼微信扫码 难题轻松解练出好成绩 53