5.3一元一次方程的应用——追赶小明 导学案 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

5.3一元一次方程的应用——追赶小明 导学案 【学习目标】通过分析相遇问题与追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题. 【学习重难点】借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题. 【导学过程】 一.知识回顾 1.若小聪每秒跑4米，那么他5秒能跑20米. 2.小聪用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为200米/分. 3.行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系 ①路程＝速度×时间；②速度＝；③时间＝. 二.探究新知 探究１：追及问题 引例1.小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：出发时间不同的追及问题，画出线段图. 等量关系：①小明所用时间＝5＋爸爸所用时间；②小明走过的路程＝爸爸走过的路程. 解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟， 根据题意可列方程：80×5＋80x=180x.解得x=4.答：爸爸追上小明用了4分钟． （2）180×4=720（米），1000-720=280（米）.答：追上小明时，距离学校还有280米． 【归纳1】追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类： ①同地不同时，如右图： 等量关系：①甲先走的行程+甲后走的行程＝乙的行程． ②甲后用的时间=乙用的时间 ②同时不同地，如右图： 等量关系：①乙的行程－甲的行程＝行程差；②速度差×追及时间＝追及距离；③甲时间=乙时间. 练习1.小明在小亮的前方10米处，若小明每秒跑7米，小亮每秒跑7.5米，同时起跑，问小亮跑多少米可以追上小明？ 分析：本题是追及问题，属于“同时不同地”的类型， 等量关系：①小亮跑的路程－小明跑的路程＝10米；②小亮所用时间=小明所用时间 解：设x秒时小亮追上小明，根据题意列方程7.5x－7x＝10.解得x＝20. 所以7.5×20＝150(米)．答：小亮跑150米可追上小明． 探究2.相遇问题： 引例2.A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米．甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米． (1)乙车行驶几小时后与甲车相遇？ (2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶．那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？ 分析：本题属于相遇问题．相等关系是：(1)甲车的行程＋乙车的行程＝360千米． (2)甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝(360＋100)千米． 解：(1)设乙车行驶x小时两车相遇，根据题意列方程72＋48x＝360.解得x＝2.75. 答：乙车行驶2.75小时后两车相遇． (2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车行驶了y小时，则乙车行驶了小时， 根据题意列方程72y＋48＝360＋100.解这个方程，得y＝4.答：甲车共行驶了4小时． 【归纳2】相遇问题其特点是相向而行．如图1就是相遇问题．图2也可看成相遇问题来解决． 相等关系：①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程； ②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程； ③甲用的时间＝乙用的时间． 三.典例与练习 例1.甲、乙两人从同地出发前往某地．甲步行，每小时行6千米，先出发1.5小时后，乙骑自行车出发，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？ 解：设乙每小时行x千米，根据题意，得x＝6（1.5+） 解这个方程，得x＝16.8. 答：乙每小时行16.8千米． 练习2.育红学校七年级学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米时，(2)班学生组成后队，速度为6千米时。前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米时.后队多久可以追上前队？ 解：设后队x小时后可以追上前队，则6x=4（x+1）,x=2 答：后队经过2个小时可以追上前队。 四.课堂小结 1.同向追及问题：[①同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程.甲时间＝乙时间. ②同地不同时：甲时间＋时间差＝乙时间.[甲路程＝乙路程. 2.相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程.甲时间＝乙时间. 五.分层过关 1.一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（　B　） A. 3：1 B. 2：1 C. 1：1 D. 3：2 2.在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（　C　） A. 10分 B. 15分 C. 20分 D. 30分 3.父子二人早上去公园晨练，父亲从家出了跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需( C ) A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 4.某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（ A ） A. 2km/h B. 4km/h C. 18km/h D. 36km/h 5.在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒，若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错车的时间为8秒。 6.甲、乙两人骑自行车，同时从相距70千米的两地相向而行，甲的速度是20千米时，乙的速度为15千米时，经过　1或3　小时，两人相距35千米． 7.一条长400米的环形跑道，甲乙两人同时同地反向出发，出发后40秒第1次相遇，则再经过40秒后第2次相遇． 8.一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某河，逆流时用了10时，顺流时用了6时，求此河的水流速度． 分析：相等关系：逆水速＝静水速－水速，顺水速＝静水速＋水速，顺流行程＝逆流行程． 解：设此河的水流速度为x千米/时，根据题意，得6(12＋x)＝10(12－x)，解这个方程，得x＝3. 答：此河的水流速度为3千米/时． 9.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． (1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ (2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 分析：(1)相等关系：甲的行程＋乙的行程＝环形跑道一圈的长－8米； (2)相等关系：甲走的路程＝乙走的路程＋两地间的距离－8米． 解：(1)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇．根据题意得8x＋6x＝400－8， 解这个方程，得x＝28.答：经过28秒两人首次相遇． (2)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇，根据题意得8x＝6x＋400－8，解这个方程，得x＝196. 答：经过196秒两个人首次相遇． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3一元一次方程的应用——追赶小明 导学案 【学习目标】通过分析相遇问题与追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题. 【学习重难点】借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题. 【导学过程】 一.知识回顾 1.若小聪每秒跑4米，那么他5秒能跑___米. 2.小聪用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为______米/分. 3.行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系 ①路程＝速度×时间；②速度＝；③时间＝. 二.探究新知 探究１：追及问题 引例1.小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：出发时间不同的追及问题，画出线段图. 等量关系：①________________________；②______________________________. 解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟， 根据题意可列方程：_______________.解得x=___.答：爸爸追上小明用了___分钟． （2）180×__=___（米），1000-___=___（米）.答：追上小明时，距离学校还有___米． 【归纳1】追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类： ①同地不同时，如右图： 等量关系：①_________________________________． ②_____________________ ②同时不同地，如右图： 等量关系：①_____________________；②________________________；③_____________. 练习1.小明在小亮的前方10米处，若小明每秒跑7米，小亮每秒跑7.5米，同时起跑，问小亮跑多少米可以追上小明？ 分析：本题是追及问题，属于“同时不同地”的类型， 等量关系：①______________________________；②___________________________. 解：设x秒时小亮追上小明，根据题意列方程____________.解得x＝___. 所以_______________．答：小亮跑___米可追上小明． 探究2.相遇问题： 引例2.A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米．甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米． (1)乙车行驶几小时后与甲车相遇？ (2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶．那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？ 分析：本题属于相遇问题．相等关系是：(1)______________________________． (2)________________________________________________． 解：(1)设乙车行驶x小时两车相遇，根据题意列方程_____________________.解得x＝______. 答：乙车行驶______小时后两车相遇． (2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车行驶了y小时，则乙车行驶了小时， 根据题意列方程________________________.解这个方程，得y＝___.答：甲车共行驶了___小时． 【归纳2】相遇问题其特点是相向而行．如图1就是相遇问题．图2也可看成相遇问题来解决． 相等关系：①______________________________； ②______________________________； ③________________________． 三.典例与练习 例1.甲、乙两人从同地出发前往某地．甲步行，每小时行6千米，先出发1.5小时后，乙骑自行车出发，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？ 练习2.育红学校七年级学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米时，(2)班学生组成后队，速度为6千米时。前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米时.后队多久可以追上前队？ 四.课堂小结 1.同向追及问题：[①同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程.甲时间＝乙时间. ②同地不同时：甲时间＋时间差＝乙时间.[甲路程＝乙路程. 2.相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程.甲时间＝乙时间. 五.分层过关 1.一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（　　） A. 3：1 B. 2：1 C. 1：1 D. 3：2 2.在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（　　） A. 10分 B. 15分 C. 20分 D. 30分 3.父子二人早上去公园晨练，父亲从家出了跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需( ) A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 4.某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（ ） A. 2km/h B. 4km/h C. 18km/h D. 36km/h 5.在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒，若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错车的时间为___秒。 6.甲、乙两人骑自行车，同时从相距70千米的两地相向而行，甲的速度是20千米时，乙的速度为15千米时，经过_________小时，两人相距35千米． 7.一条长400米的环形跑道，甲乙两人同时同地反向出发，出发后40秒第1次相遇，则再经过___秒后第2次相遇． 8.一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某河，逆流时用了10时，顺流时用了6时，求此河的水流速度． 分析：相等关系：逆水速＝静水速－水速，顺水速＝静水速＋水速，顺流行程＝逆流行程． 9.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米． (1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ (2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$