专练六 三角形中的证明与计算(题型专练)-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024）

同步练测·八年级数学(上册) (2)令A=x+y,则原式=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A- 2)2=(x+y-2)2. 3.解：(1)S?=(a+b)2-3ab=a2+b2-ab, S?=(2a+b)(a+2b)-5ab=2a2+2b2. (2)∵S?,S?分别为21,82, ∴a2+b2-ab=21,2a2+2b2=82, ∴a2+b2=41, ∴ab=41-21=20. 4.解：(1)由题意，得(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. 证明：∵左边=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3 =ab2-ab2+a2b-a2b+a3+b3=a3+b3, 右边=a3+b3, ∴(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. (2)由题意，得t3-64=[(t+2)2-n](t-4) =(t2+4t+4-n)(t-4), ∴4-n=42=16,∴n=-12. 5.解：(1)4a-4b (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab (3)由(2)知(m+n)2=(m-n)2+4mn. ∵m-n=4,mn=-3, ∴(m+n)2=42+4×(-3)=16-12=4, ∴m+n=2或-2. (4)设AC=a,BC=b, ∵AB=8,S?+S?=26,∴a+b=8,a2+b2=26. ∵(a+b)2=a2+b2+2ab,∴64=26+2ab,解得ab=19. 由题意知∠ACF=90°, Smu=—2ab=12 专练四 阅读理解题 1.解：(1)4—=0 (2)y -4=0 (3)原方程可化为x+2-x+2=0,设y=x+2, 则原方程可化为—=0 方程两边同时乘y,得y2-1=0, 解得y?=1,y?=-1, 经检验，y?=1,y?=-1都是方程一—=01的解. 当y=1时，,x+2=1,,该方程无解； 当y=-1时，x+2=-1,解得x=-2, 经检验，x=-2是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为：x=-2 2.解；(1)完成计算如下： 所以(1-x)2+(x-5)2=a2+b2=(a+b)2-2ab =(-4)2-2×2=16-4=12. (2)设(30-x)=a,(x-20)=b, 则ab=(30-x)(x-20)=-580, a+b=(30-x)+(x-20)=10, 所以(30-x)2+(x-20)2=a2+b2=(a+b)2-2ab:= 1260. (3)由题意得， 正方形ACFG的边长为13-m、面积为(13-m)2, 正方形ABDE的边长为10-m、面积为(10-m)2, 则(13-m)2+(10-m)2=119. 设13-m=p,10-m=q, 则p2+q2=(13-m)2+(10-m)2=119, p-q=(13-m)-(10-m)=3, 所以长方形AEPC的面积为 pg=(2+22)-(p-9)2二19-9=55. 专练五 线段和(差)的最值问题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.(4,0) 6.4 7.3 8.7 9.30° 专练六 三角形中的证明与计算 1.证明：(1)在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS). (2)由(1)知△ABD≌△ACD, ∴∠EAD=∠FAD. 在△AED和△AFD中， 1n ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴DE=DF. 2.解：(1)∵∠ABC=65°,∠C=35°, ∴∠BAC=80°. ∵AD是△ABC的角平分线， ∠DAC= —∠BAC=40°, ∴∠ADC=180°-40°-35°=105°. (2)∵ BE⊥AD,∴∠AEF=90°. 由(1)得∠EAF=40°, ∴∠AFE=180°-40°-90°=50°. 3.(1)解：∵∠B=∠C=45°, ∴∠BAC=90°, ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°, ∠ADE=∠AED=180°-30°=75°, ∴∠CDE=∠AED-∠C=30°. (2)证明：设∠CDE=x°, 则∠AED=∠CDE+∠C=(x+45)°, ∴∠DAC=180°-2∠AED=(90-2x)°, ∴∠BAD=90°-∠DAC=2x°, ∴∠BAD=2∠CDE. 4.(1)证明：∵∠ABC=∠DBE, ∴∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE, ∴∠ABD=∠CBE. 在△ADB和△CEB中，m co ∴△ADB≌△CEB(SAS), ∴AD=CE. (2)解：∵ BA=BC,∠ABC=30°, ∠BAC=∠BCA=—(180°-30°)=75° ·38· 参考答案及解析 ∵∠AFC=45°, ∴∠BCE=∠AFC-∠ABC=45°-30°=15°. ∵△ADB≌△CEB, ∴∠BAD=∠BCE=15°, ∴∠EAC=∠BAD+∠BAC=15°+75°=90°. 5.(1)证明：∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC. ∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形. (2)解：△AOD是直角三角形.理由如下： ∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°. ∵△BOC≌△ADC,α=150°, ∴∠ADC=∠BOC=α=150°, ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°, ∴△AOD是直角三角形. (3)解：∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODC=60°. ∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α, ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD =360°-110°-α-60°=190°-α, ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°, ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO =180°-(190°-α)-(α-60°)=50°. ①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°,∴α=125°; ②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°,∴α=140°; ③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°,∴α=110°. 综上所述，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰 三角形. 6.(1)①解：过点D作DH⊥y轴于点H,如答图①. ∵DH⊥y轴，AB⊥y轴，∴∠ABC=∠CHD=90°. ∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∵90°=∠BAC+∠ACB,90°=∠DCH+∠ACB, ∴∠BAC=∠HCD. 在△ABC和△CHD中， ∴△ABC≌△CHD(AAS),∴AB=CH,BC=HD. ∵A(4,4),C(0,3), ∴AB=4,0C=3,BC=1,∴HD=1,0H=1,∴D(1,-1). y? BE A Ct M 可 H D x y? B A C M O HF D 6题答图① ②解：连接OD,如答图②. 6题答图② ∵S△oMc+S△OMD=S△OCD, 20M·OC+20M·OH=20c·HD. 由①知HD=1,0C=3,0H=1, 20M=2,oM=3, S△ouc=—0M·oc=2×3×3=9 (2)证明：延长BF交x轴于点P,如答图③. ∵C是OB的中点，∴0C=BC=2. ∵AB⊥y轴，BF⊥AC,∴∠ABC=∠AEB=90°, ∴∠OBP+∠EBA=90°,∠BAC+∠EBA=90°, ∴∠BAC=∠OBP. 在△ABC和△BOP中，: ∴△ABC≌△BOP(ASA), ∴BC=OP,∴0C=OP,∠COF=∠POF=45°. 在△COF和△POF中，5;,ro ∴△COF≌△POF(SAS), ∴∠OFC=∠OFP,∴∠AFB=∠0FC. y B A E Ck F 0 P 6题答图③ 专练七 三角形中的类比探究题 1.解：(1)15° (2)①:∵△ABC,△BEF都是等边三角形， ∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF, ∴∠ABE=∠CBF,∴△ABE≌△CBF,∴∠BAE=∠BCF. ∵∠BAC=60°,AD平分∠ABC, ∠BAD=—∠BAC=30°,⋯.∠BAE=∠BCF=150°, ∴∠DCM=180°-150°=30°. ∵∠CDM=90°,∴∠AMC=90°-30°=60°. E A B 下D Q C M H P 1题答图 ②△BPQ的面积是定值，定值为20.理由： 如答图，过点B作BH⊥CM于点H. 在Rt△CBH中，CB=8,∠BCH=30°, BH= BC=4, S△BRo=-PQ·BH=2×10×4=20. 2.解：(1)等腰直角三角形 (2)△ACE为等边三角形.理由如下： 在△ABC和△CDE中，nnc ∴△ABC≌△CDE(SAS), ·39· 专练六 三角形中的证明与计算 1.如图，已知∠E= ∠F=90°,点B,C分别在 AE,AF上，AB=AC,BD=CD.求证： (1)△ABD≌△ACD; (2)DE=DF. F A C D E B A 1题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC=65°,∠C=35°,AD 是△ABC的角平分线. (1)求∠ADC的度数； (2)过点B作BE⊥AD于点E,BE延长线交 AC于点F,求∠AFE的度数. A E F B D C 2题图 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°,点D在边 BC上，点E在边AC上，且∠ADE=∠AED,连 接DE. (1)当∠BAD=60°,求∠CDE的度数； (2)当点D在边BC(点B,C除外)上运动时， 求证：∠BAD=2∠CDE. A E B D C 3题图 4.如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点F在 AB边上，延长CF交AD于点E,BD= BE, ∠ABC=∠DBE. (1)求证：AD=CE; (2)若∠ABC=30°,∠AFC=45°,求∠EAC的 度数. A D巨 F B C 4题图 27 C Q 同步练测·八年级数学(上册) 5.如图，0是等边△ABC内一点，D是△ABC外 的一点，∠AOB=110°,∠OCD=60°,∠BOC= α,△BOC≌△ADC,连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说 明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三 角形. A D 11020 B α C 5题图 28 Q 6.如图，A(4,4),AB⊥y轴于点B,点C在线段 OB上运动(点C不与点0,B重合),CD⊥AC, 且CD=AC. (1)如图①,当点C的坐标为(0,3)时， ①求点D的坐标； ②设CD与x轴交于点M,求△OMC的 面积； (2)如图②,C是OB的中点，过点B作BF⊥ AC于点E,BF与OA交于点F,求证： ∠AFB=∠0FC. y4 B A C M 0 D y BR A E ck F 0 6题图① 6题图② ■知识精讲 AI匹配资源 □AI智能工具 □AI方法指导 抖音/微信 扫码进阶