第15章 专题5-6 等腰三角形中的分类讨论思想 构造等腰三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024）

第十五章 轴对称 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 [答案 P15] 类型③腰或底不确定时分类讨论 1已知等腰三角形的两边长分别为6和7,求这个 三角形的周长. 类型②顶角或底角不确定时分类讨论 2已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D,且AD = BC,,求锐角∠C的度数. 3若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两 倍，求底角的度数. 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 类型③点的位置不确定时分类讨论 ④ 如图，∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点， OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s 的速度移动，动点Q从点0出发沿OC以1cm/s 的速度移动，如果点P,Q同时出发，用t(s)表示 移动的时间，那么当t=_____时，△POQ是 等腰三角形. C Q A P0 B 4 E B D C 4题图 5题图 5(四川成都期中)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点，点E在AB 上，∠AED=69°,若点P是等腰三角形ABC的 腰AC上一点，则当△EDP为等腰三角形时， ∠EDP的度数是______. 类型④腰的垂直平分线不确定时分类讨论 6 在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于 点D,交直线AC于点E,∠AEB=80°,求∠EBC 的度数. 57 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P16]专题6 构造等腰三角形的常用方法 类型①构造“三线合一”图形 ①如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC 的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF. 求证：(1)ED=DF;(2)ED⊥DF. A F E B D C 1题图 类型②作平行线构造等腰三角形 3 如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E 在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F. 求证：DF=EF. A D B CF E 3题图 2如图，在△ABC中AC=2AB,AD平分∠BAC交 ④ 如图，在△ABC中，CA=CB,D在AC延长线上， BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC.求证： E在BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB. EB⊥AB. D B C D E E A C A B 2题图 4题图 58 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 第十五章 轴对称 类型③“倍长中线法”构造等腰三角形 类型④“截长补短法”构造等腰三角形 5 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以 便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的 有关知识来解决问题的方法.利用上述方法解 决以下问题：如图，在正方形ABCD中，E为AB 边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点.若AG =2,BF=4,∠GEF=90°,求GF的长. D C F G A E B 5题图 6 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点， AD,CE交于点F,且AE=EF.求证：AB=CF. A E F B D C 6题图 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 7如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点， 且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证：BD+DC=AB. A B D C 7题图 8 如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于点 D,且AB+BD=DC,求∠C的度数. A B D C 8题图 59 参考答案及解析 (2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°. ∵∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°, ∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 6.C 7.60°8.①②④ 9.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, ∴Rt△AED≌Rt△CFD,∴ ∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 【能力提升练】 1.C 2.30 3.48 4.30° 5.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AB=AC,∴.∠B=∠C. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. Ac0mo nAcmoa ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=2BD=8, ∴△ABC的周长为24. 6.解：如答图，分别以AP,AC为边作等边△APD,等边△ACE, 连接DE, ∴∠PAD=∠CAE=60°, ∴∠PAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 即∠PAC=∠DAE. 在△PAC和△DAE中，E2 zu ∴△PAC≌△DAE(SAS), ∴PC=DE,故PA+PB+PC=PD+PB+DE. 当B,P,D,E在同一条直线上时， PA+PB+PC取得最小值. ∵△APD为等边三角形， ∴∠APD=∠ADP=60°, ∴∠APB=180°-60°=120°. ∵△PAC≌△DAE, ∴∠APC=∠ADE=180°-∠ADP=180°-60°=120°, ∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC=360°-120°-120° =120°. E A D P B C 6题答图 课时2 含30°角的直角三角形的性质 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.6072 8.解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60°. ∵AD=2,∴ BD=AB-AD=8-2=6. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°, BE= BD=2×6=3,CE=BC-BE=8-3=5. 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°, CF= —CE= 2×5=2, AF=AC-FC=8-2=2 (2)在△BDE和∠CEF中，- ∴△BDE≌∠CEF(AAS),∴ BE=CF. ∠CEF=30°⋯.BE=CF=—EC, BE= BC=8,BD=2BE=, AD=AB-BD=3⋯当AD=8时，DE=EF. 专题5 等腰三角形中的分类讨论思想 1.解：①当底边长为6,腰长为7时，符合三角形三边关系，周 长为6+7+7=20; ②当底边长为7,腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为 7+6+6=19. 2.解：若∠C为底角， ①如答图①,当AB=AC时， ∵AD⊥BC,∴BD=CD. AD= BC,AD=BD=CD,.∠C=45°; ②如答图②,当AB=BC时， AD=2BC,∴AD=—AB. 又∵AD⊥BC,∠ABD=30°,∴∠C=75°; ③如答图③,当AB=BC时， AD= BC,AD= AB. 又∵AD⊥BC,∴∠DBA=30°,∴.∠C=15°; 若∠C为顶角，如答图④,AC=BC, ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. AD= BC,AD= —AcC,⋯.∠C=30°. 综上，∠C的度数为45°或75°或15°或30°. C B C D D B D 口 D A2 B A CC A A B题答图① 2题答图② 2题答图③ 2题答图④ 3.解：设这个角的度数为x, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为 180°-2x, 根据题意得x=2(180°-2x),解得x=72°; 当这个角为顶角时，则底角为180°- 根据题意得：x=2(180°-=),,解得x=90°,则底角的度数为 180°-*=45。.综上所述，底角为72°或45°. 4.3或10 [解析]分两种情况；①当点P在OA上时，如答 图①,0P=0Q,根据题意，得PO=A0-AP=10-21,0Q= ·15· 同步练测·八年级数学(上册) t,∴10-2t=t,解得 t=2;②当点P在OB上时，如答图 ②,△POQ是等边三角形，根据题意，得PO=AP-A0= 2t-10,0Q=t,∴2t-10=t,解得t=10.故当t=19或10 时，△POQ是等腰三角形. C Q A 0 P B C 1Q/ A P_0 B 4题答图① 4题答图② 5.142°或100°[解析]∵AB=AC,ZB=50°,∴∠BAC= 180°-50°-50°=80°.由题意，知△EDP只能是以DE为腰 的等腰三角形.如答图，过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC 于点H.∵AB=AC,D为BC的中点，∴AD平分∠BAC, ∴DG=DH,.点P可能在点P?的位置，也可能在点P?的 位置.①如答图①,当点P在点P?的位置时，在Rt△DEG与 Rt△DP?H中，DE=DP?,DG=DH,∴ Rt△DEG≌Rt△DP?H, ∴∠AP?D=∠AED=69°,∴∠EDP?=360°-69°-69°-80° =142°;②如答图②,当点P在点P?的位置时，同理，可得 Rt△DEG≌ Rt△DP?H,∴∠EDG=∠P?DH,∴∠EDP?= ∠GDH=360°-90°-90°-80°=100°.综上，∠EDP的度 数为142°或100°. A P? G H E B D C 5题答图② A D E B C 6题答图① A G H E P? B D C 5题答图① 6.解：当∠BAC是锐角时，如答图①. ∵DE垂直平分AB, ∴AE=BE, ∴∠BAC=∠ABE. ∵∠AEB=80°, ∠BLC=∠ABE=2×(180°-809)=50. ∵AB=AC,⋯.∠ABC=—×(180°-50°)=65°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°; 当∠BAC是钝角时，如答图②. ∵DE垂直平分AB, ∴AE=BE, ∴∠BAE=∠EBA. E A B D C ∵∠AEB=80°, 6题答图② ∴∠BAE=∠EBA=—×(180°-80°)=50°, ∴∠BAC=130°. ∵AB=AC, ∠ABC=—×(180°-130°)=25°, ∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=75°. 综上，∠EBC的度数为15°或75°. 专题6 构造等腰三角形的常用方法 1.证明：(1)如答图，连接AD. ∵AB=AC,D为BC的中点， ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°, ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°, A F E B4 D C 1题答图 ∴AD=BD. 在△BED和△AFD中， % ∴△BED≌△AFD(SAS), ∴ED=FD. (2)∵△BED≌△AFD,∴∠BDE=∠ADF, ∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°, ∴∠EDF=90°,∴.ED⊥DF. 2.证明：如答图，作EF⊥AC于点F. ∵EA=EC,∴AF=FC. ∵AC=2AB,∴AF+FC=2AF=2AB,∴AF=AB. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠FAE. 又∵AE=AE,∴ △ABE≌AFE, ∴∠ABE=∠AFE=90°,∴EB⊥AB. B D E A4 C 2题答图 3.证明：过点D作DM//AC交BC于点M, 如答图所示， ∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠DMB, ∴BD=MD. ∵BD=CE,∴MD=CE. 在△DMF和△ECF中， A D B CMF 3题答图 E ∴△DMF≌△ECF(AAS),∴DF=EF. 4.证明：如答图，过点D作DM//AB,交BC的延长线于点M, ∴∠MDC=∠A,∠M=∠B. ∵AC=BC,∴∠A=∠B, ∴∠M=∠MDC. ∵CD=CE, ∴∠CDE=∠CED. ∵∠M+∠MDE+∠CED=180°, ∴∠M+ ∠MDC+∠CDE+∠CED M D C E A B 4题答图 =180°, ∴∠MDC+∠CDE=90°, 即∠MDE=90°,DE⊥DM. ∵MD//AB,∴DE⊥AB. 5.解：如答图，延长GE交CB的延长线于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//CM, ∴∠AGE=∠M. ∵E为AB边的中点， ∴AE=BE. 在△AEG和△BEM中， ∴△AEG≌△BEM(AAS), ∴GE=ME,AG=BM=2. D C F G A E B M 5 题答图 ·16· 参考答案及解析 又∵EF1MG,∴FG=FM. ∵ BF=4,∴MF=BF+BM=4+2=6, ∴GF=FM=6. 6.证明：如答图，延长AD到点G使DG=AD,连接CG. ∵AD为中线， A ∴BD=CD. E 又∵∠ADB=∠CDG,AD=GD, F ∴△ADB≌△GDC, B2 ∴AB=GC,∠EAF=∠G. D C ∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA. ∵∠EFA=∠CFG,∴∠G=∠CFG, G ∴CF=CG,∴ AB=CF. 6题答图 7.证明：如答图，延长BD到点F,使BF=BA,连接AF,CF. ∵∠ABD=60°,∴ △ABF为等边三角形， ∴AF=AB=BF,∠AFB=60°. 又∵AB=AC, A ∴AC=AF, ∴∠ACF=∠AFC. 又∵∠ACD=60°, ∴∠AFB=∠ACD=60°, ∴∠DCF=∠DFC, ∴DC=DF. B4 D F ∴BD+DC=BD+DF=BF=AB, C 即BD+DC=AB. 7题答图 8.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连接AE. ∵AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中，2A ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴AB=AE,∠B=∠AEB. 又∵AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, ∴AB+DE=DE+EC,∴AB=EC,∴AE=EC. 设∠EAC=∠C=x, ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∠B=2x. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°, 即2x+120°+x=180°,解得x=20°,∴∠C=20°. A B D E C 8题答图 专题7“手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形 1.(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE=90°, ∴AC=BC,DC=EC, ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中， A0 ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD. (2)解：△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC, △AON≌DOM,△AOB≌△DOE.(答案不唯一) 2.解：BM=AM+CM.理由如下： 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF. ∵△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴AC=BC=AB,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°, ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD, ∴△BCE≌△ACD, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC. 在△MEC和△FDC中，=,m ∴△MEC≌△FDC(SAS), ∴MC=FC,∠MCE=∠FCD, ∴∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°, ∴△MCF是等边三角形，∴MC=MF, ∴BM=BE-ME=AD-DF=AM+MF=AM+CM. A M E F B C D 2题答图 3.(1)①证明：∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE,∴ ∠ABD=∠ACE, ∴∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC=∠BCA+ ∠ABD+∠BAC=180°. ②解：∵△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, ∴BC=2. ∵△ABD≌△ACE,∴ BD=CE, ∴四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+ BD+AE=BC+2AD, ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小. ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC, BD=—CB=2×2=1. (2)解：∠BCE+∠BAC=180°. 理由：如答图，设CE与AD交与点F, ∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE, ∴∠ADB=∠AEC. ∵∠AFE=∠CFD, ∴∠EAF=∠ECD. ∵∠BAC=∠FAE, ∴∠BAC=∠ECD. 又∵∠BCE+∠ECD=180°, ∴∠BCE+∠BAC=180°. A E F B C D 3题答图 专题8 轴对称——将军饮马 1.C 2.5 3.B 4.B 5.24 6.解：(1)①100° ②∵ PO=5, ∴GO=HO=5. 当∠MON=90°时，∠GOH=180°, ∴G,0,H在同一直线上， ∴GH=GO+HO=10. ·17·