江苏省射阳中学2025届高三上学期一模模拟测试数学试题

第1页（共20页） 2025 年江苏省盐城市射阳中学高考数学一模试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．（5 分）已知集合 { | 1 3}M x x= −   ，若P M M= ，则集合 P 可以为 ( ) A．{3} B． [ 1− ，1] C． (0,3) D．[ 1− ，3] 2．（5 分）命题“ 1x  − ，使得 2 1x ”的否定是 ( ) A．“ 1x  − ，使得 2 1x ” B．“ 1x  − ，使得 2 1x ” C．“ 1x  − ，使得 2 1x  ” D．“ 1x  − ，使得 2 1x ” 3．（5 分）在△ ABC 中， 30ABC = ， 3AB = ， 3BC = ，则 (AB BC = ) A．3 B． 9 2 C． 3− D． 9 2 − 4．（5 分）已知等比数列{ }na 中， 1 2a = ， 2 4 16a a = ，则 3 (a = ) A．4 B． 4 C．8 D． 8 5．（5 分）已知角 的终边在第二象限内，且终边所在直线与直线 : 3 2 0l x y− − = 垂直，则 cos2 ( = ) A． 1 2 − B． 1 2 C．2 D． 2 2− 6．（5 分）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为 3 局 2 胜制，若比赛没有平局，且高二队每 局获胜的概率都是 1 ( 1) 2 p p  ，记比赛的最终局数为随机变量 X ，则 ( ) A． 2( 2)P X p= = B． ( 3) (1 )P X p p= = − C． 2( 2) 2 2 1P X p p= = − + D． ( 3)P X p= = 7．（5 分）已知双曲线 2 2 2 2 1( , 0) x y a b a b − =  的左、右焦点记为 1F ， 2F ，直线 l 过 2F 且与该双曲线的一条渐 近线平行，记 l 与双曲线的交点为 P ，若所得△ 1 2PF F 的内切圆半径恰为 3 b ，则此双曲线的离心率为 ( ) A．2 B． 5 3 C． 3 D． 11 2 8．（5 分）已知 a R ， 0b  ，若函数 ( ) ( )( ) 0xf x x a e b= − − ，则 1 a b + 的最小值为 ( ) 第2页（共20页） A． 1 e B．1 C． e D．3 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。 9．（6 分）关于复数 z ，下列说法正确的是 ( ) A． 2023z i i= = − B．若 | | 1z = ，则 z 在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1 为半径的圆 C．如果 0a = ，那么 z a bi= + 是纯虚数 D．若复数满足 5 5 2 i z i i = + − ，则 z 在复平面对应的点是 ( 1,7)− 10．（6 分）如图，菱形 ABCD的边长为 2， 60BAD = ， E 为边 AB 的中点．将△ ADE 沿 DE 折起，折 叠后点 A 的对应点为 A使得平面 A DE ⊥平面BCDE ，连接 A B ， A C ，则下列说法正确的是 ( ) A． D 到平面 A BC 的距离为 2 B．四面体 A CDE − 的外接球表面积为8 C． BC 与 A D 所成角的余弦值为 3 4 D．直线 A B 与平面 ACD 所成角的正弦值为 6 4 11．（6 分）已知函数 ( ) 2 ( )f x x ln kx= + − ，下列说法正确的是 ( ) A．当 1k = − 时， ( )f x 在区间 ( , 1)− − 内有唯一零点 B．当 0k  时， ( )f x 在点 (3， f （3） )处的切线斜率为 2 3 C．当 1k = 时，若 1 2 1 2( ) ( )( )f x f x x x=  ，则 1 2 2x x+  D．当 0k  时， 1x = 总是 ( )f x 的极值点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12．（5 分）若函数 ( ) 2sin( ) (0 5) 3 f x x m   = + +   满足 ( ) ( ) 2 3 3 f x f x   + + − = ，则 m + = ． 第3页（共20页） 13．（5 分）已知 2023 2 20230 1 2 2023(2 ) ( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x− = + − + − ++ − ，则 2023 1 1 i ia= = ． 14．（5 分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线 的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日 (1746 1818)− 最先发现．若椭圆 2 2: 1 4 x C y+ = 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，P 为椭圆C 上一动点，过P 和 原点作直线 l 与椭圆C 的蒙日圆相交于M ， N ，则 1 2 | | | | | | | | PM PN PF PF  =  ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知函数 2( )f x lnx ax= − ． （1）当 1a = 时，求 ( )f x 的图象在点 (1， f （1） )处的切线方程； （2）若 (0, )x  + ， ( ) 0f x  时，求实数 a的取值范围． 16．（15 分）受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这 三个市分别有 8%， 6% ， 4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为 4: 6 :10 ，现从 这三个市中任意选取一个人． （1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率； （2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率． 17．（15 分）设数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 1 3a = ．数列{ 3}nS + 为等比数列，且 1S ， 3S ， 4 12S S− 成等差 数列． （1）求数列{ }nS 的通项公式； （2）若 ( 1)n n n S N M a −  ，求 M N− 的最小值． 18．（17 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，四边形 1 1BB C C 是正方形， 1 4AB AC AA= = = ，点 P 在线段 1 1B C 上． （1）若 1 60A AB = ， 90BAC = ，求点 1A 到平面 ABC 的距离； 第4页（共20页） （2）已知 1 1A B AC⊥ ． ①证明：平面 1A BC ⊥平面 ABC ； ②若二面角 1A A B P− − 的正弦值为 7 7 ，求 AP ． 19．（17 分）已知抛物线 21 : 4y x = 的焦点为 F ，准线为 l ，双曲线 2 2 2 : 1 3 6 x y  − = 的左焦点为T ． （1）求 l 的方程和双曲线 2 的渐近线方程； （2）设Q为抛物线 1 和双曲线 2 的一个公共点，求证：直线QT 与抛物线 1 相切； （3）设 P 为 l 上的动点，且直线 PT 与双曲线 2 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，直线PF 与抛物线 1 交于不同的两点C ， D ，判断 1 3 | | | |AB CD + 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第5页（共20页） 2025 年江苏省盐城市射阳中学高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A A C A B 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．（5 分）已知集合 { | 1 3}M x x= −   ，若P M M= ，则集合 P 可以为 ( ) A．{3} B． [ 1− ，1] C． (0,3) D．[ 1− ，3] 【答案】C 【解答】解：若 P M M= ， 则 P M ， 集合 { | 1 3}M x x= −   ， 则集合 P 可以为 (0,3)． 故选：C ． 2．（5 分）命题“ 1x  − ，使得 2 1x ”的否定是 ( ) A．“ 1x  − ，使得 2 1x ” B．“ 1x  − ，使得 2 1x ” C．“ 1x  − ，使得 2 1x  ” D．“ 1x  − ，使得 2 1x ” 【答案】C 【解答】解：“ 1x  − ，使得 2 1x ”的否定是： 1x  − ，使得 2 1x  ． 故选：C ． 3．（5 分）在△ ABC 中， 30ABC = ， 3AB = ， 3BC = ，则 (AB BC = ) A．3 B． 9 2 C． 3− D． 9 2 − 【答案】 D 【解答】解： 30ABC = ， 3AB = ， 3BC = ， 则 3 9 3 3 cos30 3 3 2 2 AB BC BA BC = −  = −    = −   = − ． 第6页（共20页） 故选： D ． 4．（5 分）已知等比数列{ }na 中， 1 2a = ， 2 4 16a a = ，则 3 (a = ) A．4 B． 4 C．8 D． 8 【答案】 A 【解答】解：等比数列{ }na 中， 1 2a = ， 2 4 16a a = ， 由等比数列下标和性质可得 23 2 4 16a a a= = ， 又 2 23 1 2 0a a q q= =  ，所以 4 4a = ． 故选： A ． 5．（5 分）已知角 的终边在第二象限内，且终边所在直线与直线 : 3 2 0l x y− − = 垂直，则 cos2 ( = ) A． 1 2 − B． 1 2 C．2 D． 2 2− 【答案】 A 【解答】解：由已知可得 1 tan 1 3   = − ，则 tan 3 = − ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 cos2 1 1 3 2 cos sin tan cos sin tan        − − − = = = = − + + + ． 故选： A ． 6．（5 分）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为 3 局 2 胜制，若比赛没有平局，且高二队每 局获胜的概率都是 1 ( 1) 2 p p  ，记比赛的最终局数为随机变量 X ，则 ( ) A． 2( 2)P X p= = B． ( 3) (1 )P X p p= = − C． 2( 2) 2 2 1P X p p= = − + D． ( 3)P X p= = 【答案】C 【解答】解：根据题意，因为赛制为 3 局 2 胜制，且比赛没有平局，则随机变量 X 的可能值为 2 或 3， 若“ 2X = ”，有 2 种情况：即高二队连胜 2 局或高二队连负 2 局， 所以 2 2 2( 2) (1 ) 2 2 1P X p p p p= = + − = − + ， 故 A 错误，C 正确； “ 3X = ”，即高二队前 2 局胜一局负一局， 第7页（共20页） 所以 1 22( 3) (1 ) 2 2P X C p p p p= = − = − + ， 故 B 、 D 错误． 故选：C ． 7．（5 分）已知双曲线 2 2 2 2 1( , 0) x y a b a b − =  的左、右焦点记为 1F ， 2F ，直线 l 过 2F 且与该双曲线的一条渐 近线平行，记 l 与双曲线的交点为 P ，若所得△ 1 2PF F 的内切圆半径恰为 3 b ，则此双曲线的离心率为 ( ) A．2 B． 5 3 C． 3 D． 11 2 【答案】 A 【解答】解：由题意可知 1( ,0)F c− ， 2 ( ,0)F c ， 设双曲线一条渐近线方程 b y x a = ， 则直线 2PF 的方程 ( ) b y x c a = − ， 联立方程组 2 2 2 2 ( ) 1 b y x c a x y a b  = −   − =  ， 消去 y 可得 2 22cx a c= + ，解得 2 2 2 a c x c + = ， 3 2 b y ac −  = ， 点 P 的坐标为 2 2 ( 2 a c c + ， 3 ) 2 b ac − ， 设 1| |PF m= ， 2| |PF n= ， 由三角形的面积可得 31 1 ( 2 ) 2 2 3 2 2 b b m n c c ac   + + =   ， 化简可得 23 2 b m n c a + = − ，①， 又 2m n a− = ，②， 由①②解得 23 2 b n a c a = − − ， 设直线 2PF 的倾斜角为 ，过点 P 作 PA x⊥ 轴，垂足为 A ， 则 tan b a  = ， 第8页（共20页） sin b c  = ， 在 2Rt PAF ， 3 2 2sin 3 2 b ac b a c a  = − − ，  3 2 2 3 2 b b ac bc a c a = − − ， 整理可得 2 22 0a ac c+ − = ， 即 2 2 0e e− − = ， 解得 2e = ， 1e = − （舍去）． 故选： A ． 8．（5 分）已知 a R ， 0b  ，若函数 ( ) ( )( ) 0xf x x a e b= − − ，则 1 a b + 的最小值为 ( ) A． 1 e B．1 C． e D．3 【答案】 B 【解答】解：因为 0b  ，若函数 ( ) ( )( ) 0xf x x a e b= − − ， 当 x a时， 0xe b− 恒成立，则 ab e ， 当 x a 时， 0xe b−  恒成立，则 ab e ， 故 ab e= ， 第9页（共20页） 则 1 aa a e b −+ = + ， 令 ( ) xf x x e−= + ，则 1 1 ( ) 1 x x x e f x e e −  = − = ， 当 0x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增，当 0x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 故 0x = 时，函数取得最小值 1． 故选： B ． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。 9．（6 分）关于复数 z ，下列说法正确的是 ( ) A． 2023z i i= = − B．若 | | 1z = ，则 z 在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1 为半径的圆 C．如果 0a = ，那么 z a bi= + 是纯虚数 D．若复数满足 5 5 2 i z i i = + − ，则 z 在复平面对应的点是 ( 1,7)− 【答案】 ABD 【解答】解： 2023 505 4 3 3z i i i i i= =  = = − ，故 A 项正确； 设 z 在复平面内的点为 ( , )Z x y ，由 2 2| | 1z x y= + = ，即 2 2 1x y+ = ，点 Z 在以 (0,0) 为圆心，1 为半径的圆 上，故 B 项正确； 若 0a b= = ，那么 0z a bi= + = 是实数，故C 项错误； 5 5 (2 ) 5 5 1 2 5 1 7 2 (2 )(2 ) i i i z i i i i i i i i + = + = + = − + + = − + − − + ，所以 z 在复平面对应的点是 ( 1,7)− ，故D 项正确． 故选： ABD． 10．（6 分）如图，菱形 ABCD的边长为 2， 60BAD = ， E 为边 AB 的中点．将△ ADE 沿 DE 折起，折 叠后点 A 的对应点为 A使得平面 A DE ⊥平面BCDE ，连接 A B ， A C ，则下列说法正确的是 ( ) A． D 到平面 A BC 的距离为 2 B．四面体 A CDE − 的外接球表面积为8 第10页（共20页） C． BC 与 A D 所成角的余弦值为 3 4 D．直线 A B 与平面 ACD 所成角的正弦值为 6 4 【答案】 BCD 【解答】解：因为菱形 ABCD中， E 为 AB 的中点，所以DE AB⊥ ， 即将△ ADE 沿 DE 折起后， EB ED⊥ ， EA ED ⊥ ， 又面 A DE ⊥面 BCDE ，面 A DE 面BCDE DE= ， BE 面 BCDE ， 所以 BE ⊥面 A DE ，则 EB ， ED， EA两两垂直， 以 E 为坐标原点， EB ， ED， EA所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 (0,0,1), (1,0,0), (2, 3,0), (0, 3,0)A B C D ， 所以 (1,0, 1)A B = − ， (1, 3,0)BC = ， (0, 3, 1)A D = − ， (2,0,0)DC = ． 对于 A ，设面 A BC 的法向量为 1 1 1( , , )n x y z= ， 则 n A B n BC  ⊥   ⊥ ，则 1 1 1 1 0 3 0 n A B x z n BC x y    = − =   = + = ， 取 1 3y = − ， (3, 3,3)n = − ， D 到面 A BC 的距离 | | 6 2 21 | | 721 A D n d n   = = = ，故 A 错误； 对于 B ，取CE 中点 F ，连接 DF ，由DE DC⊥ ， 1 1 7 3 4 2 2 2 FE FD FC CE= = = = + = ， 过 F 作直线 l ⊥面CDE ，则四面体 A CDE − 的外接球球心O在直线 l 上， 设OF t= ，外接球半径为 R ，由OD OA R=  = ， 得 2 2 7 7 (1 ) 4 4 t t+ = + − ，解得 1 2 t = ， 则 7 1 2 4 4 R = + = ， 第11页（共20页） 四面体 A CDE − 的外接球的表面积为 24 8S R = = ，故 B 正确； 对于C ， BC 与 A D 所成角的余弦值为 | | 3 3 | cos , | 2 2 4| || | A D BC BC A D A D BC     = = =  ，故C 正确； 对于D ，设面 ACD 的法向量为 2 2 2( , , )m x y z= ， 则 m A D m DC  ⊥   ⊥ ，则 2 2 2 3 0 2 0 m A D y z m DC x    = − =   = = ， 取 2 1y = ， (0,1, 3)m = ， | | 3 6 | cos , | 4| || | 4 2 m A B m A B m A B     = = =   ，故D 正确． 故选： BCD． 11．（6 分）已知函数 ( ) 2 ( )f x x ln kx= + − ，下列说法正确的是 ( ) A．当 1k = − 时， ( )f x 在区间 ( , 1)− − 内有唯一零点 B．当 0k  时， ( )f x 在点 (3， f （3） )处的切线斜率为 2 3 C．当 1k = 时，若 1 2 1 2( ) ( )( )f x f x x x=  ，则 1 2 2x x+  D．当 0k  时， 1x = 总是 ( )f x 的极值点 【答案】 ABC 【解答】解：对于 A ，当 1k = − 时， ( ) 2 ( )f x x ln x= + − − ， 1 ( ) 1f x x  = − ， 当 ( , 1)x − − ， ( ) 0f x  ， ( ) 2 ( )f x x ln x= + − − 单调递增， 且 ( 1) 1 2 1f − = − + = ， ( 2) 2 0f ln− = −  ，所以 ( )f x 在区间 ( , 1)− − 内有唯一零点， A 正确； 对于 B ，当 0k  ， 1 ( ) 1f x x  = − ，所以 1 2 (3) 1 3 3 f  = − = ， B 正确； 对于C ，当 1k = 时， ( ) 2f x x lnx= + − ， (0, )x + ， 则 1 ( ) 1f x x  = − ，所以当 (0,1)x ， ( ) 0f x  ，当 (1, )x + ， ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )+ 上单调递增， 所以若 1 2 1 2( ) ( )( )f x f x x x=  ，可设 1 20 1x x   ， 构造函数 ( ) ( ) (2 )g x f x f x= − − ， (0,1)x ， 则 ( ) 2 (2 ) 2g x x lnx ln x= − + − − ， 第12页（共20页） 1 1 2 ( ) 2 2 2 (2 ) g x x x x x  = − − = − − − ， 因为 (0,1)x ， 0x  ， 2 0x−  ， 所以 2 2 (2 ) ( ) 1 2 x x x x + − −  = ，当且仅当 1x = 时取等号，所以 (2 ) 1x x−  ， 所以 1 1 2 ( ) 2 2 0 2 (2 ) g x x x x x  = − − = −  − − ， 即 ( ) ( ) (2 )g x f x f x= − − ， (0,1)x 时单调递减， 所以 1( )g x g （1） 0= ，也即 1 1( ) (2 ) 0f x f x− −  ， 由 1 2( ) ( )f x f x= ，所以 2 1( ) (2 )f x f x − ， 又 2 1x  ， 12 1x−  ， ( )f x 在 (1, )+ 上单调递增， 所以 2 12x x − ，即 1 2 2x x+  ，故C 正确； 对于D ，当 0k  时， f （1）无意义，故D 错误． 故选： ABC ． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12．（5 分）若函数 ( ) 2sin( ) (0 5) 3 f x x m   = + +   满足 ( ) ( ) 2 3 3 f x f x   + + − = ，则 m + = 3 ． 【答案】3． 【解答】解：因为函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 2 3 3 f x f x   + + − = ， 故函数 ( )f x 关于 ( ,1) 3  对称， 所以 1m = ，且 sin( ) 0 3 3    + = ， 即 ( ) 3 3 k k Z    + =  ，则 3 1( )k k Z = −  ， 又 0 5  ，故当 1k = 时， 2 = ， 故 3m + = ． 故答案为：3． 13．（5 分）已知 2023 2 20230 1 2 2023(2 ) ( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x− = + − + − ++ − ，则 2023 1 1 i ia= = 1− ． 【答案】 1− ． 【解答】解：由题意可得 2023 2023 2 20230 1 2 2023(2 ) (1 1 ) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x− = + − = + − + − ++ − ， 第13页（共20页） 当 1x = 时， 0 1a = ；由通项公式可得 2023 1 2023 20231 (1 ) ( 1) ( 1) r r r r r r rT x x − + =   − =  −  − ， 故由组合数性质可得 2023i ia a −= − ， 0i = ，1，2， ，2023，  1 2022 1 1 0 a a + = ， 2 2021 1 1 0 a a + = ， ，  2023 1 2023 1 1 1 i ia a= = = − ． 故答案为： 1− ． 14．（5 分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线 的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日 (1746 1818)− 最先发现．若椭圆 2 2: 1 4 x C y+ = 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，P 为椭圆C 上一动点，过P 和 原点作直线 l 与椭圆C 的蒙日圆相交于M ， N ，则 1 2 | | | | | | | | PM PN PF PF  =  1 ． 【答案】1． 【解答】解：如图所示，由已知可得椭圆C 的蒙日圆方程为： 2 2 2 2 .x y a b+ = + 设 1| |PF m= ， 2| |PF n= ， 1POF  = ，则 2POF   = − ， 在 1POF 与 2POF 中 ， 分 别 利 用 余 弦 定 理 可 得 ： 2 2 2| | 2 | | cosm c OP c OP = + − ， 2 2 2| | 2 | | cos( )n c OP c OP  = + − − ， 相加可得： 2 2 2 22 2 | |m n c OP+ = + ， 又 2m n a+ = ， 2 2 22 4m n mn a + + = ， 可得 2 2 2 2 2 21 2| | | | 2 | | | |PF PF mn a c OP a b OP = = − − = + − ， 又 2 2 2 2 2| | | | (| | | |)(| | | |) | | | | | |PM PN OM OP OM OP OM OP a b OP = − + = − = + − ，  1 2 | | | | 1 | | | | PM PN PF PF  =  ． 故答案为：1． 第14页（共20页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知函数 2( )f x lnx ax= − ． （1）当 1a = 时，求 ( )f x 的图象在点 (1， f （1） )处的切线方程； （2）若 (0, )x  + ， ( ) 0f x  时，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） 0x y+ = ． （2） 1 ( , ) 2e + ． 【解答】解：（1）因为 2( )f x lnx x= − ，则其导函数为 1 ( ) 2f x x x  = − ， 所以 f （1） 21 1 1ln= − = − ， 所以 1 (1) 2 1 1 1 f  = −  = − ， 因此 ( )f x 的图象在点 (1， f （1） )处的切线方程为 1 ( 1)y x+ = − − ，所以 0x y+ = ． （2） 2( ) ( 0)f x lnx ax x= −  ，那么 21 1 2 ( ) 2 ax f x ax x x −  = − = ， 当 0a  时， 1 (0, ) 2 x a  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 1 (0, ) 2a 上单调递增； 1 ( , ) 2 x a  + ， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 1 ( , ) 2a + 上单调递减． 当 1 2 x a = 时， ( )f x 取得最大值，且为 1 1 1 ( ) ( ) (2 ) 2 2 2 maxf x f ln a a = = − − ． 由题意可得 ( ) 0maxf x  ，解得 1 2 a e  ． 当 0a 时， ( ) 0f x  ，即 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增． 当 1x = 时， f （1） 0a= −  ，与题意不符． 即实数 a的取值范围为 1 ( , ) 2e + ． 16．（15 分）受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这 三个市分别有 8%， 6% ， 4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为 4: 6 :10 ，现从 这三个市中任意选取一个人． 第15页（共20页） （1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率； （2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率． 【答案】（1）0.054； （2） 8 27 ． 【解答】解：（1）记事件 D ：选取的这个人感染了支原体肺炎病毒， 记事件 E ：此人来自甲市，记事件 F ：此人来自乙市，记事件G ：此人来自丙市， 则 E F G = ，且 E ， F ，G 彼此互斥， 由题意可得 4 ( ) 0.2 20 P E = = ， 6 ( ) 0.3 20 P F = = ， 10 ( ) 0.5 20 P G = = ， ( | ) 0.08P D E = ， ( | ) 0.06P D F = ， ( | ) 0.04P D G = ， 由全概率公式可得 P （D） P= （E） ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P D E P F P D F P G P D G +  +  0.2 0.08 0.3 0.06 0.5 0.04 0.054=  +  +  = ， 所以从三市中任取一人，这个人感染支原体肺炎病毒的概率为 0.054； （2）由条件概率公式可得 ( ) ( ) ( | ) 0.2 0.08 8 ( | ) ( ) ( ) 0.054 27 P DE P E P D E P E D P D P D  = = = = ， 所以当此人感染支原体肺炎病毒时，他来自甲市的概率为 8 27 ． 17．（15 分）设数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 1 3a = ．数列{ 3}nS + 为等比数列，且 1S ， 3S ， 4 12S S− 成等差 数列． （1）求数列{ }nS 的通项公式； （2）若 ( 1)n n n S N M a −  ，求 M N− 的最小值． 【答案】（1） 16 2 3nns −=  − ． （2）M N− 的最小值为 4． 【解答】解：（1）设数列{ 3}nS + 的公比为 ( 0)q q  ，由 1 3a = ，得 1 3 6S + = ， 所以 13 6 nnS q −+ =  ，即 16 3nnS q −=  − ， 由 1S ， 3S ， 4 12S S− 成等差数列， 所以 3 1 4 12 2S S S S= + − ， 第16页（共20页） 即 2 312 6 6 6q q − =  − ． 解得 2q = ，或 0q = （舍去）． 所以 16 2 3nnS −=  − ． （2）由 16 2 3nnS −=  − ，当 2n 时， 21 6 2 3 n nS − − =  − ， 两式相减得． 13 2nna −=  ，对 1n = 也成立， 所以 13 2nna −=  ， 设 1 1 1 ( 1) ( 1) (6 2 3) 1 ( 1) (2 ) 3 2 2 n n n nn n n n n S b a − − − −  −   − = = = −  −  ， 当 n为奇数时， 1 1 2 2 n n b − = − + 为递减数列，所以 2 1nb−  − ； 当 n为偶数时， 1 1 2 2 n n b − = − 为递增数列，所以 3 2 2 nb  ， 所以M N− 的最小值为 4． 18．（17 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，四边形 1 1BB C C 是正方形， 1 4AB AC AA= = = ，点 P 在线段 1 1B C 上． （1）若 1 60A AB = ， 90BAC = ，求点 1A 到平面 ABC 的距离； （2）已知 1 1A B AC⊥ ． ①证明：平面 1A BC ⊥平面 ABC ； ②若二面角 1A A B P− − 的正弦值为 7 7 ，求 AP ． 【答案】（1） 2 2 ；（2）①证明见解答；② 2 13 ． 【解答】解：（1）如图，取BC 的中点O，连接 AO ， 1A O ， 1A C ， 第17页（共20页） 因为 AB AC= ，O是 BC 中点，所以 AO BC⊥ ， 因为四边形 1 1BB C C 是正方形，所以 1BB BC⊥ ， 又 1 1/ /AA BB ，故 1BC AA⊥ ， 又 1AA AO A= ， 1AA ， AO 平面 1AAO ， 所以BC ⊥平面 1AAO ， 所以平面 1AA O ⊥平面 ABC ， 在面 1AAO 内，过点 1A 作 AO的垂线，垂足为H ，则 1A H ⊥平面 ABC ，即 1A H 为所求距离， 由 1 60A AB = ， 90BAC = ，可得 1 45A AO = ， 又 1 4A A = ，所以 1 2 2A H = ， 故点 1A 到平面 ABC 的距离为 2 2 ； （2）①证明：由（1）知， 1BC 平面 1AAO ， 因为 1A O 平面 1AAO ， 所以 AO BC⊥ ，因为 1 1A B AC⊥ ，O是 BC 中点， 所以 1 1 2 2 AO BC= = ， 2 3AO = ， 在△ 1AAO 中，因为 2 2 2 1 1A O AO AA+ = ，所以 1AO AO⊥ ， 又 AO BC O= ， AO， BC 平面 ABC ， 所以 1A O ⊥平面 ABC ，又 1A O 平面 1A BC ， 所以平面 1A BC ⊥平面 ABC ； ②由①知 AO⊥平面 ABC ， AO BC⊥ ， 第18页（共20页） 则以O为坐标原点，OA，OB ， 1OA 所在直线分别为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz− ， 连接 1A P ， BP ， 则 (0O ，0，0) ， (2 3,0,0)A ， (0B ，2，0) ， 1(0A ，0，2) ， 1( 2 3,2,2)B − ， 1( 2 3, 2,2)C − − ， 所以 ( 2 3,2,0)AB = − ， 1 (0, 2,2)BA = − ， 设 1 1 1(0 1)B P tB C t=   ，因为 1 1 1 1 1 ( 2 3,2 4 ,2)OP OB B P OB tB C t= + = + = − − ， 所以 ( 2 3,2 4 ,2)P t− − ，所以 1 ( 2 3,2 4 ,0)A P t= − − ， 设平面 1AA B 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z= ， 则 1 1 1 0 0 n AB n BA   =   = ，即 1 1 1 1 2 3 2 0 2 2 0 x y y z − + =  − + = ， 取 1 1x = ，则 1 3y = ， 1 3z = ， 则 1 (1, 3, 3)n = 为平面 1AA B 的一个法向量， 设平面 1A BP 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z= ， 则 2 1 2 1 0 0 n A P n BA   =   = ，即 2 2 2 2 2 3 (2 4 ) 0 2 2 0 x t y y z − + − =  − + = ， 取 2 1 2x t= − ，则 2 3y = ， 2 3z = ， 则 2 (1 2 , 3, 3)n t= − ， 因为二面角 1A A B P− − 的正弦值为 7 7 ， 所以其余弦值的绝对值为 42 7 ， 所以 1 21 2 2 1 2 | | | 7 2 | 42 | cos , | 7| || | 7 (1 2 ) 6 n n t n n n n t  −   = = =  − + ， 第19页（共20页） 化简得 220 4 7 0t t+ − = ， 解得 1 2 t = （舍负）， 所以 ( 2 3,0,2)P − ，又 (2 3,0,0)A ， 所以 48 4 2 13AP = + = ． 19．（17 分）已知抛物线 21 : 4y x = 的焦点为 F ，准线为 l ，双曲线 2 2 2 : 1 3 6 x y  − = 的左焦点为T ． （1）求 l 的方程和双曲线 2 的渐近线方程； （2）设Q为抛物线 1 和双曲线 2 的一个公共点，求证：直线QT 与抛物线 1 相切； （3）设 P 为 l 上的动点，且直线 PT 与双曲线 2 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，直线PF 与抛物线 1 交于不同的两点C ， D ，判断 1 3 | | | |AB CD + 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）准线 l 的方程为 1x = − ，双曲线的渐近线方程为 2y x=  ；（2）证明见解析；（3）是， 3 6 ． 【解答】解：（1）因为抛物线 21 : 4y x = ，双曲线 2 2 2 : 1 3 6 x y  − = ， 所以准线 l 的方程为 1x = − ， 双曲线的渐近线方程为 2y x=  ． （2）证明：联立方程组 2 2 2 2 6 4 x y y x  − =  = ， 消去 y 得： 2 2 3 0x x− − = ，解得 3x = （舍负）， 由对称性，不妨取 (3, 2 3)Q ， 第20页（共20页） 又由 ( 3,0)T − ， 求得直线QT 的方程为 3 3 0x y− + = ， 联立方程组 2 3 3 0 4 x y y x  − + =  = ， 消去 x ：得 2 4 3 12 0y y− + = ， 因为 2( 4 3) 48 0= − − = ，所以直线QT 与抛物线 1 相切． （3）因为 ( 3,0)T − ， (1,0)F ，得准线 l 为线段TF 的中垂线， 则直线 PT 与直线 PF 的倾斜角互补，即 PT PFk k= − ， 设 : ( 3)PTl y k x= + ， : ( 1)PFl y k x= − − ，由条件知0 | | 2k  ， 联立方程组 2 ( 1) 4 y k x y x = − −  = ， 消去 y ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = ， 则 2 2 4( 1) | | 2C D k CD x x k + = + + = ， 联立方程组 2 2 ( 3) 2 6 y k x x y = +  − = ，消去 y ； 得 2 2 2 2(2 ) 2 6 0k x k x k− − − − = ， 2 2 2 2 A B k x x k + = − ， 2 2 6 2 A B k x x k − −  = − ， 则 2 2 2 4 3( 1) | | 1 | | 2 A B k AB k x x k + = + − = − ， 所以 2 2 2 22 2 1 3 2 3 2( 1) 3 | | | | 4( 1) 64 3( 1) 4 3( 1) k k k AB CD kk k − + + = + = = ++ + ， 所以 1 3 | | | |AB CD + 为定值 3 6 ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未 经书面同意，不得复制发布 日期：2025/ 2/ 25 18: 41: 12；用户：汪晶；邮箱：17801198206；学号：44210345