精品解析：上海市莘庄中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷

莘庄中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 2. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 故答案为：. 3. 曲线在处的切线的斜率为__________． 【答案】##－0.5 【解析】 【分析】求出导函数后可得切线斜率． 【详解】由已知，时，， 故答案为：． 4. 已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由回归直线经过点即可计算. 【详解】由题中数据可知，因为回归直线一定经过点，所以. 故答案为：20. 5. 设实数，圆的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 6. 某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 7. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 8. 已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差求出、、…、的和后可求它们的均值. 【详解】因为、、…、的平均数为3，方差为520， 故， 故， 故、、…、的平均数为， 故答案为：. 9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题得,，根据组合数公式和基本不等式即可求解. 【详解】, =, 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值为， 故答案为：. 10. 设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为____________． 【答案】137 【解析】 【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可. 【详解】由题意知，集合中且至多只有一个元素不是5的倍数，其余均是5的倍数． 首先讨论三位数中的5的倍数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位为5时，则百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法原理，这样的5的倍数有个， 最后，再加上单独的不是5的倍数的数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：137． 11. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 12. 设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数的最小值. 【详解】由题设有， ， 故，， 故， 因为函数图像上任意一点处的切线为， 总存在函数图像上一点处的切线，使得， 故为的子集， 所以，解得，故实数的最小值是， 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可. 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件. 故选：B 14. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 15. 已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 【答案】B 【解析】 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 18. 某学生兴趣小组从一年365天中随机调查了100天中每天的空气质量等级和当天到莘庄公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）一年365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有多少天（精确到1天）； （2）估计一天中到莘庄公园锻炼的平均人次； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．判断是否有95%的把握认为一天中到莘庄公园锻炼的人次不超过400人与当天的空气质量有关？（） 【答案】（1）天 （2）天 （3）有把握，理由见解析 【解析】 【分析】（1）算出天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的天数后可求365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的天数； （2）写出各锻炼人次区间对应的频数，利用中间值作代表，利用公式求解即可； （3）先根据题目中给的数据补充列联表，利用公式求出，再与临界值比较即可. 【小问1详解】 由题设可得天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有天， 故天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有天. 【小问2详解】 锻炼人次为的有天， 锻炼人次为的有天， 锻炼人次为有天， 利用中间值作代表，一天中到该莘庄公园锻炼的平均人次的估计值为: . 【小问3详解】 根据所给数据，可得列联表： 人次≤400 人次＞400 合计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 合计 55 45 100 设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关， 根据列联表得， 因为，，由小概率事件原理否定， 故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （1）从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： （2）从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】（1），，不独立 （2）分布列见解析， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【小问1详解】 由题设可得，， 故. 因为，故不独立. 【小问2详解】 从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. 【小问3详解】 由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 21. 已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）举出实例即可； （2）令，时不合要求，，求导得到单调性，求出，故，即，令，求导得到其单调性，得到，故； （3）设，，与都存在最小值，且最小值相等，设在处取得最小值，在处取得最小值，故，即，结合在R上严格增，若，得到，要想恒成立，需满足且，由于的任意性，可知是偶函数，若，此时直线与重合，是偶函数满足要求，得到结论 【小问1详解】 当时，， ，对恒成立，故； 【小问2详解】 ，令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； 【小问3详解】 设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是__________． 2. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 3. 曲线在处的切线的斜率为__________． 4. 已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数__________. 5. 设实数，圆的面积为，则________． 6. 某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 7. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 8. 已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________. 10. 设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为____________． 11. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 12. 设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 15. 已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 18. 某学生兴趣小组从一年365天中随机调查了100天中每天的空气质量等级和当天到莘庄公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）一年365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有多少天（精确到1天）； （2）估计一天中到莘庄公园锻炼平均人次； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．判断是否有95%的把握认为一天中到莘庄公园锻炼的人次不超过400人与当天的空气质量有关？（） 19. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （1）从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： （2）从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 21. 已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $