精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

北郊中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 计算_____. 2. 已知向量，若，则___________． 3. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数___________． 4. 已知数列为正整数，则___________． 5. 已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 6. 已知角终边上一点，则___________． 7. 已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 8. 已知数列满足，且为正整数，则___________． 9. 已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 10. 已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 11. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 12. 已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）. 13. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 14. 观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（ ）. A. ； B. C. ； D. 15. 欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 16. 若无穷数列满足：，其中为正整数，则称为＂均值递减数列＂．有如下两个命题； （1）已知无穷数列的前项和为，若为＂均值递减数列＂，则； （2）若两个正项数列和均为＂均值递减数列＂，则数列也为＂均值递减数列＂．则下列选项中正确的是（ ）. A. （1）是真命题，（2）是真命题； B. （1）是真命题，（2）是假命题； C. （1）是假命题，（2）是真命题； D. （1）是假命题，（2）是假命题． 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）． 17. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 18. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 19. 已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期： （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围． 20. 设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． （1）已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； （2）已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； （3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北郊中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 计算_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【详解】由无穷等比数列的求和公式可得. 故答案为：. 2. 已知向量，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 3. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法结合纯虚数定义可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 4. 已知数列为正整数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用裂项相消法求和即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 5. 已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】由投影向量的定义有. 故答案为： 6. 已知角终边上一点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 7. 已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 8. 已知数列满足，且为正整数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得是以为首项，公比为3的等比数列，据此可得答案. 【详解】， 则是以为首项，公比为3的等比数列， 则. 故答案为： 9. 已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】首先根据计算出的范围,再由函数在上单调递增计算出的范围,把对称点代人,即可计算出,从而计算. 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 10. 已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【解析】 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 11. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 【答案】 【解析】 【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间. 【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为： 12. 已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积几何意义可得当C为G，F时，数量积最大，当C为D，E时，数量积最小，据此可得答案. 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）. 13. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14. 观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（ ）. A. ； B. C. ； D. 【答案】C 【解析】 【分析】由归纳推理结合题意可得答案. 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 15. 欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 16. 若无穷数列满足：，其中为正整数，则称为＂均值递减数列＂．有如下两个命题； （1）已知无穷数列的前项和为，若为＂均值递减数列＂，则； （2）若两个正项数列和均为＂均值递减数列＂，则数列也为＂均值递减数列＂．则下列选项中正确的是（ ）. A. （1）是真命题，（2）是真命题； B. （1）是真命题，（2）是假命题； C. （1）是假命题，（2）是真命题； D. （1）是假命题，（2）是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据为“均值递减数列”得化简可得答案； （2）设，求出，结合，得，求和由（1）的结论知，，可得答案； 【详解】（1）为“均值递减数列”，关于单调递减， 即关于单调递减，， ； （2） 设依题意，均为递减数列， 而， 相乘展开得， 由于，，则由补充不等式有， 下证： 计算顺序和与逆序和的差： 因为 且 ，所以 ，即： 所以 ， 求和得，由（1）的结论知，， 所以， 于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”； 故选：A. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）． 17. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式； （2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出． 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知，则， 所以． 18. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【小问1详解】 由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. 【小问2详解】 依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 19. 已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期： （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算、二倍角正余弦公式及辅助角公式得，进而求最小正周期； （2）由题设，结合已知及平方关系求； （3）由题设得、，再由已知及正弦定理得求目标式的范围. 【小问1详解】 由题设， 所以最小正周期； 【小问2详解】 由（1）及已知， 由，且，， 所以，可得， 所以，且，可得（负值舍）； 【小问3详解】 由题设，，可得， 所以，则， 由，可得， 所以， 由，可得，则， 所以，故. 20. 设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． （1）已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； （2）已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； （3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）具有 “性质”，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义列不等式求参数范围； （2）应用关系及等差数列的定义求通项公式，再结合定义判断结论； （3）由题设可得，讨论的范围，结合等比数列的前n项和公式把不等式组等价转化可得结果. 【小问1详解】 由题意得且，可得， 故，即的取值范围为. 【小问2详解】 由题设，有，则， 两式相减得，，则， 因为，所以，故， 由得， 所以是首项、公差均为1的等差数列，故， 所以，故具有“性质M”. 【小问3详解】 由数列是公比为的等比数列，得， 因为具有“性质M”，所以， ①当时，， 所以时，数列具有“性质M”，故满足题意． ②当时，，则． 因为数列具有“性质M”，所以对任意恒成立. 当时，等价于， 等价于对任意恒成立． 因为，所以， 所以， 因为二次函数在为增函数， 所以，故， 所以当时，数列具有“性质M”． 当时，等价于1）， 等价于，对任意恒成立， 所以， 由得，，解得，与矛盾. 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $