第二章 二次函数 单元检测卷-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（北师大版 江西专版）

直浮争年道年-D的图 第二章单元检测卷 4 1专域村间到女钟风拿，不◆ 需 得免 一，章预感通用本大服州着小理，餐小里1分，利 角) ,下列函轴餐成南前的■ k+/ 红- 化手m十1 4如到，二准属台y-一长的国争与（如 D5w+日-2 空学计一3：的：想再A下网龙以工前的品 上的物丝产一宁女一一1商国孩个标是 风性物低销对释轴为直线一 1-1. 其-含，- 红场的气的票有标利-宁·到 北2，-9 RI. 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(2)A(-1,4,B(4,-1),P(n,0), BQ∥AP,BQ=AP, ,四边形APQB是平行四边形， ,点A向左平移（一1一m)个单位长 度，向下平移4个单位长度得到 点P, “.点B(4,一1)向左平移（一1一n)个 单位长度，向下平移4个单位长度得 到点Q(5十n,一5) ”点Q在反比例函数y=一上的图 象上， 六-5一产解得w=一经检 验，m=一号是原分式方程的解。 p(-号o）Q(告，-5) 如图，连接AQ,交x轴于点C 设直线AQ的表达式为y='x十b 把A,Q两点的坐标代入y=k'x十b (一k'十6=4. +=- 解得-5. b=一1， .直线AQ的表达式为y=一5x一1 令y=0,则x=一方： c(-g0). 108 数学·9年级(BS版) Pc=-号-(-)=4， GF LCD. .四边形DGCF是正方形 SA=Se+Saoe=X4X (4+5)=18. .四边形APQB的面积为2×18 =36. 图① 图② (3)分两种情况讨论： ①由(2)，得当∠GBC=30时，四边形 GCFD是正方形，∴.四边形GCFD是 矩形： ②当∠GBC=120°时，以C,G,D,F 为顶点的四边形是矩形 证明：当∠GBC=120时，点E与点A 23.解：(1)证明：，四边形ABCD和四边 重合，如图②所示 形GBEF是平行四边形， BG=BC. .BG∥DE,DM∥BC,∠A+∠ABC =180°，∠G+∠GBE=180°， ·∠BGC=∠CG=ZX(180- .四边形BMDV是平行四边形. 120°)=30°， :∠ABC=∠GBE=60°， .∠GCD=120"-30°=90 ,∴.∠A=∠G=120 :四边形ABCD和四边形GBEF是 .AB-BE.BE-GD 平行四边形， ..AB-GD .AB∥CD,AB∥FG,AB=CD,AB 在△ABM和△GDM中， GF. |∠AMB=∠GMD. .FG∥CD.CD=GF ∠A=∠G. ∴.四边形DCGF是平行四边形， AB=GD. :∠GCD=90', .△ABM≌△GDM(AAS) .四边形DGF是矩形 .BM=DM. 综上所述，当∠GBC等于30°或120 ∴.四边形BMDN是菱形. 时，以C,G,D,F为顶点的四边形是 (2)当∠GBC=30时，四边形GCFD 矩形. 是正方形. 14第二章单元检测卷 证明：连接OB交CG于点K,在BK 1.B2.C3.A4.D 上取一点M,使得BM=GM,如图① 5.B【解析】如图所示，过抛物线L的 所示. 顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点 .∠GBC=30,BG=BC C,则四边形OCDA为矩形. ∠BGC=∠BcG=吉×180- 抛物线L1:y=ar十br十c(a≠0)与 30)=75 x轴只有一个交点A(1,0),与y轴交 .∠BGF=∠BCD=120°， 于点B(0.2), ∴.∠0GC=∠0CG=120-75=45, ,.0B=2,0A=1. 将抛物线L,向下平移2个单位长度 ..OG=OC.FGLCD 得到抛物线L:,则AD=OC=2. BG=BC. 根据平移的性质及抛物线的对称性得 在△BOG和△BC中，3BO=BO, 到阴影部分的面积之和等于矩形 1G0=C(), OCDA的面积， '.△BOG≌△BOC(SSS), ∴.∠OBG=∠OBC=15°，.GK 六S能降分=Sesccm=OA·AD=1X 2=2. =CK. BM=MG. ∴.∠MBG=∠MGB=15, ∴.∠GMK=15°+15°=30， '.∠MGK=∠BGC-∠BGM=75 -15°=60°， .∠MKG=90,.BO LCG. 设GK=x.则BM=MG=2GK=2x MK=3x. :D 在R:△BGK中，(23+2)=x2+ 6.C【解析】把A(一3,0)代人y=ax2十 (W/5x+2x), z一6，得0=9a一3-6， 解得x=E(负值已舍去)， 解得a=1, .GK=CK=√2， ∴y=r+x-6=(+）'-5 .0G=C=2. .AB=BE=CD=GF=4. 六抛物线的对称轴为直线工=一子 ∴.OG=OF=OD=(OC=2, .四边形DGCF是矩形， 顶点绝标为（一，一空），A,B选 项错误，不符合题意： 当a=1时，b=a十4=1+4=5， 令y=0,则0=x2+x-6, 此时点A的坐标为(1,5). 解得x1=一3，x1=2, 综上所述，点A的坐标为(-2,2)或 ,.AB=2-(-3)=5. (1,5). ,.A,B两点之间的距离为5，故C选 13.解：(1)抛物线的顶点为（一1，一3）， 项正确，符合题意： ,设其函数表达式为y■a(x十1) 由图象可知，当x<一之时，y的值随 -3. 将(0，一5)代入上式，得一5=a一3， x值的增大而减小，故D选项带误，不 .a=-2. 符合题总 故抛物线的函数表达式为y=一2(x 7.28.y= 一x2十1（答案不唯一） +1)2-3,即y=-2x2-4x-5. 9.m≤410.10 (2)证明：令y=0,则x2一kx十k一5 11.y=x2十2【解析】过点A作AD⊥x =0,.△=(-k2一4(k-5)=k一 轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点 4k十20=(k-2)2+16. E,连接AB,OC,如图 (k-2)≥0，.(k-2)1十16>0，即 4>0, 无论k取何实数，此二次函数的图 象与x轴都有两个交点， 14.解：由题意，得y=x十m, y=-2x-2. 消去，得x2十2x十m十2=0. 设A(m,m),B(,n). 若抛物线C与直线1设有公共点，则 ,四边形OACB是矩形，C(x,y), △=2一4(1十2)≤0， ,.AB=OC,AB=AO十BO=+ 解得m>一1， (m2)2十n2十(n2)2, ∴当m>一1时，抛物线C与直线l (十n=0十x: 没有公共点 .m2十n=0+y, 15.解：(1)把P(-2,3)代人y=x+ax m十m十m2十n=x十y. 十3，得3=4-2a十3， 消去m,,得，2+(r一) ∴a=2,.y=x2十2x+3=(x+1) 2 十2， =0, .该图象的顶点坐标为（一1,2）. .(x-y)(x2-y十2)=0， (2)如图所示，点Q的坐标为（一2， ∴y=x(不符合题意，舍去)y:= 3),当r=2时，y=2+2×2+3 x+2. 11,即点Q的坐标为(2,11)，顶点坐 故y关于x的函数表达式为y=x+ 标为（一1,2）. 2. :点Q(m,n)在该二次函数的图象 12.(一2,2)或(1,5)【解析】如图，过点 上，且点Q到y轴的距离小于2， A作AD⊥x轴，交x轴于点E,交直 m<2,即-2<m<2,由图象可 线y=x于点D,连接BD,交y轴于 知，当一2<m<2时，2≤m<11. 点F y个 11+*-0 (P ,A,B两点关于直线y=x对称， -2-102 ,△ABD是等腰直角三角形，四边 16.解：(1)一元二次方程x2十x一m 形OEDF是正方形 0有两个不相等的实数根， 设A(a,b), .△>0，即1十4m>0, ∴.B(b,d). AB=AD+BD, ∴.m>一4 .(42)=(b-a)1+(b-a)护， (2),二次函数y=x2十x-m图象 .(b-a)°=16， ,b一a=4或b一a=一4（不合题意， 的对称轴为直线工=一立： 舍去)， ,抛物线与x轴的两个交点关于直 .b=a+4. 又：A(a,b)在y=一x+6的图 线x=一子对称。 象上， 由图可知，抛物线与x轴的一个交点 ∴.b=-a2十6， 为(1,0)， 即a十4=-a十6， 另一个交点为（一2,0）， 整理，得a十a-2=0, .一元二次方程x十x一=0的解 解得a1=-2,a:=1. 为x1=1,x4=一2. 当a=-2时，b=a十4=-2+4=2， 17.解：(1)如图①，直线EF即为所求 此时点A的坐标为（一2,2）： (2)如图②，直线MV即为所求， 图①D 图2 18.解：(1)：抛物线C:y=a(x-3) +2. ,C的最高点坐标为(3,2)」 :点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x 3)2+2上， ∴1=a(6-3)+2,a=-g, 抛物线Gy=--3)+2 当x=0时，c=1. (2)嘉嘉在x轴上方1m的高度 上，且到点A的水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包， .两个临界点的坐标分别是(5,1)， (7,1). 当经过5,1)时，1=-言×25+日· 5+1中1，解得=号 当经过7，D时，1=-音×49+日 7十1+1， 解得=号号<<号 n为整数， 符合条件的n的整数值为4和5. 19.解：(1)把x=0代人抛物线y=ax+ x一2，得y=一2，点A的坐标为 (0,-2). ,抛物线的顶点为B(1,一3)， ,可设抛物线的表达式为y a(x-1)-3,再代入A(0,-2),得a =1,.抛物线的表达式为y=(x 1)2-3=x-2x-2. (2)设点A(0,一2)关于x轴的对称 点为A'(0,2),连接A'B交x轴于点 P,如图，则此时△PAB的周长最小. 设直线A'B的表达式为y=kx十b, 代入A'(0,2),B(1,-3),得 b=2, 直线A'B的表达式为y=一5z 十2， 对于y=一5r十2，当y=0时，x= 号“点P的坐标为（号0） 46 241 3-2 1243 -5H 20.解：(1)点A(0,2)在抛物线y=x +bx+c上，.c=2, 109 全一册·参考答案 :对称轴为直线=一2，“一合 -2,∴.b=4 .抛物线的表达式为y=x十4x十2 (2)由题意，得B,C两点关于直线x =一2对称，BC=6,点C的横坐 标为1，点B的横坐标为一5 又B,C两点在抛物线上，点B的 坐标为（一5,7），点C的坐标为(1， 7). 设直线CP与直线AB交于AB的中 点E,如图.直线CP将△ABC的 面积分成相等的两部分，·点E的坐 标为(-号)： 设直线CP的表达式为y=kx十n 将C1,7E(-吾·号)代入y= 十n: (k十n-7, 9解得 n-4. “直线CP的表达式为y=马叶兽 对于y=号十号，令y=0期 5 兰点P的坐标为(-兰0） 21.解：(1)①，b=4,c=3, .y=-x2+4x十3=-(x-2)2+7, ,顶点坐标为(2,7). ②，该二次函数图象的对称轴为直 线x=2,且x=2在一1≤x≤3中， .当x=2时，y有最大值7. .2-(-1)>3-2, ·当x=一1时：y有最小值，最小值 为一《一1一2)2+7=一2 .当-1≤x≤3时，一2≤y7 (2)当x≤0时，y的最大值为2：当 x>0时，y的最大值为3， 弛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴号>06>0. ,抛物线开口向下，当x≤0时，y的 最大值为2.c=2. 又4X(-1)·c-6 4×(-1) ▣3.b=士2 6>0..b=2, ·二次函数的表达式为y=一x十 2x十2. 22.解：(1)由图象可知，每月的销售量y 与每件的售价x之间为一次函数关 系，设其函数关系式为y=kx十b. 将(60,600)，(80,400)代入y=kx十b.得 8十m得合18 k=-10, ,每月的销售量y与每件的售价x 110 数学·9年级(BS版) 之间的函数关系式为y=一10x十 4.D【解析】：点B的坐标为(2,4)，月 1200. (2)由题意，得=(-一10x十1200)(x 在反比例函数y=冬的图象上， 50)=-10x2+1700x-60000= -10(x-85)￥+12250. 4=含=8 .-10<0, .当x≤85时，随x的增大而 一反比例函数的解析式为y=8 增大， 又：该防护品每件的利润不允许高 ”点E在反比例函数y=8的图 于进价的30%， 象上， .x≤30×(1十30%)，即x≤65， .当x=65时，取得最大值，最大 ÷可设(a,） 值为-10×(65-85)2+12250= 8250. ÷AD=a-2=ED=8 故每件的售价定为65元可获得最大 .a1=1,a1=一2. 利润，最大利润为8250元， a>0,a=4, 23.解：(1)①3②=t+2 .E(4,2),.D(4.0) (2)由题图②可知，当点P运动到点 5.A【解析】如图，令直角顶点为O B时，S=6. 将5=6代入S=十2，得6=十2， “aw=品子 解得t=2,=一2（不符合题 .可设A0=4r,则B0=3x 意，鲁去. 由勾股定理，得AB=5x,∴.A'B'=5x 在点P由点B运动到点A的过程 在Rt△AOB中，A'B=A'O+ 中，设S关于t的函数表达式为S=a(: B'O,.(5x)=(4x-1)2十(3x十 -4)2+2. 1). 将(2,6)代人，得6=a(2-4)十2，解 解得x=1,∴A0=3,BO=4,A'B'= 得a=1. B'O4 故S关于t的函数表达式为S=(t 50-B= 4)2+2. 由题图②可知，当点P运动到点A 时，S=18. 由18=(t-4)1十2，得t=8,t=0 (不符合题意，舍去)， .AB=(8-2)×1=6. B (3)①4 ②如图，函数S=十2的图象向右平 6.B【解析】如图，过点A作AH⊥x轴 移4个单位与函数S=(:一4)十2的 于点H 图象重合. ,四边形OABC是正方形， :当=女和t=t时，S的值相等， .∠A0B=45°， t1-11=4. ∴.∠AOH=45°， 又t=41,.4一4=4，得 ..AH-OH. 设A(m,m),则B(0,2m) 此时正方形DPEF的面积S :(m=an+e“am=-1,m=专 2m=c, (告)广+2-琴 六am=a乞=-lac-2. 故ac的值为一2. 7.18.9.5 9.10.y=(x-1)+1 1.号【解析：四边形ABCD是平行 【解析】3)①由(1)(2)可知 s-什2 四边形， ..AB=CD. 补全0≤<2内的图象如图. 能号 根据图象可知，0≤1≤2内的图象与2 ∴.设AE=2a,则BE=3a, <t≤4内的图象关于直线x=2 ∴.AB=CD=5a 对称， ,AB∥CD, .t1十t=2×2=4. .易证△AEFc∽△CDF, 15期中检测卷 1.D2.B3.C 小“器-