周周清五 根的判别式及根与系数的关系-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（北师大版 江西专版）

周周清五 根的判别式及根与系数的关系 (建议用时：60分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 二、填空题（每小题5分，共30分） 1.一元二次方程x2一2x=0的根的判别式的 7.已知方程□x2十4x十1=0，在☐中添加一个 值为 合适的整数，使该方程有两个不相等的实数 A.0 B.2 C.4 D.8 根，那么添加的整数可以是 2.若关于x的一元二次方程kx2一6x十9=0 8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2一 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 2x一4=0的两个实数根，则+互 A.k<1 B.k<1且k≠0 C.k≠1 D.k>1 9.已知x1,x2是方程x2一x一2024=0的两个 3.若关于x的一元二次方程3x-x(x+a)=1 实数根，则代数式x一2024x1十x的值是 有两个相等的实数根，则实数a的值为 ( A.-1 B.5或-1 10.若一元二次方程x2一2x一a=0无实数根， C.1 D.5或1 则直线y=(a十1)x+a一1一定不经过的 4.已知一元二次方程x2一6.x一3=0的两个根 象限是 分别为a9,则。+言的值的相反数为 11.已知实数a,b满足√a一2+b+3引=0.若关 于x的一元二次方程x2一a.x十b=0的两个 ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 实数根分别为，，则上十1 5.关于x的方程(x一1)(x+2)一p2=0(p为 常数)的根的情况，下列说法正确的是 12.已知一元二次方程x2十x-1=0的两个根分 A.两个正根 B.两个负根 别为么g,则代数式3球-？十号的值为 C.一个正根，一个负根 D.无实数根 三、解答题（第13小题8分，第14小题10分， 6.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2 第15,16小题各11分，共40分) (2k+3)x+=0的两根，且上+1=1，则 T? 13.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2一4x k的值为 +3=0. A.-1 B.3 (1)若x=1是该方程的一个根，求k的值 C.-1或3 D.1 及另一个根； 全一册·周吉清 49 (2)若该方程有两个实数根，求k的取值 15.已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x 范围. +1-m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m<0,且该方程的两个实数根的差 为3，求m的值. 14.已知关于x的一元二次方程(x一1)(x一 2k)+k(k-1)=0. (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等 16.若三个非零实数x,y,之满足只要其中一个 的实数根： 数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则 (2)若该方程的两个根x1,x2是一个矩形 称这三个实数x,y,之构成“和谐三数组”. 的一边长和对角线的长，且矩形的另一边 (1)请你写出一组构成“和谐三数组”的实 长为3，试求k的值. 数： (2)若x,x是关于x的一元二次方程ax 十b.x+c=0(a,b,c均不为0)的两根，x3是关 于x的方程bx十c=0的根，求证：，x,x 可以构成“和谐三数组” 50 数学·9年级(BS版)BF=BE. .AE=BE-BF=AF. 或 2 .四边形AFBE是菱形 又，AF⊥AE. 7.(-）}'=8-59.1或- 2 ,四边形AFBE是正方形 10.-1 12.解：(1)证明：如图，作EP⊥CD于点 11.x1=一2，=3【解析】由题意，得 P,EQ⊥BC于点Q. (x十2)(x十2一5)=0， ∴.x+2=0或x+2一5=0， ∴x1=-2,x=3。 12.6【解析】，O为AB的中点，B为 AC的中点， .OA=OB.AB=BC. B O F ,四边形ABCD为正方形， ,点B表示的数为x,点C对应的数 ∴.∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA, 是x-3x ∴，EP=EQ .OB=.AB=BC=2r.OC= 易证四边形EQCP也为正方形 .可得方程x2一3x=3x,解得x1=0 .∠QEF+∠FEP=90 .DEEF,.∠DEF=9o° (舍去)，1=6. .∠PED+∠FEP=90°， 13.解：(1)移项，得2-2r=99,配方，得 ,∠QEF=∠PED. x2x十1=100，.(x-1)2=100, 在△EQF和△EPD中 x-1=土10， ∠QEF=∠PED, .x1=11,xg=9. EQ=EP. (2)两边同除以4，得(x一7)-空， ∠EQF=∠EPD. ·△EQF≌△EPD(ASA). .EF-ED. .矩形DEFG为正方形 =19 (2)在Rt△ABC中，AC= (3)△=(-4)2-4×2×1=8，.x √AB+BC=22. CE=2,∴AE=CE =二（-4)±8 2×2 此时DEL⊥AC, 点F与点C重合， =2+2 22 2 .CG=FG=CE=√2 (4)原方程可化为x(x一5)一(r一5】 (3)分以下两种情况进行讨论： =0,.(x-5)(x-1)=0 ①当DE与AD的爽角为30°时 r1=5,=1. ∠EFC=180°-∠PEF=180°-(90 14.解：任务一：小明同学的解法错误：小 -∠DEP)=90°+∠ADE=120°： 华同学的解法正确。 ②同理，当DE与DC的夹角为30 任务二：当一3=0时，方程的两边 时，∠EFC=30° 不能同时除以(x一3). 综上所述，∠EFC=120或30° 任务三：(r-5)3一4(x-5)2=0, 周周清四解一元二次方程 提公因式，得(.x-5)2(x一5-4)=0， 1.D2.D3.C ,x-5=0或x-5-4=0, 4.B【解析】，一元二次方程a(x十m) 解得T1=5,1=9. +n=0(a≠0)的两根分别为-3.1， 15.解：由题可得x2-4xy+4y+y+2y .在方程a(.x十m一2)十n=0(a≠0) +1=0, 中，x-2=-3或x-2=1, 即(x-2y)2+(y+1)=0. 解得1=一1，：=3， (x-2y)≥0，(y+1)≥0. 即方程a(x十m-2)+n=0(a≠0)的 .(x-2y)2=0,(y+1)2=0, 两根分别为一1,3. x-2y=0,y+1=0, 5.D【解析】由题意可知，4+a一1=0， ,.x=-2,y=一1， 即2+a=1, 16.解：(1)分解因式，得(x十1)(x十7) .原式=a3十a十a+2023 =0, =a(a3+a)+a2+2023 .x十1=0或x十7=0， =1+2023 解得x1=一1，T1=一7. =2024. (2)分解因式，得(x一4)(x一7)=0， 6.D【解析】，x2-7x+12=0, .x-4=0或x-7=0, .(x-3)(x一4)=0， 解得=4，r=7. x1=3,x1=4. 周周清五根的判别式 有以下两种情况： 及根与系数的关系 ①当长是4的边是直角边时，该直角 1.C2.B3.D4.D5.C 三角形的面积是号×3×4=6： 6.B【解析】根据题意，得△=(2k+3) ②当长是4的边是斜边时.第三边是 一4妆>≥0，解得>一子根据根与系 √④一3=√F,该直角三角形的面积 数的关系，得x1十x=2k十3，x1x= 是号×3X厅-3 2 k.1+1=1,十= Tg 综上所述，该直角三角形的面积是6 .2k+3=k,整理，得k一2k一3=0， 124 数学，9年级(BS版) 解得=-1，=3.又“>-是 .k的值为3. 7.2(答案不唯一)8.一3 9.4049【解析】nx是方程x2一x 一2024=0的两个实数根， .+=1,xn=-2024,-x 一2024=0，即x-2024=x1, .原式=x(x一2024)十x=x十 =(x1+2)2-2x12 =1+4048=4049. 10.第一象限【解析】，一元二次方程 x2一2x一a=0无实数根， ∴.4十4u<0,解得a<一1， .u+1<0,a-1<0, ,.直线y=(4十1)r+a一1一定不经 过第一象限， 11.-3 2 【解析】实数a,b满足 va-2+1b+31=0. .d=2,b=-3. ,关于x的一元二次方程x一ax十 b=0的两个实数根分别为x1,x, r十=a=2,.r1r=b=-3, 公1+1=十三-号 无1 10t 12.8【解析】由题意可知，p2十p一1= 0,且p≠0，p十g=-1,p=1-p, 1=+,方=p+1.代数式30 4+名=31一p)9+22十创 =3-3p-9+2+2=5-g-3p+ 2(p+1)=7-p-g=7-(-1)=8. 13.解：(1)将x=1代入一元二次方程( 一1)x2-4x+3=0,得(k-1)-4+3 =0,解得=2 当k=2时，原方程为r2一4r十3=0， .(x-1)(x-3)=0. 解得1=1.x2=3, .方程的另一个根为x=3. (2)·一元二次方程(k一1)x2一4x十 3=0有两个实数根， .k-1≠0，且△=16-4×3(k一1)≥ 0,解得k长子且k≠1.故k的取值范 留是<号且L 14.解：(1)证明：(x一1)(x一2k)十k(k一 1=0, 整理.得x2-(2泰十1)x十+k=0. .4=(2k+1)2-4×1×(k2+k)=1 >0. .该一元二次方程总有两个不相等 的实数根. (2)由(1)，得x=2+1±L 2 x1=k,=k十1. k+1>k, k十1为矩形对角线的长 .k+32=(k十1)， 解得k=4. 15.解：(1)证明：△=(2一m)￥一4×1× (1一m)=m≥0， .该方程总有两个实数根. (2)设方程的较大的实数根为x,较 小的实数根为r.依题意，得x:一x =3,x1十x4=m-2,=1一m, (1一x)=3,即-2x十 =9, x+d=9+2x1x:=9+2(1-m) =11一2m. (+z)2=(m-2)2. ∴.x+2.xxg十=m-4m+4, ,∴.11一2m十2(1一m)=m2一4m十4， 整理，得m2=9, 解得m1=3,m=一3. ,1<0, ,.m=一3. 16.解：(D号，2,3（答案不唯一） (2)证明：，x1,2是关于x的一元二 次方程d.x十r+c=0(a,b,c均不为 0)的两根， 十=-6 西=C 、6 1+1=+五==-b ,x1是关于x的方程h.x十c=0 的根， =-云 “1+1=1 ·,若可以构成“和谐三数组” 周周清六一元二次方程的应用 1.B2.B3.B4.A 5.C【解析】设截去的小正方形的边长 为xcm.依题意，得(28一2x)(20一2r) =180,解得x1=5,:=19(舍去)， .截去的小正方形的边长为5cm 6.1000(1+x)°=14407.24 8.x(x-16)=2259.1 10.4【解析】如图，连接CD.设AE= x m. ,坡角∠A=30°，∠B=90°，BC 6m .AC=12m..EC=(12-x)m :正方形DEFH的边长为2m, ∴.DE=2m. .在Rt△DEC中，DC=DE十EC =4+(12-x). 又DC-2AE+BC=2.x2+36, .4+(12一x)=2x2十36，解得x1 4,=一28（舍去）.故当AE=4m 时，有D°=2AE+BC, 11.解：设BC=xm,则CD=(180 2r)m. 由题意，得x(180一2x)=4000, 整理，得x2一90x十2000=0， 解得1=40,2=50>40（不符合圈 意，舍去》. 当x=40时，180-2x=180-2×40 =100<120(符合题意)， ∴.BC=40m,CD=100m. 12,解：该可疑船只不会被巡逻船铺捉 到，理由如下： 如图所示。 A北 2种“抽到作业和手机的概率为易 A 存矿 设可疑船只从A处继续行驶1h被巡 13.解：0号 逻船捕捉到，则可疑船只行驶的距离 (2)列表如下： AA'为20！km,巡逻船行驶的距离 BB为301km,则AB=(200- 小静 -1 1 2 30t)km. 小文 ,可疑船只最初被巡逻船捕提到时， =1 (-1,-1(-1,1)(-1,2》 A'B'=100km, 1,-1) (1,1) (1.2) .由勾股定理，得(20t)十(200 (2.-1) (2.1) 《2.2) 301)1=1002, 整理，得132一1201+300=0. 由表可知，共有9种等可能的结果 :4=(-120)2-4×13×300= 其中两人得到的数相同的结果有3 -1200<0, 种，∴P(两人“英银所见略同”)=3 方程无解， ,巡逻船不能铺捉到可疑船只， 13.解：(1)设每次降价的百分率为x. 14.解：(1)60300 依题意，得400(1一x)=324, (2)补全统计图如图， 解得x1=0.1=10%,x=1.9(不符 人数中 合题意，舍去). 24 故每次降价的百分率为10%. 21 18 (2)设每件村衣的售价应定为y元 则每星期可售出[20十2(400 8529 )]件. 依题意，得(y一250)[20十2(400一 y)]=11000, D 整理，得y2一660y十108000=0， 解得y1=300.y=360. 10%, ·要让顾客得到更大的实惠， D 359% 。，=300. 25% B 故应把每件衬衣的售价定为300元 30% 周周清七求概率的常用方法 (3)画树状图如图 1.B2.B3.D4.A 开始 5.C【解析】根据题意画树状图如图， 开站 甲 乙ABCDABCDA BCDA BCD 由树状图可知，共有16种等可能的 D 结果，其中两人恰好选中同一类兴趣 丙1)1M 班的结果有4种，.两人恰好选择同 共有8种等可能的结果，其中3个小 球上恰好有1个元音字母的结果有 一类兴墨班的概率为。= 4种， 【解析】(2)A类兴趣班的人数为60× 3个小球上恰好有1个元音字母的 35%=21. 概率是= C类兴趣班的人数占被调查总人数 6.B【解析】根据题意画树状图如图. 的百分比为品×100%=25%， 开始 D类兴趣班的人数占被调查总人数 转盘1 的百分比为品×100%=10%. 转盘234893489348934893489 周周清八概率与其他知识的综合 共有20种等可能的结果，其中指针都 1.A2.C3.B 落在奇数上的结果有6种， 4.B【解析】根据题意画树状图如图 ÷指针都落在奇数上的概率是品一品 3 开站 7. 8 9.10.61. -21 2 【解析】把作业、睡眼、手机、读 由树状图可知，共有6种等可能的结 物、体质分别记为A,B,C,D,E,画树 果，当x=一2.y=1或x=1,y=一2 状图如图 时，点(x,y)在直线y=一x一1上，即 开始 点(x,y)在直线y=一一1上的结果 有2种，则点(x…y)在直线y=一x一1 BCDEACDEABDEABCEABCD 上的概率为号- 由树状图可知，共有20种等可能的 5号67号 2 结果，其中抽到作业和手机的结果有 125 全一册·参考答案