周周清三 正方形的性质与判定-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（北师大版 江西专版）

周周清三 正 （建议用时：60分钟 一、选择题（每小题7分，共35分】 1.在复习“特殊平行四边形”时，某小组同学画 出的关系图如图所示.组内一名同学在箭头 处填写了它们之间转换的条件，其中填写错 误的是 ①矩形③ 平行 四边形 正方形 ②菱形④ 第1题图 A.①对角相等 B.③有一组邻边相等 C.②对角线互相垂直 D.④有一个角是直角 2.如图，在正方形ABCD中，AE平 分∠BAC交BC于点E,F是边 AB上一点，连接DF.若BE= AF,则∠CDF的度数为( )第2题图 A.45° B.60° C.67.5°D.77.5 3.如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(2,0).将正方形OABC绕点O顺 时针旋转45°，得到正方形OA'B'C,则点C 的坐标为 A.(2,√2) B.(-√2，√2) C.(2,-√2) D.(22,22) 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB 为边向下作正方形ADEB,连接CD,CE.分 别记△ACD,△BCE的面积为S1,S2,用含 S,S:的代数式表示边AB的长为() 方形的性质与判定 满分：100分) A.√S,+S2 B.√/2S1+2S C.S+√S D.√2Si+√2S 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为对角 线AC上与点A,C不重合的一个动点，过点 E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连 接DE.FG.有下列结论：①DE=FG;②DE ⊥FG:③∠BFG=∠ADE:④FG的最小值 为3.其中正确的个数为 ( A.1B.2 C.3 D.4 图①D 因② 第5题图 第6题图 二、填空题（每小题7分，共35分） 6.小明用四根长均为10cm的木条制作了能 够活动的学具，他先将活动学具变为图①所 示的形状，并测得∠B=60°，接着将活动学 具变为图②所示的形状，测得∠B'=90°，连 接1CAC,则C的值为 7.如图，E是正方形ABCD内的一点，将 △ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到 △CBF.若∠ABE=55°，则∠EGC的度数是 第7题图 第8题图 8.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， BE=1,AE=4BE,P是AC上的一个动点，则 PB+PE的最小值是 全一册·周周清 145 9.如图，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延 长到原来的两倍得到正方D 形AB,CD；把正方形 A,B,CD1的各边长按原法 第9题图 延长到原来的两倍得到正方形A2B,C2D2: …以此类推，则正方形ABCD,的面积 为 10.已知正方形ABCD的边长为4，点E在边 BC的延长线上，点F在DC的延长线上， 且∠EAF=45°.当△AEF是直角三角形 时，CE的长为 三、解答题（第11小题12分，第12小题18分， 共30分) 11.如右图，在正方形ABCD 中，动点E在AC上，AF⊥ AC,AF=AE,连接BF, BE.DE. (1)BF与DE有怎样的数量关系？请证明 你的结论； (2)在其他条件都保持不变的情况下，当点 E运动到AC的中点时，四边形AFBE是 什么特殊四边形？请证明你的结论 46 数学·9年级(BS版) 12.如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线 AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 垂足为E,交射线BC于点F,以DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG为正方形； (2)若AB=2,CE=√2，求CG的长度； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边 的夹角是30时，求∠EFC的度数， 务用图∴.∠DEA=2∠AEB ..AD=AB=BE,+h:=AB. (2),∠B=90°. .∠AEB=90°-∠BAE=25" S=ADh,S=BE·, 由(1)可得∠DGF=∠DEA 2∠AEB=50 S+S=ADA十BE: 在R△ADF中，G是AF的中点， .GF-GD. ABh,+h:)=号AB ∠GDF=∠GFD=180°-50 .AB=/2(S+S)=/2S+2S:. 5.C【解析】连接BE,交FG于点O =65. 如图 12.解：(1)证明：PQ⊥CP, ∴.∠CPQ=90, ∴.∠APQ+∠BPC=90 :∠BPC=∠AQP, ∴.∠APQ+∠AQP=90°， ∴.∠A=180°-∠APQ -∠AQP =90° 又四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD为正方形， .口ABCD是矩形. .∠ABC=90 (2):四边形ABCD是矩形. ,EFLAB,EG⊥BC, ,.∠D=∠CPQ=90°， .∠EFB=∠EGB=90° 在Rt△CDQ和R:△CPQ中， .四边形EFBG为矩形， CQ=CQ. ∴.FG=BE,OB=OF=OE=OG CD=CP, ,四边形ABCD为正方形， ,.R△CDQ≌R△CPQ(HL), AB=AD,∠BAC=∠DAC=45 ..DQ=PQ. 在△ABE和△ADE中， 设AQ=x,则PQ=DQ=AD-AQ= (AE-AE. 6-x, ∠BAE=∠DAE. 在R△APQ中，AQ+AP:=PQ, AB=AD. 十2=6-，解得=景 .△ABE≌△ADE(SAS). ..BE=DE. 枚AQ的长是 .DE=FG. 故结论①正确： 13.解：(1)证明：DE⊥BC 延长DE,交FG于点M,交FB于点 ,.∠DEC=∠FEC=90 H,如图. 在△DEC和△FEC中， △ABE≌△ADE DE=FE. ∴.∠ABE=∠ADE. ∠DEC=∠FEC. 由①可知，OF=OB CE=CE. ∴·∠OFB=∠ABE ∴.△DEC≌△FEC(SAS), .∠DCE=∠FCE,CD=CF 29B-品ADE AB=CD. .∠ADE+∠AHD=90°， .CF=AB. ·∠OFB+∠AHD=90, :∠ABC=∠BCD,∠DCE= .∠FMH=90. ∠FCE, .DE⊥FG .∠ABC=∠FCE,.AB∥CF, 故结论②正确： ∴四边形ABFC是平行四边形。 由②可知，∠OFB=∠ADE AB=6,BC=10,AC=8, ·∠BFG=∠ADE ∴.AB+AC=BC, 故结论③正确： .∠BAC=90', E为AC边上一动点， .口ABFC是矩形. .根据垂线段最短可知，当DE⊥AC (2)四边形ABFC是矩形. 时，DE最小 SAIC=SAC ,AD=CD=4,∠ADC=90° ∴.BC·EF=AB·AC=48, ..AC=VAD+CD=42. .DE=EF=4.8. 周周清三正方形的性质与判定 ∴DE=号AC=2E. 1.A2.C3.A 由①可知，FG=DE, 4.B【解析】如图，过点C分别作DA .FG的最小值为2√2 EB延长线的垂线，垂足分别为F,G, 故结论④错误. 设CF=h1,CG=h: 综上所述，正确的结论为①②③，有 h-aG 3个， 6.V27.80°8./41 9.625【解析】最初的正方形ABCD的 边长为1，面积为1：延长一次后正方 形AB,CD,的边长为5，面积为5 =5:再延长后正方形AB2C:D,的边 长为5，面积为5=25，下一次延长后 :四边形ADEB为正方形， 边长为5/5，面积为5=125.以此类 推，延长四次后正方形A:B,C,D,的 面积为5=625. 10.8或4【解析】当△AEF是直角三角 形时，可分以下两种情况进行讨论： ①当∠AFE=90°时，∠AFD十 ∠CFE=90°.如图①. :四边形ABCD为正方形， ·∠BAD=∠D=∠B=∠BCD =90°， ∴.∠ECF=90°， ∴.在Rt△CEF中，∠CEF+∠CFE =180°-∠ECF=90, .∠AFD=∠CEE ∠AFE=90°，∠EAF=45, ∴∠AEF=∠EAF=45°， .AF=EF. 在△ADE和△FCE中 ∠D=∠ECF, ∠AFD=∠FEC AF=FE. .△ADE≌△FCE(AAS), .FC=AD=4,.CE=DF=CD十 FC=8, ∴，CE=8: 图① 用2 ②当∠AEF=90°时，∠AEB十 ∠CEF=90°，如图②. :四边形ABCD是正方形，点F在 DC的延长线上， ∠B=∠BCD=∠ECF=90°， .∠CFE+∠CEF=180°-∠ECF 90..∠AEB=∠CFE. .∠AEF=90°，∠EAF=45*, .∠EAF=∠EFA=45°， .AE=FE. 在△ABE和△ECF中， I∠AEB=∠EFC, ∠B=∠FCE, AE=EF, .△ABE≌△ECF(AAS). ..AB=EC=4. 综上，CE的长为8或4. 11.解：(1)BF=DE. 证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠DAC=∠BAC=45 AF⊥AC, ∴∠BAF=∠BAC=∠DAC=45. 在△AFB和△AED中， (AB=AD, ∠BAF=∠DAE=45', AF-AE. .△AFB≌△AED(SAS) :.BF-DE. (2)四边形AFBE是正方形。 证明：四边形ABCD是正方形，E 是AC的中点， ..AE-BE. 在△ABF和△ABE中， (AF-AE. ∠FAB=∠EAB=45', AB=AB. △ABF≌△ABE(SAS), 123 全一册·参考答案 .BF=BE ..AE-BE=BF=AF .四边形AFBE是菱形 又，AF⊥AE, ,四边形AFBE是正方形 12.解：(1)证明：如图，作EP⊥CD于点 P,EQ⊥BC于点Q. B OF ,四边形ABCD为正方形， ∠BCD=90,∠DCA=∠BCA, ∴EP=EQ 易证四边形EQCP也为正方形， ∠QEF+∠FEP=90. DE⊥EF,∠DEF=90°， ∴，∠PED+∠FEP=90, .∠QEF=∠PED 在△EQF和△EPD中， I∠QEF=∠PED, EQ=EP. ∠EQF=∠EPD, .△EQF≌△EPD(ASA). ..EF=ED. ,矩形DEFG为正方形 (2)在Rt△ABC中，AC= /AB+BC=2/2. CE=√E,∴AE=CE 此时DELAC. 点F与点C重合， CG=FG=CE=√E (3)分以下两种情祝进行讨论： ①当DE与AD的夹角为30°时 ∠EFC=180°-∠PEF=180°-(90 -∠DEP)=90°+∠ADE=120: ②同理，当DE与DC的夹角为30 时，∠EFC=30 综上所述，∠EFC=120°或30 周周清四解一元二次方程 1.D2.D3.C 4.B【解析】，一元二次方程a(x十m) 十n=0(a≠0)的两根分别为一3,1， .在方程a(x十m一2)2十n=0(a≠0) 中，x-2=-3或x-2=1, 解得1=一1，x=3, 即方程a(xr十m-2)2十n=0(a≠0)的 两根分别为一1,3. 5.D【解析】由题意可知，a十a一1=0， 即a十a=1, .原式=a3+a2十a2+2023 =a(a2+a)+a2+2023 =1+2023 =2024. 6.D【解析】x2-7x十12=0， .(x-3)(x-4)=0, ∴.x1=3,r1=4. 有以下两种情况： ①当长是4的边是直角边时，该直角 三角形的面积是号×3×4=6： ②当长是4的边是斜边时，第三边是 √一3=√7，该直角三角形的面积 是之×3x万=32 综上所述，该直角三角形的面积是6 124 数学·9年级(BS版) 2 解得红二二1=又：>-子， 7(x-)广-号8.-59.1或-号 ∴.k的值为3. 7.2(答案不唯一)8.一3 10.-1 9.4049【解析】：工，：是方程x一工 11,=一2，x:=3【解析】由题意，得 一2024=0的两个实数根， (x十2)(x十2-5)=0， .x1十x1=1,x1x:=-2024,xf-x ∴.x十2=0或x十2-5=0， -2024=0,即x-2024=x, .x1=一2，x1=3 .原式=x1(x一2024)十x号=x十 12.6【解析】O为AB的中点，B为 =(x1+x)2-21 AC的中点， =1十4048=4049. ..OA=OB.AB=BC. 10.第一象限【解析】，一元二次方程 :点B表示的数为x,点C对应的数 x2一2x一a=0无实数根， 是x2-3r+ .4十4a<0,解得a<-1, .OB=:AB=BC=2x.C= ∴.a+1<0,a-1<0. .直线y=(a十1)x十a-1一定不经 .可得方程一3x=3x,解得x1=0 过第一象限， (舍去)，x:=6 13,解：(1)移项，得x-2x=99,配方，得 1.-号 【解析】：实数a,b满足 x2-2x+1=100,.(x-1)=100 √a-2+1b+3|=0, x-1=±10， .a=2,b=-3. x1=11,x1=-9 ,关于x的一元二次方程x一ax十 (2)两边同除以4，得(x-7)y学=空 b=0的两个实数根分别为+x:, x1十x=a=2,r1x1=b=-3, 7=±含 “+-=- =19 =号 12.8【解析】由题意可知，力十p一1 0,且p≠0，p十g=-1,.p2=1-p, (3)△=(-4)3-4×2×1=8，.x =一(-4)士8 1=p+p, =p十1，.代数式3p p 2×2 1=2十 2 ,w=22 9+2=31)一g+十)1 2 =3-3p-9+2+2=5-g-3p+ (4)原方程可化为x(x一5)一(x一5) =0,.(x-5)(x-1)=0, 2(p+1)-7-p-9-7-(-1)-8. .x1=5,=1. 13.解：(1)将x=1代人一元二次方程( 14.解：任务一：小明同学的解法错误：小 -1）x2-4x十3=0，得(k-1)-4+3 华同学的解法正确。 =0,解得k=2. 任务二：当x一3=0时，方程的两边 当k=2时，原方程为x2一4x十3=0， 不能同时除以(x一3)， .(x一1)(x-3)=0, 任务三：(x-5)-4(x-5)=0, 解得x1=1,x=3, 提公因式，得(x一5)2(x一5一4)=0， .方程的另一个根为x=3. .x5=0或x-5-4=0, (2),一元二次方程(k一1)x一4x十 解得1=5，x2=9. 3=0有两个实数根， 15.解：由题可得x2-4xy+4y+y+2y .k-1≠0，且4=16-4×3(k-1)≥ +1=0, 即(x-2y)2+(y+1)2=0. 0,解得≤号且≠1.放人的取值花 (x-2y)≥0，(y+1)≥0， .(x-2y)=0,(y+1)=0 周是≤子且. 14.解：(1)证明：(x一1)(x-2k)十k(k .x-2y=0,y+1=0, x=-2,y=-1. 1)=0, 整理，得x2一(2k十1)x十k2十k=0, 16.解：(1)分解因式，得(x+1)(x十7) ∴.△=(2k+1)一4×1×(k十k)=1 ■0， >0 ,.x十1=0或x+7=0, ∴，该一元二次方程总有两个不相等 解得x=一1，x:=一7。 (2)分解因式，得(x一4)(x一7)=0： 的实数根. .r-4=0或x-7=0, (2)由(1)，得x=2+1±旦 解得x:=4,r1=7, 2 无=k,x=k+1. 周周清五根的判别式 ,k十1>， 及根与系数的关系 .k十1为矩形对角线的长， 1.C2.B3.D4.D5.C .k2十3=(k十1)， 6.B【解析】根据题意，得△=(2k+十3) 解得k=4. 一k≥0，解得>一早，根据根与系 15.解：(1)证明：△=(2-m)-4×1× (1一)=m2≥0， 数的关系，得x1十x:=2k十3,1x:= 该方程总有两个实数根. k,:1十1=1，x1十x=xx, (2)设方程的较大的实数根为x1,较 小的实数根为：，依题意，得1一x .2k十3=k,整理，得-2k一3=0， =3,1十4=m一2，x1=1一n,