周周清一 菱形的性质与判定-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（北师大版 江西专版）

周周清一 菱形的性质与判定 (建议用时：60分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 出现的特殊三角形是 1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形 ( →直角三角形 A.对角线垂直 B.两组对边对应相等 B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形 C.对角线相等 D.两组对角分别相等 →等边三角形 2.若菱形的边长是2cm,一条对角线的长也是 C.直角三角形→等边三角形~直角三角形 2cm,则另一条对角线的长是 →等腰三角形 A.4 cm B.1cm D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形 C.3 cm D.2./3 cm →等腰三角形 3.已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，对角 线AC,BD相交于点O.求证：AC⊥BD.以 下是排乱的证明过程： ①.BO=DO:②.AO⊥BD,即AC⊥BD: ③，四边形ABCD是菱形：④∴.AB=AD. 第5题国 第6题图 6.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图 证明步骤正确的顺序是 ( 所示，点B的坐标为(2,0)，∠DOB=60°，P A.③→②→①→④B.③→④→①→② 是对角线OC上的一个动点，点E的坐标为 C.①→②→④→③D.①→④→③→② (0,一1).当EP+BP最短时，点P的坐标 为 ( A.(23+3,2-√3)B.(23-3,2+√3) 第3题 C.(2√3-3,2-√5)D.(2√5+3,2+√3) 第4题图 4.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重 二、填空题（每小题6分，共30分） 合部分构成一个四边形.在其中一张纸条转 7.如图，在△ABC中，AD, 动的过程中，下列结论一定成立的是( CD分别平分∠BAC和 A.AD=CD ∠ACB,AE∥CD,CE∥ B AD.若从以下三个条件 第7题图 B.四边形ABCD面积不变 C.AC=BD ①AB=AC:②AB=BC:③AC=BC中，选 D.四边形ABCD周长不变 择其中一个作为已知条件，则能使四边形 5.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点P从 ADCE为菱形的是 (填序号). 点B出发，沿折线B-C-D移动，移动到点 8.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°， D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次 连接AE,则∠BAE的度数为 全一册·周吉清 41 9.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点 (2)若AB=2,AD=3,求菱形ADCE的 B的坐标为(8,2)，点D的坐标为(0,2)，则 面积 点C的坐标为 B 第9题图 第10题图 10.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连 接AC,以点A为圆心，AC长为半径作弧， 交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的 14.如右图，在□ABCD中， 度数是 对角线AC,BD交于点 11.四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB O,E是AD上一点，连B 6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC 接EO并延长，交BC于点F.连接AF, 上.若OE=3,则CE的长为 CE,EF平分∠AEC. 三、解答题（第12小题10分，第13,14小题各 (1)求证：四边形AFCE是菱形： 15分，共40分) (2)若∠DAC=60°，AC=2,求四边形 12.如右图，在等腰三角形ABC AFCE的周长. 中，AD平分∠BAC,交底边 BC于点H,点E在AD上，BE =BD,连接CE,CD.求证：四 B 边形BDCE是菱形. 13.如右图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，D是BC的 中点，AD=BD,作AE∥ BC,CE∥AD,AE与CE交于点E (1)求证：四边形ADCE是菱形： 42 数学·9年级(BS版)②'∠OGE=∠D=90°，∠OCD ∠ACB=90°，D是AB的中点， =90°， .四边形OGDC是矩形， ∴CD=号AB=AD ∴.0C=DG=3. .CA=CD=AD. ,GE=1, ,△ACD是等边三角形， ∴.DE=DG-GE=3-1=2. .∠ACD=60°. 线段DE的长为2. .旋转角为60 21.解：(1)证明：“PB⊥x轴，OC⊥x轴， ②由旋转可知，∠ACD=a,AC=CD, .(OC∥PB,.△AOC△ABP. ∠B=∠E, (2)对于直线y=豆十3，令1=0，则 :∠A=∠ADC=吉(180- y=3; ∠ACD)=90°-a 令y=0,则x=-6 ∴.A(-6,0),C(0,3), ∴∠CED=∠B=90°-∠A=90° .0A=6.(C℃=3. (o-2a)=a .'△AOCo△ABP, (2)证明：如图，过点D作DH⊥BC, 恶-（器）-( 垂足为H,过点A作AG⊥EC交EC 的延长线于点G :Sar=16,Sae=20A·0C 合×6×3=9： 值已舍去》， 即品品-子 3 .BP=4,BA=8, '∠ACB=∠DCE=90°， .OB=AB-A0=8-6=2, ·∠HCD+∠ACE=180 点P的坐标为(2,4). ,∠ACE+∠GCA=180°， (3)设该反比例函数的表达式为y= .∠HCD=∠GCA. 兰（为霜数且≠0>0). ,DH⊥BC,AG⊥EC, ∴.∠DHC=∠AGC=90°. 把P(2,4)代人y=点，得k=2X4 由旋转可得CD=CA. 在△DHC和△AGC中， =8, ∠DHC=∠AGC, ,该反比例函数的表达式为y= 8 ∠HCD=∠GCA, CD=CA. (r>0). ∴.△DHC2△AGC(AAS), ,点Q在反比例函数的图象上，且点 ∴.DH=AG. Q在直线PB的右侧， :可设点Q的坐标为(a,号）n> :SAe=立BC·DH,SAm= 2). zEC·AG,BC=EC 0D=QD=是. ∴，Sa=SAr 23.解：(1)①依次填：0，-4，一1，一3. ∴BD=OD-(OB=n-2. ②图象L如图①所示 当△AC0n△BOD时，器-S 马=是整理，得-2如-16 3 =0, 解得m,=1十√/7，=1一7（不 符合题意，舍去)： 2 当△CAO△BQD时，DQDB· OA OC 3 周① ③一3 整理，得n一2n一4=0， ①0≤x≤1或x>2 解得=1+5，m:=1-5(不符合 (2)①t=-3 ②设抛物线L的顶点为点C,点C关 题意，舍去)， 于直线x=的对称点为C, 综上所述，点Q的横坐标为1+7 抛物线L:y=x2一4mx, 或1十5. ∴.顶点C的横坐标为2，对称点C 22.解：(1)①由旋转可知，CA=CD. 的横坐标为0， 当m>0时，若双抛图形L‘的函数值 随着x的增大而增大，则x的取值范 用为0≤x≤m或x≥2m: 当m<0时，若双抛图形L'的函数值 随着x的增大而增大，则x的取值范 围为2n≤x≤m或x≥0. ③如图②，过点B作BM⊥CC,垂足 为M. 图2 ”点B为直线x=m与双抛图形L 交点， ,∴，点B的横坐标为m,代入L的表达 式，得y=一3m,即B(n,一32). 由(2)②，得点C的横坐标为2m,代 入L的表达式，得y=一4m,即 C(2m,-4m). ·对称点C(0,一4m),M(m, .BM=-3m2(-4m2）=m.CM =2m一m=m. ,△BCC为等边三角形， tan60-8器 ∴3= mm=士】 周周清 周周清一菱形的性质与判定 1.A2.D3.B4.A5.C 6.C【解析】连接ED交(OC于点P,连 接BP,如图. E 点B关于OC的对称点是点D .DP=BP. .ED即为EP+BP的最短长度. 四边形OBCD是菱形，点B的坐标 为(2.0)，∠D0B=60°， ,点D的坐标为(13) 点C的坐标为(3w3), 一直线OC的表达式为y-马 点E的坐标为(0，一1)， ∴.直线ED的表达式为y=(1十3)x -1. P是直线OC和直线ED的交点， 联立 3t, y=(1十√3)x-1. 解得x=2/5-3, 1y▣2-3. 点P的坐标为(25-3.2-3). 7.②8.62°9.(4,4) 10.10或80°【解析】以点A为圆心， AC长为半径作弧，交直线AD于点 E1,E,连接CE,CE,如图. 根据题意可知，AC=AE:=AE 121 全一册·参考答案 在菱形ABCD中，∠DAB=40°， ÷∠DAC=号∠DAB=20 在等腰三角形AEC中，AC=AE ·∠AEC=∠ACE=18O'=∠DAG =80°， 同理，在等腰三角形AEC中， ∠E,AC=180°-∠DAC=160, ·∠AE,C=∠ACE,=18g-∠EAC 2 =10. 综上所述，∠AEC的度数为80 或10°. E 11.43或2√3【解析】四边形ABCD 是菱形， ..AC BD.OA=OC.OB=OD.AB =AD=6. ∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形. .BD=AB=AD=6. .0B=0D=3. 在R1△AOD中，AO=√6-3= 3月， ,OC=33 根据题意，分戒以下两种情况进行 讨论： ①当点E在OA上时，如图① :OE=3, ∴.CE=OE+(OC=43: 图① 图2 ②当点E在OC上时，如图②. *0E=3, ∴.CE=OC-0E=33-√3=23 综上所述，CE的长为4√或23. 12.证明：，在等腰三角形ABC中，AD 平分∠BAC, .AH⊥BC,BH=CH, BE=CE.BD-CD. .BE=BD. ..BE=CE=BD-CD. ,四边形BDCE是菱形 13.解：(1)证明：，AE∥BC.CE∥AD 四边形ADCE是平行四边形. ,AD=BD,D是BC的中点， ..AD=BD=CD. ,口ADCE是菱形 (2)由(1)，得BC=2AD=6 ,∠BAC=90°， ∴AC=√BC-AB=6-2 42. ,四边形ADCE是菱形，D是BC的 中点， 122 数学·9年级(BS版) ∴S0ueE=2S6m=SC=7AB 在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ =√BC+CQ=I53=3√17. Ac=×2x4E=4E 10.(号2）或1.2)或4,2) 14.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行 四边形， 【解析】：D是OA中点，∴.OD= ,.AD∥BC,AO=CO. 0A- ∴.∠AEF=∠CFE. 在△AOE和△COF中. 根据题意，分成以下4种情况进行 ∠AEO=∠CFO, 讨论： ∠AOE=∠COF, ①若OP=PD=号，过点P作 AO=CO. PH⊥ODD,交(OD于点H,如图. .△AOE≌△COF(AAS),∴OE OP=P D. =OF. 又，AO=CO 0H,=0D=号 .四边形AFCE是平行四边形 “EF平分∠AEC, 又on,= .∠AEF=∠CEF ,.∠CFE=∠CEF,∴.CE=CF, nH=5≠0C ∴.□AFCE是菱形」 .OP=PD不成立： (2)由(1).得四边形AFCE是菱形. .∠DAC=60°. ②若OP,=OD=号，过点P作 ,△ACE是等边三角形 P,H,⊥OD,交OD于点H,,如图. ..AE=AC=2. .P2H:=OC=2, .菱形AFCE的周长=2×4=8. 周周清二矩形的性质与判定 .OH2=OPI-P丽 1.B2.A3.C4.C -√)-2=2 5.D【解析】如图，连接BF交AE于 点H. P(22 ③若RD=OD=号，过点P作 P,H,⊥OD,交OD于点H,如图. ,P2H2=2, .HD=PD-P.H :四边形ABCD是矩形， ,.∠ABE=90 √-- BC=6,E为BC的中点+ ,.BE=EC=3. 0H,=OD-HD=音-是=1， 又AB=4,∠ABE=90', P(1,2): ..AE=VAB:+BE=5. ①若PD=OD=号，过点P,作 由折叠的性质知，BF⊥AE,BF =2BH. PH:⊥OA,交OA于点H:,如图 P,H=2, 1 又”SAE=立AB·BE=立AE ∴DH=√/DP-PH ·BH, “BH=AB,BE_12 =√)-2= AE 5 ∴BF=2BH= ∴OH,=OD+DH,=号+2=4， P(42). FE=BE=EC. ,.∠BFC=90, 综上所述，点P的坐标为（号，2）或 cF=√6-(= (1,2)或(4,2) 6.40°7.48.4 9.3√7【解析】：在矩形ABCD中， AB=5,AD=12,∠BAD=∠BCD 90°，.BD=/AB+AD=√+12 O H:HH:D H.A =13. BP=BA=5, 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是 PD=BD-BP=13-5=8./BAP 矩形， =∠BPA=∠DPQ. .∠ADF=90°，AD∥BC AB∥CD. R1△ADF中，G是AF的中点， ∠BAP=∠DQP, .GA=GD,.∠DGF=2∠DAE .∠DPQ=∠DQP. AD∥BE,∴.∠AEB=∠DAE ..DQ-DP=8. .∠DGF=2∠AEB. ..CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5 DG=DE. =3. ∠DEA=∠DGF,