周周清三 一元二次方程的实际应用-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（人教版 江西专版）

周周清三 (建议用时：45分 一、选择题（每小题6分，共24分】 1.在一次九年级学生数学交流会上，每2名学 生握手1次，统计共握手253次.设参加此 会的学生为x名，下列方程正确的是( A.x(x+1)=253B.x(x-1)=253 C.2(x+10=253D2x-10=253 2.某机械厂一月份生产零件50万个，第一季 度生产零件200万个.设该厂二、三月份平 均每月生产零件个数的增长率为x,那么x 满足的方程是 A.50(1+x)2=200 B.50+50(1+x)2=200 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=200 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=200 3.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参 赛，赛制为单循环形式（每2个班之间都赛1 场).若共需安排21场比赛，则九年级班级 的个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷 法》中有这样一道题：“直田积八百六十四 步，只云长阔共六十步.问长多阔几何.”译 文：一块矩形田地的面积为864平方步，只 知道它的长与宽共60步.问它的长比宽多 多少步.经过计算，长比宽多 A.12步B.24步C.36步D.48步 二、填空题（每小题6分，共30分】 5.有1人患了流感，经过两轮传染后，共有121人 患了流感.每轮传染中，平均每人传染了 人 6.在促销活动中，某商品经连续两次降价后， 售价变为原来的81%.若两次降价的百分率 二次方程的实际应用 满分：100分) 相同，则该商品每次降价的百分率为 7.一个两位数等于其各个数位上的数字之积 的3倍，且其十位数字比个位数字小2.这个 两位数是 8.如图，某小区有一块长30m、 30m 宽24m的矩形空地.计划 24m 在其中修建两块相同的矩 形绿地，它们的面积之和为 第8题图 480m2.若两块绿地之间及周边有宽度相等 的人行通道，则人行通道的宽度是 m. 9.某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价 为80元，每日平均客流量为136人次.为了 促进全民健身运动，游泳馆决定降低票价.经 市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健 身的人数平均增加2.当每日收入为10952 元时，票价下降了 元 三、解答题（第10小题10分，其余每小题12 分，共46分) 10.如下图，某景区内有一块长8m、宽6m的 矩形鲜花田地，计划在鲜花田地上修建一 条观花道（图中阴影部分，观花道在矩形田 地边上的长度均为xm)供游人赏花.若改 造后观花道的面积为13m2,求x的值. 一5m m 全一册·周清 45 11.某地计划对矩形广场进行扩 建改造，如右图，原广场长 原广场 充区 50m,宽40m,要求扩建后的 矩形广场长与宽的比为3：2，扩充区域的 扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广 场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用 为每平方米100元.如果计划总费用为 642000元，扩建后广场的长和宽应分别是 多少米？ 12.在水果销售旺季，某水果店购进一批优质脐 橙，进价为4元/kg,售价不低于4元/kg,且 不超过6元/kg.根据销售情况，发现该水果 一天的销售量y(单位：kg)与该天的售价x (单位：元/kg)满足下表所示的一次函数 关系 销售量y/kg 320280240200… 售价x/八元/kg)…4.855.25.4… (1)某天这种脐橙的售价为5.5元/kg,求 当天该脐橙的销售量： 46 数学·9年级(RJ版) (2)如果某天销售这种脐橙获利88元，那 么该天脐橙的售价为多少？ 13.近年来，电商平台带货主播成了一个火热 的新兴职业.某主播带货某本图书，他用双 语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购 书热情.已知每本书的成本价为10元，规 定销售单价不低于成本价.如果按每本25 元销售，每天可销售500本，通过几天的销 售发现，销售单价每降低5元，每天可多销 售100本. (1)若每本降价10元，每天可销售多少本 书？每天销售获利多少元？ (2)若降价销售该书，每天的利润为6000 元，求该书的销售单价： (3)若降价销售该书，每天的利润能否达到 9000元？请说明理由.即x-3=2或x-3=-2, x1=5,x4=1. (2)原方程可化为x(x一3)一2(x 3)=0, ,.(x-3)(x-2)=0, x1=3.x1=2 (3)原方程可化为x2十4x一10=0. :4=42-4×1X(-10)=56, r=二4共压=-2士Vm. 2×1 1=-2十√4x4=-2-4, 12.解：(1)由x2一x-12=0,得 (x-4)(x十3)=0， .x-4=0或x+3=0, x1=4.x1=一3. (2)由x-7x十10=0，得 (-2)(x-5)=0, x-2=0或x-5=0 ∴x1=2,x4=5. 13.解：(1)△ABC是等腰三角形，理山 如下： 把x=一1代人原方程，得2a十c一46 十2a-c=0, .4a-4b=0,.a=b, ,△ABC是等腰三角形 (2)当△ABC是等边三角形时，a=b =c+ .原方程可化为(2a十a)r+4ax+ 2a-a=0, 即3ax2十4ax十a=0. 又，a>0,.3x2十4x十1=0， .4=4-4×3×1=4>0,.x -4±耳=-2±1 2×3 3 即4=一1x=-号 3 14.解：(1)26 (2)由题意，得m2十2×（一3m)一3 =4, 即m2一6m一7=0，解得m1=7,:= -1. (3)小明的说法不正确.理由如下： 由题意，得川十2×(3m一1)一3= 十6n一5=(n十3)2一14≥-14，∴.得 到的实数不可能小于一15.故小明的 说法不正确. 15.解：(1)设2x+5=m,原方程可化为 m2-4m十3=0，解得m:=1,:=3. 当m=1时，2x十5=1，∴.x=一2：当 m=3时，2x十5=3，.x=一1.故原 方程的解为1=一2，x=一1. (2)设x=,原方程可化为m一8n 十7=0，解得1一1，：=7.当#=1 时，x=1,x=士1：当n=7时，x =7,x=士√7，故原方程的解为x =-1,x=1x1=7,=-7. 周周清二一元二次方程根的 综合应用 1.D2.B3.A4.B 5.D【解析】由题总，得△=[一(k一 120 数学·9年级(RJ版) 1)]2-4(-k十2)=(k+1)￥-8.由一 元二次方程根与系数的关系，得，十 m的值为号 x4=k-1,x1x=2-k,(x1一x2十 14.解：(1)证明：△=[一(2k十1)] 2)(x1-x:-2)十2x1x1=-3, 4(k2+k)=1>0, .(1一x)一4十2x1=一3，.x ,无论真取何值，此方程都有两个不 -2x1十x-4+2x=-3,.(x 相等的实数根 +x,)2-2x1x-1=0,即(k-1)2- (2)x-(2k+1)x+k2+k=0 2(2-k)一1=0，可化为k一4=0，解 .x-2kx十k2一x十k=0,.(x 得k1=2,k2=-2.当k=2时，4=(2 k)2一(x一k)=0,即(x一k)[x一(k十 十1)-8=1>0：当k=一2时，△= 1)]=0, (-2+1)2一8=一7<0.故k的值 解得x1=k,=k十1， 为2. .一元二次方程2-(2+1)x十 6.k<17.b>38.2 十k■0的两个实数根分别为，是 9.4【解析】：a,3是一元二次方程x+ +1, 3x-7=0的两个根.a十B=一3，a 号中=+者该号有 +3a-7=0. .a2+3a=7, k+1 .d+4a十B=a+3a+a+B=7-3 =4. 若1十云为整数，则为1的约数， 10.8或9【解析】当4为腰长时，将x= ,k=士1： 4代人x-6x十n=0,得4°一6×4十 n=0,解得n=8. 若1一干为整数，则+1为1的 当n=8时，原方程为x2一6x十8=0， 约数， 解得x1=2,2=4, .k十1=士1，即k1=0,k:=一2. ,2十4>4，.=8符合题意： 综上，k的所有可能的值为士1,0和 当4为底边长时，则关于x的方程x -2. 一6x十n=0有两个相等的实数根， 15.解：(1)证明：4=（一8）一4×(16 ∴.△=（一6）2一4m=0,解得n=9. n2)=4m2. 当n=9时，原方程为x2一6x十9=0， m≠0， 解得1=：=3. .m>0, 3十3>4，.n=9符合题意 .△>0， 综上所述，n的值为8或9， 此方程总有两个不相等的实数根， 11.解：(1)证明：，a十c=一b,,a十b十c (2)由(1)，得△=4m2,且b≠c,.x =0. 8土J4m -.∴，x=4士m,.b=4十m, 当x=1时，ax2+bx+c=a十b十c 2 =0, =4一1， =1必是该方程的一个根. 当b=a,即4十m=6时，解得m=2, (2)a-b十c=0【解析】(2)当x= c=4一m=2,.底边上的高为 -1时，ax2+r十e=a-b+e, √-正=35， .当a一b十c=0时，方程ax十.x十 c=0必有一根是x=一1. 六△ABC的面积=立X2XV丽 12.解：(1)△=（一2m)2一4(m一1）(m =35: +1)=4>0, 当c=a,即4一m=6时，解得n= .方程有两个不相等的实数根 一2，b=4十n=2,.底边上的高为 (2),m为绝对值最小的数，m=0, √-1下=35， 此时原方程可化为一x十1=0，解得 1=14=-1. ∴△ABC的面积=号X2X3丽 13.解：(1)根据题意，得△=（一3）2一4 =35 ≥0，解得长号 综上所述，△ABC的面积为√35. (2)由(1)可知k=2, 周周清三一元二次方程的 ∴.一3x十2=0，解得=1，x=2. 实际应用 ,一次二次方程(m一1)x2十x十m一 1.D2.C3.C4.A5.106.10% 3=0与方程x2-3.x+k=0有一个相 7.24【解析】设这个两位数的个位数字 同的根， 是x,则十位数字是x一2∴这个两位 .当x=1时，m一1十1十m一3=0 数是10(x-2)十x,根据题意，得10(d 解得m=多 2)十r=3r(x一2).整理，得3x2 当x=2时，4(m一1)十2十m-3=0, 17x+20=0,解得=4函=号（含 解得m=1. 去)，.10(x一2)十x=24,即这个两位 ,m一1≠0，m≠1， 数是24. 8.2【解析】设人行通道的宽度是xm,则 周周清四二次函数的图象 有(30一3r)(24一2r)=480,变形为6.r 与系数的关系 -132x+240=0,解得x1=2,=20(舍 1.D.2.C3.C4.C5.D 去)，人行通道的宽度是2m 9.6【解析】设票价下降了x元 6.B【解析】，y=ax2+(b-k)x十c 由题意，得(2x+136)(80一x) y=为一y.由图象可知，在点A和 点B之间，y>O:在点A左博和点B 10952. 右测，y<0,故选项B符合题意： 整理，得x2一12x十36=0， 7.D【解析】观察题图可知，a>0,b>0, 解得x1=x:=6, 故票价下降了6元： c<0,二次函数y=ax2十bx十c的 图象开口向上，对称轴是直线x= 10解：由题意，得6×8-2X合(8 会<0，与y箱的交点在y轴负半 x)(6-x)=13, 轴，故选项D符合题意. 解得=1，x1=13(舍去).故x的值 8.C【解析】A.由一次函数的图象，得a 为1. >0,b>0,则二次函数的图象应开口 11.解：设扩建后广场的长为3xm,宽为 2xm.依题意，得3r·2x×100十 向上，对称轴在y轴左侧，故A选项不 30(3x·2x-50×40)=642000,解得 符合题意：B,C项，由一次函数的图 x1=30,x:=-30(舍去)，.3r=90, 象，得a>0,b<0,则二次函数的图象 2r=60.故扩建后广场的长为90m, 应开口向上，对称轴在y轴右博，故B 宽为60m. 选项不符合题意，C选项符合题意： 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式 D.由一次函数的图象，得a<0,b=0, 为y=kx十b(k≠0)， 则二次函数的图象应开口向下，对称 将(4.8,320)，(5,280)代人y=kx 轴为y轴，故D选项不符合题意 +b, 9.D【解析】二次函数y=ar2十br十c 任20 的图象与y轴交于正半轴，c>0,故 A选项不符合题意：二次函数y=ax 解得合10 十bx十c的图象与x轴有两个交点 .b一4ac>0,故B选项不符合题意： .y与x之间的函数关系式为y= 当x=一1时，y>0,即a一b+c>0,故 -200x十1280(4≤x≤6). 心选项不符合题意：，二次函数图象 当x=5,5时，y=-200×5.5+1280 过A(1,0),B(5,0),对称轴为直线 =180. r=- =1十5=3，即6a十b=0,故 2a 2 故当天该脐橙的销售量为180kg (2)根据题意，得(x一4)（一200x+ D选项符合题意. 10.D【解析】A由抛物线可知，a>0, 1280)=88, 解得x1=4.2,x1=6.2 对称轴为直线x=一会>0,6<0 "4x≤6，.x=4.2. 由直线可知，a<0,b>0,故本迷项不 故如果某天销售这种脐橙获利88元， 符合题意：B由抛物线可知，a<0,对 那么该天脐橙的售价为4.2元/kg 13.解：(1)若每本降价10元，则每天可 称轴为直线工=一会<0，六b<0,由 销售500+号×100=700（本）， 直线可知，a>0,b<0,故本选项不符 合题意：C由抛物线可知，a>0.对称 每天销售获利(25一10一10)×700= 3500(元). 轴为直线=一会>0,6<0，由直 (2)设该书的销售单价为x元，依题 线可知，a>0,b<0,但一次函数y= 意，得(x-10)(500+25三×100)= ar+b的图象与x轴的交点为 5 6000, (-么，0)，二次函数y=ar2+br的 解得x1=20,x4=40(舍去) 图象与x轴的交点为原点和点 枚该书的销售单价为20元. (3)每天的利润不能达到9000元，理 （(一合，0)，两个图象应交：轴于同 由如下： 点，故木选项不符合题意：D,由抛物 设该书的销售单价为y元， 线可知，a<0,对称轴为直线x= 依题意，得(y-10)(500+25二y× 5 一会>0六b>0.由直线可知，C0: 100)=9000. b>0,且一次函数y=ar十b的图象 整理，得y2-60y十950=0. 与二次函数y=a,x十r的图象应交 ,△=(-60)2-4×1×950=-200 x轴于同一点，故本选项符合题意. <0, 11.④12.① ,该方程没有实数根。 13.①②④【解析】由图象可得，该抛物 .每天的利润不能达到9000元. 线与x轴有两个交点，则：一4ac> 0,故①正确：：抛物线y=ax十br十 c与x轴相交于点A(一2,0)，B(6, 0), ,该地物线的对称轴是直线x -2+6=2, 2 ÷品=2，即4如+6=0，放@正确： 由图象可得，当y>0时，x-2或x >6,故③错误：由图象可得，当x=1 时，y=十b十c<0,故④正确 综上，正确的是①②④. 14.①②④【解析】由题图可知，a>0,c <0,对称轴为直线江=一1一品 =-1,.b=2a>0,.ax<0,2a-b =0,故①②正确： :抛物线与x轴一交点为（一3,0）， 且对称轴为直线x=一1，.抛物线与 x轴另一个交点为(1,0)， 当x>一1时，y随r增大而增大， ∴当x=2时，y>0,即4a+2b+c> 0,故③错误： :(一5，y)关于直线x=一1对称的 点的坐标是（8，且3>号> y,故①正确， 综上，正确的是①②④ 周周清五二次函数与方程的综合 1.C2.B3.A4.B 5.C【解析】，关于x的二次函数y= 一x2十2x十m一3的函数值恒为负数， .△=4十4(m-3)0, 解得m<2. :关于x的方程(m一2)x2十4x一1 0有实数根，.△=16十4(m一2)≥0 解得m≥一2. 综上所述，m的取值范周为一2≤m <2, 整数m的取值为一2，一1,0,1，则其 和为一2-1十0+1=-2. 6.m>17.x1=-2,x4=1 8.x1=-2,x1=19.6 10.一4【解析】由题意，得方程2x一4红 一1=0有两个实数根x1,x:,.x十 有=2=-，十 十=2 I: 11,1,0),(2,0),(0,2)【解析】由题 意，将“关联数”(m,一m一2,2)代入 函数y-ax十br十c,令y=0,得 mx2+(--2)x+2=0,.△= (一m-2)一4X2m=(m一2)1>≥0. “,该函数图象与x轴有两个“整交 点”，mx十（一m-2)x十2=0有两 个不相等的实数根，m≠2.由求根 公式，得r=m十2士m-2 2 即x=m十2±n-2 2m 121 全一册·参考答案