周周清二 一元二次方程根的综合应用-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（人教版 江西专版）

周周清二 一元二次方程根的综合应用 (建议用时：45分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共25分） 8.设x1,x2是关于x的方程x2一2x十k一1=0 1.若x=3是方程x2-5.x十m=0的一个根， 的两个根，且x了一3x1一x2=一3，则k= 则m的值是 A.-5B.5 C.-6 D.6 9.设a,3是一元二次方程x2+3x一7=0的两 2.一元二次方程x2一4x+3=0的根的情况是 个根，则a2+4a+B= 10.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是 A.只有一个实数根 关于x的方程x2-6x十n=0的两个根，则 B.有两个不相等的实数根 n的值为 C.有两个相等的实数根 三、解答题（每小题10分，共50分） D.没有实数根 11.已知关于x的一元二次方程a.x2+bx+c= 3.已知关于x的一元二次方程mx2+4x一1= 0(a≠0). 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围 (1)若a十c=一b,求证：x=1必是该方程 是 ( 的一个根： A.m>-4且m≠0B.m<4且m≠0 (2)当a,b,c之间的关系是 C.m<-4 D.m>4 时，该方程必有一根 4.已知2十√3是关于x的一元二次方程x2 是x=-1. 4x十m=0的一个实数根，则实数m的值是 ( ) A.0 B.1 C.-3D.-1 5.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x一k十2 =0有两个实数根x1,2,若(x1一x十 12.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2 2)(x1一x2一2)十2x1x2=一3，则k的值为 2mx十m+1=0. (1)利用根的判别式判断方程根的情况： A.0或2 B.-2或2 (2)当m为绝对值最小的数时，求此时方程 C.-2 D.2 的根。 二、填空题（每小题5分，共25分）】 6.若关于x的一元二次方程x2+2x十k=0有 两个不相等的实数根，则实数表的取值范围 为 7.若关于x的一元二次方程x2一4x+(b十1) =0没有实数根，则实数b的取值范围是 全一册·周吉清 43 13.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有 (2)如果此方程的两个实数根分别为x1, 实数根。 x2,且及与马都为整数，求的所有可能 (1)求k的取值范围； (2)如果飞是符合条件的最大整数，且关于 的值. x的一元二次方程(m一1)x2十x十m一3= 0与方程x2一3x+k=0有一个相同的根， 求此时m的值. 15.已知x2-8x+16-m2=0(m≠0)是关于x 的一元二次方程。 (1)求证：此方程总有两个不相等的实 数根： (2)若等腰三角形AB℃的一边长a=6,另两 边长b,c是该方程的两个实数根，求△ABC 的面积. 14.已知关于x的一元二次方程x2一(2k十1)x 十k2十k=0. (1)求证：无论k取何值，此方程都有两个 不相等的实数根： 44 数学·9年级(RJ版)即r-3=2或x-3=-2, 1)]2-4(-k+2)=(k十1)2-8.h一 ∴x1=5,=1. 元二次方程根与系数的关系，得1十 (2)原方程可化为x(x一3)-2(z =k一1,1xg=2-k.:(x,一r9十 3)=0, 2)(r1--2)+21=-3, .(x-3)(x-2)=0. .(-)2-4+2x1=-3, 1=3.=2. -271x2十r-4十271x=-3,.(x (3)原方程可化为x2+4x一10=0. 十x)2-2x12-1=0,即(k-1)2- :△=4°-4×1×(-10)=56. 2(2一k)一1=0，可化为一4=0，解 x=二4±6 =-2土14， 得k=2,k:=-2.当k=2时，△=(2 2×1 十1)2一8=1>0：当k=一2时，△= 1=-2+√14,2=-2-14 (一2十1)2一8=一7<0.故k的值 12.解：(1)由x2一x-12=0,得 为2. (x-4)(x+3)=0. 6.k<17.b>38.2 ∴.x-4=0或x+3=0, 9.4【解析】：a3是一元二次方程x2+ 1=4,r1=-3, 3.r-7=0的两个根，∴a+3=-3. (2)由x2-7x+10=0,得 +3a-7=0, (x-2)(x-5)=0. .a2+3a=7, .x-2=0或x-5=0. ∴a+4a+9=a+3a十a十B=7-3 .x1=2,1=5. =4, 13.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由 10.8或9【解析】当4为腰长时，将x 如下： 4代人x一6.x十m=0,得4一6×4十 把r=一1代人原方程，得2a十c-4b n=0.解得程=8. +2a-c=0. 当n=8时，原方程为x2一6，x十8=0. ∴.4a-4b=0,.a=b, 解得1=2，x=4. ∴，△ABC是等腰三角形 ,2十4>4，.n=8符合题意： (2)当△ABC是等边三角形时，a=b 当4为底边长时，则关于x的方程x =, 一6x十程=0有两个相等的实数根， ∴，原方程可化为(2a十a)x十4ax十 ∴，△=（一6）一4n=D,解得=9， 2a-a=0, 当n=9时，原方程为x一6.x+9■0， 即3a.x2十4a.r十a=0. 解得x1=x2=3. 又，a>0,∴.3x2+4x+1=0, 3十3>4,1=9符合题意 .△=42-4×3×1=4>0，.x= 综上所述，n的值为8或9. 11.解：(1)证明：，a十c=一b,a+b十c 2×3■ 3 =0. 即=-1=- 当x=1时，a.x+bx+c=a十b十c 3 =0, 14.解：(1)26 x=1必是该方程的一个根. (2)由题意，得m3+2×(一3m）一3 (2)a-b+c=0【解析】(2)当r= =4, 一1时，a.x十br十c=d-b十c, 即m一6m一7=0，解得m1=7,m:= .当a-b+e=0时，方程ax2+bx+ -1. c=0必有一根是x=一1. (3)小明的说法不正确.理由如下： 12.解：(1)△=（一2m)2一4(m-1)(m 由题意，得n十2×(3m-1)一3= +1)=4>0. +6n-5=(n+3)2-14≥-14，.得 ,方程有两个不相等的实数根。 到的实数不可能小于一15.故小明的 (2)m为绝对值最小的数，.m=0, 说法不正确， 此时原方程可化为一x+1=0,解得 15.解：(1)设27十5=m,原方程可化为 x1=1,x1=一1. m2-4m十3=0，解得m1=1,m2=3. 13.解：(1)根据题意，得△=（一3）1一4k 当m=1时，2x十5=1，x=一2：当 m=3时，2x十5=3，.x=一1，故原 ≥0，解得长号 方程的解为x1=一2，x=一1. (2)由(1)可知k=2. (2)设x=n,原方程可化为2一8n .x2-3x+2=0,解得x1=1,x=2 十7=0，解得1=1，=7.当n=1 一次二次方程(m一1)x2十工十m 时，x2=1,.x=士1；当=7时， 3=0与方程x2一3.x十k=0有一个相 =7,∴x=士√7，故原方程的解为 同的根， =-1x=1,1=√/7，x4=-√7. 当x=1时，m-1+1十m-3=0 周周清二一元二次方程根的 解得烟-是： 综合应用 当x=2时，4(m-1)+2十m一3=0， 1.D2.B3.A4.B 解得m=1. 5.D【解析】由题意，得4=[一(k ,m一1≠0，∴.m≠1， 120 数学，9年级(RJ版) ∴m的值为受 14.解：(1)证明：，4=[一(2k+1)]- 4(k2+k)=1>0, ,无论k取何值，此方程都有两个不 相等的实数根， (2)x2-(2k+1)x+k2+k=0, .x2-2kx+k2-x+k=0,.(x k)2一(x一k)=0,即(x一k)[x一(k十 1)3=0. 解得x1=k,x=十1， .一元二次方程x2-(2k十1)x十k 十=0的两个实数根分别为k, +1, 会出-=1+名号有- 一 若1十卡为整数，则：为1的约数， .k=±1： 若1一中为整数，则+1为1的 约数， .k十1=±1，即k1=0,k2=一2. 综上，k的所有可能的值为士1,0和 -2. 15.解：(1)证明：△=（一8）一4×(16 2)=4m2 m≠0， ,.m>0, .△>0， ,此方程总有两个不相等的实数根。 (2)由(1)，得△=4m2,且b≠c,.x 8士/4m ,∴.x=4士m,.b=4+m,C 2 =4一m, 当b=a.即4十m=6时，解得m=2, .c=4一m=2,.底边上的高为 √6-1m35, 8△AC的面积-子×2XV =√35： 当c=a,即4一m=6时，解得m 一2..b=4十m=2,.底边上的高为 6-下=35， :△ABC的面积=专×2XV质 =√35. 综上所述，△ABC的面积为√35. 周周清三一元二次方程的 实际应用 1.D2.C3.C4.A5.106.10% 7.24【解析】设这个两位数的个位数字 是x,则十位数字是x一2，∴这个两位 数是10(x一2)十x.根据题意，得10(x 一2)十x=3x(x一2).整理，得3x2 17x+20=0,解得=4=号（会 去)，·10(x一2)十x=24,即这个两位 数是24.