周周清一 一元二次方程的解法-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（人教版 江西专版）

周周清一 一元二次方程的解法 (建议用时：45分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共25分） =3:小刚看错了常数项c,得到的解为x1 1.一元二次方程3.x2=27的解是 1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程： A.x1=x2=3 B.x1=x2=-3 C.x1=-3,x2=3 D.x1=-√5，x2=√3 9.小刚在解关于x的方程ax十b.x十c=0(a≠ 2.x=-7±V72+4X2X3 0)时，只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根 2X2 是下列哪个一元二 是x=一1.他核对时发现所抄的值比原方 次方程的根 ( 程的c值大2，则原方程的根是 A.2.x2+7x+3=0 B.2.x-7x-3=0 10.如果方程x2+4.x十n=0可以配方成(x十 C.2x2+7x-3=0 m)2=3,那么(n-m)3024= D.2x2-7x+3=0 三、解答题（第11小题12分，第12~14小题 3.若一元二次方程x2一2kx十2=0的一根为 每小题9分，第15小题11分，共50分) x=一1，则k的值为 11.解下列方程： A.-1 B.0 (1)(.x-3)2-4=0: C.1或-1 D.2或0 4.已知方程x2一2x一3=0的解是x1=一1，x =3,现给出另一个一元二次方程(2x十1) 一2(2.x+1)一3=0，它的解是 () A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x=-1 C.1=-1,x2=3D.x1=-1,x2=-3 (2)x(.x-3)=2(x-3): 5.一元二次方程2x2一2x一1=0的较大实数 根在 A.3和4之间 B.2和3之间 C.1和2之间 D.0和1之间 二、填空题（每小题5分，共25分）】 (3).x2+4.x=10 6.若代数式3x2十1与一x一3的值互为相反 数，则x的值为 7.请写出一个满足以下两个条件的一元二次 方程：①两根均为整数；②两根异号.这个方 程可以是 8.在解一元二次方程x2十bx十c=0时，小明 看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2 全一册·周周清 41 12.将x2一2x一3分解因式时，可依据口诀“首 14.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a, 尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如 b)进人其中时，会得到一个新的实数a2十 下图所示 2b-3.例如：把实数对(2，一5)放入其中， 就会得到22+2×(-5)一3=一9. (1)若把实数对（一5,2）放入其中，得到的 -3x+x=-2x 实数是 故x2-2r-3=(x-3)(x+1).我们把这 (2)若把实数对(m,一3m)放入其中，得到 种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用 实数4，求m的值： 式子表示为x2-(a十b)x+ab=(x-a)(x (3)小明说：“若把实数对(，3n一1)放入其 -b). 中，得到的实数可能小于一15.”你认为小 依照上面的方法，解下列方程： 明的说法正确吗？请说明理由 (1)x2-x-12=0:(2)x2-7x+10=0. 15.为解方程(x2-2)2一5(x2-2)+4=0,我 13.已知关于x的一元二次方程(2a+c)x2+ 们可以将x2一2视为一个整体，然后设x 4b.x十2a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC 一2=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解 三边的长， 得y1=1,y2=4.当y=1时，x2-2=1,.x (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC =士3；当y=4时，x2一2=4，.x= 的形状，并说明理由： 士√6.故原方程的解为x1=√3，x2=一√5， (2)如果△ABC是等边三角形，试用公式 x=√6，x1=-√6. 法求这个一元二次方程的根。 以上解方程的方法叫做“换元法”，达到了 降次的目的，体现了转化思想。 用上述方法解下列方程： (1)(2x+5)-4(2x+5)+3=0: (2).x-8x2+7=0. 42 数学·9年级(RJ版)∠CAD=∠BDO :OA=OB,.∠B=∠OAB, (0-)广+h=, fa=-1, 得 得 ∴∠OAB+∠CAD=90°， ∴.∠CAO=90°，即)A⊥AC (3-专）+h=0, ,OA是⊙O的半径， 故图象L所在抛物线的解析式为y .直线AC与⊙O相切 (2)由(1)知，∠CAD=∠BDO, =-(-青)+=-+ ia∠CAD-o∠B0-品-高 5 +1. (2)①OD=5,ED=1,点E的坐 设OD=5k,则BD=13k. 标为(5,1)， 在Rt△OBD中，OB十OD=BD, 当图象L:所在抛物线经过点E时， .122+(5k)=(13k)2, 设其解析式为y=一x十r十c. 解得k,=1,k=一1（不合题意，舍 将B(3,0),E(5,1)分别代入， 去)， b= 17 .0D=5. 得 -9+36+c=0, 2 在Rt△AOC中，设CA=CD=x. -25+56+c=1,解得 33 =-2· 由勾股定理，得AC十OA=(OC,即 故图象L所在抛物线的解析式为y x2十12=(x十5)2，解得x=11.9, ..CA=11.9. 21.解：(1)点A的坐标是(-3,0)，点 B的坐标是(0,4)，C为OB中点， @<m< ∴.)A=3,0B=4,∴，BC=2. 【解析】(2)②当图象L:所在抛物线 将△ABC绕着点B逆时针旋转 17 90得到△A'BC',.C(2,4). 217 经过点E时，m=一 ?反比例函数y=冬的图象经过 OD=5,EF=2,ED=1,点F的 点C, 坐标为(7,1) .k=2×4=8, 当图象L:所在抛物线经过点F时 “该反比例函数的解析式为y=8 设其解析式为y=一(x一m)十d, 将B(3,0),F(7,1)分别代入，得 (x>0). 41 (2)如图，过点A'作A'日⊥y轴于 -(3-m)十d=0解得 点H -(7-m)十d=1, -架 :图象L的最高点低于图象L的 最高点， m<3+(3-)=号 综上所述，m的取值范周为≤n 由题意可知，∠AOB=∠BHA'= ∠ABA'=90°，BA=A'B. ∴.∠ABO+∠A'BH=90°，∠ABO+ 23.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行 ∠BAO=90°. 四边形， ∴.∠BAO=∠A'BH, ..AC=20C. .△AOB≌△BHA'(AAS). :∠ACB=90°，∠ABC=45 ..OA=BH=3,OB=A'H=4, .∠BAC=∠ABC=45, .OH=1,A(4,1) ..BC=AC..BC=20C. 设一次函数的解析式为y=ax十b (2)①证明：，'△ACD是等边三角形， 把A(一3,0)，A'(4,1)分别代人， .AC=DC,∠DAC=60. ∠BAC=30°， -3a十b=0解得 得a十b-1: .∠BAD=90 b=- 如图①，连接AP 7 P是BD的中点， 心该一次函数的解析式为y=了x .AP=DP. .CP是AD的垂直平分线 22.解：(1)由题可设图象L所在地物线 的解析式为y=a(红一专)广'+h 将A(0,1),B(3,0)分别代人 ②BC=2,∠ACB=90°，∠BAC =30°， AB=2BC=4.AD=AC=2/3 如图①，延长CP交AD于点H, 由①可得∠AHP=S0,AH=AD =5,∴CH=/AC-A=3. 在R:△ABD中，BD=√AD+AB四 =√/(2)+4=2√7， ÷AP=号BD=. 在Rt△APH中， PH=AP-AF=√W7)y-(3P =2. ∴.CP=CH-PH=1. (3)BD=2CP. 证明：如图②，延长BC到点B',使 BC=BC,连接AB,EB', B 图② 六AC是BB'的垂直平分线， ·AB=AB,∠BAB=2∠BAC =2a. 由旋转，得∠DAE=2a,AE=AD, ∠BAD=∠BAE=2a-∠DAB': △ABD≌△AB'E(SAS), .BD=B'E. P是BE的中点，BC=B'C, PC是△BBE的中位线， ∴.BE=2CP,即BD=2CP 周周清 周周清一一元二次方程的解法 1.C2.C3.A 4.B【解析】由题意，得2x十1=一1或 2x十1=3，解得=1x=一1. 5.C【解析】a=2,b=-2,c=-1, ,∴+△=b一4ac=12>0,∴.原方程的解 为1=1士5设m是方程2-2 2 1=0的较大实数根，=. <5<2,2<1+<3,1< 1由<是，即1<m<受故较大实 2 数根在1和2之间 6.1或-号7.（答案不唯-x-1=0 8.x2-6x+6=09.x1=0,x1=-3 10.1【解析】，x2十4x十n=0,.x2十 4x十4=4-n,即(x十2)2=4-n :2十4x十n=0可以配方成(x十 m)2=3,∴m=2,n=1..(n-m)0 =(1-2)4=1. 11.解：(1)移项，得(x一3)2=4， 开方，得x一3=士2， 全一册·参考答案 119 即x-3=2或x-3=-2, x1=5,x4=1. (2)原方程可化为x(x一3)一2(x 3)=0, ,.(x-3)(x-2)=0, x1=3.x1=2 (3)原方程可化为x2十4x一10=0. :4=42-4×1X(-10)=56, r=二4共压=-2士Vm. 2×1 1=-2十√4x4=-2-4, 12.解：(1)由x2一x-12=0,得 (x-4)(x十3)=0， .x-4=0或x+3=0, x1=4.x1=一3. (2)由x-7x十10=0，得 (-2)(x-5)=0, x-2=0或x-5=0 ∴x1=2,x4=5. 13.解：(1)△ABC是等腰三角形，理山 如下： 把x=一1代人原方程，得2a十c一46 十2a-c=0, .4a-4b=0,.a=b, ,△ABC是等腰三角形 (2)当△ABC是等边三角形时，a=b =c+ .原方程可化为(2a十a)r+4ax+ 2a-a=0, 即3ax2十4ax十a=0. 又，a>0,.3x2十4x十1=0， .4=4-4×3×1=4>0,.x -4±耳=-2±1 2×3 3 即4=一1x=-号 3 14.解：(1)26 (2)由题意，得m2十2×（一3m)一3 =4, 即m2一6m一7=0，解得m1=7,:= -1. (3)小明的说法不正确.理由如下： 由题意，得川十2×(3m一1)一3= 十6n一5=(n十3)2一14≥-14，∴.得 到的实数不可能小于一15.故小明的 说法不正确. 15.解：(1)设2x+5=m,原方程可化为 m2-4m十3=0，解得m:=1,:=3. 当m=1时，2x十5=1，∴.x=一2：当 m=3时，2x十5=3，.x=一1.故原 方程的解为1=一2，x=一1. (2)设x=,原方程可化为m一8n 十7=0，解得1一1，：=7.当#=1 时，x=1,x=士1：当n=7时，x =7,x=士√7，故原方程的解为x =-1,x=1x1=7,=-7. 周周清二一元二次方程根的 综合应用 1.D2.B3.A4.B 5.D【解析】由题总，得△=[一(k一 120 数学·9年级(RJ版) 1)]2-4(-k十2)=(k+1)￥-8.由一 元二次方程根与系数的关系，得，十 m的值为号 x4=k-1,x1x=2-k,(x1一x2十 14.解：(1)证明：△=[一(2k十1)] 2)(x1-x:-2)十2x1x1=-3, 4(k2+k)=1>0, .(1一x)一4十2x1=一3，.x ,无论真取何值，此方程都有两个不 -2x1十x-4+2x=-3,.(x 相等的实数根 +x,)2-2x1x-1=0,即(k-1)2- (2)x-(2k+1)x+k2+k=0 2(2-k)一1=0，可化为k一4=0，解 .x-2kx十k2一x十k=0,.(x 得k1=2,k2=-2.当k=2时，4=(2 k)2一(x一k)=0,即(x一k)[x一(k十 十1)-8=1>0：当k=一2时，△= 1)]=0, (-2+1)2一8=一7<0.故k的值 解得x1=k,=k十1， 为2. .一元二次方程2-(2+1)x十 6.k<17.b>38.2 十k■0的两个实数根分别为，是 9.4【解析】：a,3是一元二次方程x+ +1, 3x-7=0的两个根.a十B=一3，a 号中=+者该号有 +3a-7=0. .a2+3a=7, k+1 .d+4a十B=a+3a+a+B=7-3 =4. 若1十云为整数，则为1的约数， 10.8或9【解析】当4为腰长时，将x= ,k=士1： 4代人x-6x十n=0,得4°一6×4十 n=0,解得n=8. 若1一干为整数，则+1为1的 当n=8时，原方程为x2一6x十8=0， 约数， 解得x1=2,2=4, .k十1=士1，即k1=0,k:=一2. ,2十4>4，.=8符合题意： 综上，k的所有可能的值为士1,0和 当4为底边长时，则关于x的方程x -2. 一6x十n=0有两个相等的实数根， 15.解：(1)证明：4=（一8）一4×(16 ∴.△=（一6）2一4m=0,解得n=9. n2)=4m2. 当n=9时，原方程为x2一6x十9=0， m≠0， 解得1=：=3. .m>0, 3十3>4，.n=9符合题意 .△>0， 综上所述，n的值为8或9， 此方程总有两个不相等的实数根， 11.解：(1)证明：，a十c=一b,,a十b十c (2)由(1)，得△=4m2,且b≠c,.x =0. 8土J4m -.∴，x=4士m,.b=4十m, 当x=1时，ax2+bx+c=a十b十c 2 =0, =4一1， =1必是该方程的一个根. 当b=a,即4十m=6时，解得m=2, (2)a-b十c=0【解析】(2)当x= c=4一m=2,.底边上的高为 -1时，ax2+r十e=a-b+e, √-正=35， .当a一b十c=0时，方程ax十.x十 c=0必有一根是x=一1. 六△ABC的面积=立X2XV丽 12.解：(1)△=（一2m)2一4(m一1）(m =35: +1)=4>0, 当c=a,即4一m=6时，解得n= .方程有两个不相等的实数根 一2，b=4十n=2,.底边上的高为 (2),m为绝对值最小的数，m=0, √-1下=35， 此时原方程可化为一x十1=0，解得 1=14=-1. ∴△ABC的面积=号X2X3丽 13.解：(1)根据题意，得△=（一3）2一4 =35 ≥0，解得长号 综上所述，△ABC的面积为√35. (2)由(1)可知k=2, 周周清三一元二次方程的 ∴.一3x十2=0，解得=1，x=2. 实际应用 ,一次二次方程(m一1)x2十x十m一 1.D2.C3.C4.A5.106.10% 3=0与方程x2-3.x+k=0有一个相 7.24【解析】设这个两位数的个位数字 同的根， 是x,则十位数字是x一2∴这个两位 .当x=1时，m一1十1十m一3=0 数是10(x-2)十x,根据题意，得10(d 解得m=多 2)十r=3r(x一2).整理，得3x2 当x=2时，4(m一1)十2十m-3=0, 17x+20=0,解得=4函=号（含 解得m=1. 去)，.10(x一2)十x=24,即这个两位 ,m一1≠0，m≠1， 数是24.