精品解析：河南省周口市百师联盟2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题

2024～2025学年度高二6月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【详解】由椭圆的定义及题意，得，所以． 因为，所以，所以， 所以离心率． 故选：B． 3. 已知两个变量x与y对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 7.5 n 9 10.5 若y与x满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. y与x正相关 B. 在处的残差为0.25 C. D. 变量x每增加一个单位，y的值一定增加1.25个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断C；根据回归直线一次项系数判断A；计算残差判断B；由回归直线的实际意义判断D. 【详解】对于选项A，因为回归直线的斜率为，所以y与x正相关，故A正确； 对于选项B，当时，，所以在处的残差为，故B错误； 对于选项C，因为，所以， 所以，解得，故C错误； 对于选项D，变量x每增加一个单位，y的值很大可能增加1.25个单位，故D错误． 故选：A． 4. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得，即原数列的奇数项为等比数列，应用等比数列的通项公式求目标项. 【详解】因为对任意的，都有， 所以，所以， 所以数列的奇数项构成首项为1，公比为3的等比数列， 且是新数列的第1013项， 所以． 故选：D． 5. 从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（ ）． A. 24 B. 36 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设千位可选7,8，个位可选1,5,7，其它两个数在余下的数字任选2个，应用分类分步计数原理及排列数求四位数的个数. 【详解】因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8． 因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7． 若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5， 故符合题意的四位数有； 若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）． 综上，符合题意的四位数共有（个）． 故选：C． 6. 若函数在区间上单调递减，则实数b的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在上成立，在上恒成立，根据题意求的最小值，求解即可. 【详解】由题意在上成立， 即在上恒成立． 因为函数在上单调递增，所以当时，取得最小值， 所以，即实数b取值范围是． 故选：B. 7. 已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）． A. d的最大值为 B. d的最大值为 C. d的最小值为 D. d的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【详解】由直线l的方程，得． 令，， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值， 又， 因为，，求导，得． 解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为， 所以d的最小值为． 故选：D． 8. 如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点、的距离之积为定值．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得出，由三角形的面积公式以及曲线的定义得出，由此得出，，结合平方关系可求得的值. 【详解】因为原点在曲线上，所以． 设是曲线上任意一点，则由题意，得， 由，且，得， 所以， 由勾股定理可得， 设点，其中，， 则， 因为 ， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ）． A. 若随机变量X和Y满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有3件次品的8件产品中任取3件，取到的次品数为X，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数学期望的性质计算判断A，应用正态分布对称性计算概率判断B，应用二项分布方差公式计算判断C，根据超几何概率公式计算判断D. 详解】对于A选项，若随机变量X和Y满足，则． 又，即，解得，故A正确； 对于B选项，若随机变量，，则正态曲线关于直线对称． 由正态曲线的对称性，得，所以，故B正确； 对于C选项，若随机变量，则，故C正确； 对于D选项，在含有3件次品的8件产品中任取3件，取到的次品数为X， 则，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）． A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A正确； 因为，所以展开式中共有7项， 且第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项为， ，1，2，3，4，5，6，令，解得， 所以的系数为，故C正确； 令，得各项系数之和为，故D错误． 故选：ABC． 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点， ， ． 又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，． 1，，0，． ，，． 与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，， 由，即，得 取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d． 又2，， ， 点到平面DEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 13. 已知是函数的极值点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点代入导函数值为0计算求出参数，再代入检验，最后计算求函数值. 【详解】因为是函数的极值点，所以． 因为， 所以， 所以，解得， 所以． ，解，得或为极值点，满足题意． 所以． 故答案为：. 14. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量运算求得首项和公差，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d． 因为，，所以，解得，， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，① ，② ①－②，得 ， 所以． 16. 如图，在三棱锥中， 是边长为4正三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由证明线线垂直； （2）求出两平面法向量，由法向量夹角得二面角； （3）为平面SCM的一个法向量，点B到平面SCM的距离． 【详解】（1）证明：取的中点，连接 因为，，所以且. 因为平面平面，平面平面，所以平面，BO平面ABC， 所以. 如图所示，建立空间直角坐标系 则 所以 因为 所以； （2）由（1）得，所以 设为平面的一个法向量，则 ，取，则，所以 又因为为平面的一个法向量，所以 所以二面角的余弦值为. （3）由（1）（2）可得，为平面的一个法向量. 所以点B到平面的距离. 17. 某校数学兴趣小组为了研究本校学生每天整理错题与成绩的关系，在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 不是每天都整理 40 100 合计 200 （1）补全上述样本数据的2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值对比即可. （2）先通过采用分层随机抽样得抽取的成绩优秀与不优秀人数，求出所有可能的取值，及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完整的2×2列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 5 100 不每天都整理 60 40 100 合计 155 45 200 零假设为：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立， 即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关． 根据列联表数据，计算可得， 根据小概率的独立性检验．我们推断不成立， 所以有99.9％把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关． 【小问2详解】 不是每天都整理数学错题的学生中，总评优秀和非优秀的人数之比为， 由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中，有3名数学成绩总评优秀， 2名数学成绩总评非优秀．所有可能的取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 P 故． 18. 已知双曲线． （1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； （2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，使得，此时 【解析】 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【小问1详解】 设， 则，作差可得，所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. 【小问2详解】 假设存在定点，使得. 设，焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以， 代入上式可得， 整理可得，因为对于恒成立， 所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 19. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线的斜率为正，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，利用条件可得即可求解； （2）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，则，． 因为曲线在点处的切线的斜率为正， 即，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 当时，，， 则，． 因为，， 所以不等式的解集即不等式在上的解集． 解，得或， 所以当时，函数的单调递减区间为，． 【小问3详解】 因为，， 所以，， 令，因为函数在上有且只有一个极值点， 所以函数在上有且只有一个变号零点． 当时，对任意的，，不符合题意； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 则在值上单调递增， 因为，所以只需，符合题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需或，无解，舍去． 综上所述，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度高二6月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知椭圆左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知两个变量x与y对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 7.5 n 9 10.5 若y与x满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. y与x正相关 B. 在处的残差为0.25 C. D. 变量x每增加一个单位，y的值一定增加1.25个单位 4. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ）． A. B. C. D. 5. 从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（ ）． A. 24 B. 36 C. 60 D. 120 6. 若函数在区间上单调递减，则实数b的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）． A. d的最大值为 B. d的最大值为 C. d的最小值为 D. d的最小值为 8. 如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点、的距离之积为定值．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ）． A 若随机变量X和Y满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有3件次品的8件产品中任取3件，取到的次品数为X，则 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）． A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 系数为 D. 各项系数之和为 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为______． 13. 已知是函数的极值点，则______． 14. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，在三棱锥中， 是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 某校数学兴趣小组为了研究本校学生每天整理错题与成绩的关系，在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 不是每天都整理 40 100 合计 200 （1）补全上述样本数据的2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 18. 已知双曲线． （1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB中点坐标为，求直线l的方程； （2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线的斜率为正，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$