精品解析：上海市洋泾中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

洋泾中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义可得答案. 【详解】，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题. 2. 若复数（为虚数单位），则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数除法、模的计算公式求解即可. 【详解】若复数， . 故答案为：. 3. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 4. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式进行计算即可. 【详解】由， 则数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是该数列从小到大排列后的第5个数3, 故答案为：3. 5. 某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 【答案】200 【解析】 【详解】试题分析：设教师人数为，，解得，故填：200 考点：分层抽样 6. 已知向量，，，若与平行，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，结合向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】由题意，若与平行，则，解得. 故答案为：1. 7. 联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的边长为1，则根据题意正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成，再结合题意计算即可得答案. 【详解】 根据题意得，正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成， 设正方体的边长为，则四棱锥的底面边长为， 所以正八面体的体积为：，正方体的体积为：， 所以正八面体的体积和正方体的体积之比为：. 故答案为：. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意的最小值是，进一步列出关于的不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，等号成立当且仅当，即中一个大于或等于0，另外一个小于或等于0， 所以的最小值是， 所以，解得或. 故答案为：. 9. 设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数x的取值范围. 【详解】，则函数为偶函数 当时， ，在上单调递增 ， ， 即，即 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题. 10. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 当时，直线不是曲线的切线，故, 由得， 所以切线方程为， 即， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以． 故答案为：2. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题. 11. 已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知： ∴ 又对任意的实数，都有成立， ∴为的最小值， 为的最大值 ∴，，， ∴的最小值为 12. 斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合组合计数问题求出集合中非空子集个数，进而求出概率. 【详解】， 由数列，得每隔三项为奇数、偶数、奇数，不断重复出现， 则中奇数项有1350个，偶数项有675个， 由且，得集合的非空子集个数为个， 而中所有元素之和为奇数的集合个数为 则中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取特殊值排除A，B选项，利用指数函数的性质判断C选项，利用指数函数的性质结合基本不等式，从而判断D选项. 【详解】对A项，取，则，故A错误； 对B项，取，则，故B错误； 对C项，在上单调递减，，，故C错误； 对D项，在上单调递增，， 则，，当且仅当时取等号 即，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应用，属于中档题 14. 已知，则“直线与直线垂直”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 15. 已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，结合的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意，，设， 则，则，即， 将代入，得， 根据抛物线的定义，. 故选：C. 16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”的方程为，其中为参数.当时，该表达式即为双曲余弦函数，记为.类似地，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.则下列结论正确的个数为（ ） ①， ②， ③ ④当时，不等式在上有解 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，直接求导验算即可；对于②③，直接验算即可；对于④，令，只需判断在上的最大值是否大于0即可. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， ，故②正确， 对于③，，故③错误； 对于④，，令， 求导得，令， 求导得，所以在上单调递减， 所以，当充分大时，有， 所以存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故我们只需要判断是否成立即可， 令， 求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，不等式在上有解，故④正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间即可. （2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得参数值，再相加求结果即可. 【小问1详解】 由题意得 ， 由正弦函数最小正周期公式得最小正周期； 由，解得， 得函数的增区间为. 【小问2详解】 由得，，则， 因为，所以， 可得，故， 由三角形面积公式得，解得，记为①式， 由余弦定理得，记为②式， 联立①②解得或，故. 19. 2024年末公司的一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标公司的.某调研公司随机抽取公司和公司各25名客户，对其使用时产生的技术成本进行调研，并绘制成如图所示的茎叶图.（茎为十位数，叶为个位数） （1）请根据茎叶图判断，与哪家公司的技术成本较低？并说明理由； （2）若将技术成本小于80称为低成本运营，反之称为高成本运营.结合图表数据，补全下方列联表； 低成本运营 高成本运营 公司 公司 （3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为运营成本与公司有关？ 附：，. 【答案】（1）D公司技术成本较低；A公司平均技术成本为83.4，D公司平均技术成本为75.96 （2）8，17；17，8 （3），有95%把握 【解析】 【分析】（1）计算出两家公司的技术成本，再比较即可得出结论； （2）根据低成本运营的定义即可得解； （3）计算卡方，对比临界值即可得解. 【小问1详解】 A公司平均技术成本为：， 公司平均技术成本为：， 所以D公司技术成本较低； 【小问2详解】 由题意补全下方列联表： 低成本运营 高成本运营 公司 8 17 公司 17 8 【小问3详解】由（2）可知， ， 有95%的把握认为运营成本与公司有关. 20. 已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，由椭圆的性质得出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，由数量积公式得出， 当直线的斜率存在时，设出方程，并联立椭圆方程，由韦达定理求出，再由数量积公式得出，再结合的范围求出的取值范围； （3）设出直线，直线的方程，联立两直线方程求出点的纵坐标，再结合，从而可求解. 【小问1详解】 因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. 【小问3详解】 点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 21. 已知函数， （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间； （Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：. 【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时，在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论. 试题解析：（Ⅰ）由，得.所以 令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 . （Ⅱ）由得， 当时，因为，所以显然不成立，因此. 令，则，令，得. 当时，，，∴，所以，即有. 因此时，在上恒成立. ②当时，，在上为减函数，在上为增函数， ∴，不满足题意. 综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是. （III）证明：由知数列是的等差数列，所以 所以 由（Ⅱ）得，在上恒成立. 所以. 将以上各式左右两边分别相加，得 .因为 所以 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 2. 若复数（为虚数单位），则_____. 3. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 4. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______. 5. 某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 6. 已知向量，，，若与平行，则实数_____. 7. 联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为_____. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 9. 设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________. 10. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________． 11. 已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________ 12. 斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则“直线与直线垂直”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”的方程为，其中为参数.当时，该表达式即为双曲余弦函数，记为.类似地，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.则下列结论正确的个数为（ ） ①， ②， ③ ④当时，不等式在上有解 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值. 19. 2024年末公司的一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标公司的.某调研公司随机抽取公司和公司各25名客户，对其使用时产生的技术成本进行调研，并绘制成如图所示的茎叶图.（茎为十位数，叶为个位数） （1）请根据茎叶图判断，与哪家公司的技术成本较低？并说明理由； （2）若将技术成本小于80称为低成本运营，反之称为高成本运营.结合图表数据，补全下方列联表； 低成本运营 高成本运营 公司 公司 （3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为运营成本与公司有关？ 附：，. 20. 已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 21. 已知函数， （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间； （Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $