第02讲 平面向量综合（6.3平面向量基本定理及坐标表示+平面向量综合）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量综合（复习温故） 目录 高频考点1：用基底表示向量 1 高频考点2：三点共线与等和线 4 高频考点3：向量数量积的坐标运算 7 ①向量的模与坐标运算 7 ②向量的夹角与坐标运算 10 ③两个向量成锐角或钝角 13 高频考点4：平行与垂直关系的坐标表示 16 ①向量平行与坐标表示 16 ②向量垂直与坐标表示 19 高频考点5：向量数量积（含最值、范围） 21 ①基底法 21 ②自主建系法（定值） 24 ③自主建系法（最值、范围） 28 ④极化恒等式法 34 ⑤转化法 40 高频考点6：向量模的最值（或范围） 45 高频考点7：向量夹角的最值（或范围） 49 高频考点1：用基底表示向量 1．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可. 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 2．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则． 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为是的重心，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解. 【详解】如下图所示， . 故选：D 5．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】如图，. 故选：B. 高频考点2：三点共线与等和线 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（   ） A．3 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】 如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，则，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值8. 故选：B 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图所示，设，，线段与交于点，且，则（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可得，再根据，，三点共线的向量的性质求解. 【详解】由题意知，又，，三点共线， 故，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则 ． 【答案】3 【分析】由题意得，又得，将用表示，利用三点共线即可求解. 【详解】由是的一条中线，所以， 又，，所以， 又，，代入上式，可得， 又因为三点共线，所以，故得. 故答案为：3. 5．（24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 核心知识点 1、三点共线： 已知，若，则、、三点共线 2、向量的等和线定理 平面内一组基底， 若点在直线上或者平行于的直线上(定值) （1）当点恰好在直线上时，； （2）当点在与直线之间时，； （3）当点在直线右侧时，； 高频考点3：向量数量积的坐标运算 ①向量的模与坐标运算 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】B 【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值. 【详解】由两边平方化简得， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：B 2．（24-25高一下·河南·期末）已知点，其中，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求出向量坐标，根据向量模的坐标表示和基本不等式，求出模长的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以.   故选：C. 4．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用数量积求出后可得. 【详解】由题意得，, 故， 故选：C. 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量，，与共线，则 . 【答案】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知向量，满足. (1)求最小值； (2)若，求向量的坐标表示. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）方法一：由，化简可得，从而可得最小值；方法二：由向量的坐标运算可得，结合二次函数的图象性质可得最小值. （2）由向量的坐标运算可得，解方程组可得结果. 【详解】（1）解：（1）法一：，设和的夹角为，则 ，， ，即最小值为. 法二：设，由，可得， ， 故当时，取最小值，最小值为. （2）设，由，可得， ，可得，即， 解得：，， 所以向量的坐标表示为或. ②向量的夹角与坐标运算 1．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】设，由已知可得且，求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求解即可. 【详解】设，因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 解得或，所以或， 当时，可得， 又因为，所以， 当时，可得， 又因为，所以， 综上所述：与的夹角的大小为. 故选：B. 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系求出答案. 【详解】由题意得，，， 故， 由向量夹角性质得， 则. 故选：A. 3．（2025·广东揭阳·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结果. 【详解】由题意可得，故. 故选：A. 4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由，，得， 所以，又， 所以， 所以， 故选：C 5．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. (1)用表示； (2)已知，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立平面直角坐标系，由向量的夹角公式和坐标运算可得. 【详解】（1）. （2） 以为原点，建立如图所示直角坐标系， 由，可得， 是边上的中线，则， 则，， 所以. ③两个向量成锐角或钝角 1．（2025·陕西·模拟预测）已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围. 【详解】因为向量， 所以. 所以向量夹角的余弦值为： 因为向量的夹角为钝角，所以 解得且（当时），所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（2025·江西新余·模拟预测）已知平面向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围是： ． 【答案】 【分析】由且不共线可得答案. 【详解】由题可得且不共线，则且. 故答案为：． 3．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 【答案】且. 【分析】转化为数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】，当，则，解得， 且此时为共线同方向， 若与的夹角为锐角，则，且去掉同方向共线的情况， 则，解得， 则且. 故答案为：且. 4．（24-25高一下·贵州·期中）已知向量，其中，请解答下列问题： (1)若，求实数的值； (2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据向量的模的值可求出的值. （2）首先将向量的坐标表示出来，然后求向量与向量的数量积，然后利用向量数量积大于0且去掉向量同向共线的情况即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，因为，所以或. （2）因为，所以. 所以. 因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且去掉同向共线的情况， 则，解得， 当与共线时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求值； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式（其中为两向量的夹角）来求解的值；（2）先求出与的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）已知，，且与的夹角为. 可得. ，. 然后根据向量的数量积公式，可得： ，即. 两边同时平方可得，展开化简得，解得. （2）由（1）可知，则，. 因为向量与所成的角是锐角，所以且与不共线. . 由，即，移项得，解得. 若两向量共线，则对应坐标成比例，即，化简得，两边同时除以得，展开得，移项化简得，解得. 所以当两向量不共线时，. 综上，实数的取值范围是. 核心知识点 1、为钝角，或者 2、为锐角，或者 注意解此类题时排除或者情况，否则容易造成错解. 高频考点4：平行与垂直关系的坐标表示 ①向量平行与坐标表示 1．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】由，，可得： ，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 3．（24-25高一下·山西阳泉·期末）已知平面向量，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标表示的结论求参数的值. 【详解】由，得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合平行四边形的性质，根据向量相等的坐标运算列式求解即可. （2）先根据向量的线性运算求得与的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）设，则，， 因为，所以，解得． 所以D点的坐标为． （2）由题意得，， 所，． 因为，所以，解得. 5．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值； (3)若， 求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量夹角的取值范围可得出与的夹角； （2）根据可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求出的值，可求出的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标运算可求出实数的值. 【详解】（1）设与的夹角为，则， 因为，所以． （2）因为，所以，所以， 所以， 所以． （3）． 因为，所以，解得． ②向量垂直与坐标表示 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：C. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 3．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【详解】（1）； （2）； （3）已知，因为， 即，所以. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量运算及模的坐标表示计算； （2）由求解； 【详解】（1）由，，得， 故； （2）与垂直， ， ，整理得：， 解得. 高频考点5：向量数量积（含最值、范围） ①基底法 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算用表示，再利用数量积计算得解. 【详解】由题，，，， ， ， . 故选：D. 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据向量的线性关系列式求解； （2）应用平行四边形性质特征得出，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1）因为是平行四边形，点E是DC的中点，所以， 所以， 所以，所以； （2）因为是平行四边形，点F是BE的中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 所以 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，即可求解； （2）利用（1）中结果，由向量数量积的定义和运算律，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以； 因为，，所以， 所以． （2）由题知，，，的夹角为， 所以. 4．（24-25高一下·湖北恩施·期中）在中，，，，设，，，． (1)用表示，并求． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）因为，， 所以， ， 又， 所以 ． ②自主建系法（定值） 1．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，且，是的中点，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，    则、、、，则， 所以，， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图，已知与为全等的正六边形，且，点为边IJ的中点，则的值为（   ）. A．30 B．32 C．35 D．36 【答案】C 【分析】根据已知图形特征建立直角坐标系求出坐标，再应用平面向量数量积坐标公式计算求解即可. 【详解】以分别为轴建立直角坐标系， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示：    由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则 【答案】/ 【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得的值. 【详解】设，则为、的中点，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 所以，，故. 故答案为：. 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，记向量在向量上的投影向量为，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，利用投影向量的意义求出，进而求出数量积. 【详解】依题意，，连接，则，， ，点，，向量同向共线， 因此，而，所以. 故答案为：. ③自主建系法（最值、范围） 1．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则下列不是的最大值的是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，其中且，根据数量积的坐标表示得到，再由几何关系求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，其中且， 所以， 所以， 因为，当且仅当点或点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：ABD 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】以为原点，，所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 设，， ，， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，， (1)求的值； (2)若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立直角坐标系得出再代入计算求解系数即可； （2）设，结合中点坐标得出 ，再应用数量积坐标公式结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 可得，，， 因为， 则，所以； （2）因为点F在线段BE：，上， 设，，且G为AF中点，则， 可得，， 则， 且，函数单调递增， 所以当时，取到最小值为； 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. ④极化恒等式法 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 3．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【答案】(1)10； (2)240； (3)-32. 【分析】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解； （2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； （3）连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值 【详解】（1） （2）设 ，由（1）知 ，即 ① ,同理可得 ，即 ② 由①②解得 5．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 核心知识点 求向量数量积最值（或范围）问题 1、定义法（包含几何意义法） 2、用基底表示向量 3、坐标法（往往自己建系） 4、极化恒等式法 4.1平行四边形形式：若在平行四边形中，则 4.2三角形形式：在中，为的中点，所以 ⑤转化法 1．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 故选：A 2．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的几何意义可解问题. 【详解】过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示： 其中，故， 当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时， ， 综上所述，. 故选：D. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【详解】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的几何意义，向量在另一向量上的投影的模长与另一个向量的模长的乘积，就是向量的数量积，找出投影向量模长的最大值和最小值即可求出数量积的范围. 【详解】 由题意可知，且，所以, 则, 为在上的投影,当点在线段上时，投影模长最大，因为正八边形外角为，边长为2，此时投影模长为，数量积为， 当点在线段上时，此时投影为负值，模长为，数量积为， 则的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【答案】 【分析】根据向量的加减法化简，结合模长及数量积的运算律计算求解. 【详解】如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是.      高频考点6：向量模的最值（或范围） 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为，， 设 ，则 ， 当时，的最小值为2. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量的模长分别为，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合题意可设，，，表示出，进而求解出最大值. 【详解】由，则， 不妨设，，， 则， 则 ，其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为，，，则 ；若非零向量满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解；设且，由得且，根据平面向量模的坐标运算即可求解． 【详解】，所以； ，且， 不妨设且，则， 由得，，即，则， 由，则，解得， 则， 所以， 所以的最小值为； 故答案为：，． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，向量满足. (1)若，求的坐标； (2)与夹角为120°，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，利用已知条件列出方程组求解； （2）利用向量数量积运算求得模关于t的函数表达式，进而配方求得最小值. 【详解】（1）设，因为， 所以，即①， 又，，则②.， 由①得，代入②得：， ，解得或. 当时，；当时，. 所以或. （2）由（1）知，，则， ， 则 ， 当时，. 6．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，，，试求： (1)与的夹角； (2)的最小值，其中. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律列式求出最小值. 【详解】（1）由，得，而，，则， 因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）知，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 高频考点7：向量夹角的最值（或范围） 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则由题意可设，，有，再利用向量夹角公式与基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则由，，可设，， 则，即，则 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，故. 故选：A. 2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 3．（2025·江苏苏州·三模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意设出向量的坐标，再由向量夹角余弦公式，化简后利用二次函数性质求最值即可得解. 【详解】设向量， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即，故可设， 所以， 所以 ， 由二次函数性质，当时，的最小值为 故答案为：. 4．（2025·山西晋城·模拟预测）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值; (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值； （2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出； （3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果. 【详解】（1）如图，将放在坐标系中，为原点， 设，， 因为，所以， 又， 所以， 解得， 即，即，又， 可得， 又面积， 所以当时，面积的最大，且为. （2）在中，的面积为， 因为是中点，所以的面积是面积的一半， 即，所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，即， 所以. （3）如图，以为原点，建立坐标系， 则，设，则， 又， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以，， 即的取值范围为. 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】（1）点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可； （2）由平面向量基本定理可得，由，，三点共线求出，由此可求出实数x，y的值； （3）法一：点为中点，因为，所以以为直径的圆与圆外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设，，则，求出，，由向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）易得，且为正三角形， 所以，. 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， ， 得，， 所以.    （2）， 又因为，，三点共线，所以，解得. ， ，解得， （3）法一：点为中点，因为， 所以以为直径的圆与圆外切. 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为，即的最小值为0. 法二：设， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， ，. 当时，取到最小值0， 所以的最小值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量综合（复习温故） 目录 高频考点1：用基底表示向量 1 高频考点2：三点共线与等和线 2 高频考点3：向量数量积的坐标运算 4 ①向量的模与坐标运算 4 ②向量的夹角与坐标运算 5 ③两个向量成锐角或钝角 6 高频考点4：平行与垂直关系的坐标表示 7 ①向量平行与坐标表示 7 ②向量垂直与坐标表示 8 高频考点5：向量数量积（含最值、范围） 9 ①基底法 9 ②自主建系法（定值） 11 ③自主建系法（最值、范围） 12 ④极化恒等式法 13 ⑤转化法 17 高频考点6：向量模的最值（或范围） 19 高频考点7：向量夹角的最值（或范围） 20 高频考点1：用基底表示向量 1．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 高频考点2：三点共线与等和线 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（   ） A．3 B．8 C． D．9 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图所示，设，，线段与交于点，且，则（    ）    A． B．2 C． D．3 3．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则 ． 5． （24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 核心知识点 1、三点共线： 已知，若，则、、三点共线 2、向量的等和线定理 平面内一组基底， 若点在直线上或者平行于的直线上(定值) （1）当点恰好在直线上时，； （2）当点在与直线之间时，； （3）当点在直线右侧时，； 高频考点3：向量数量积的坐标运算 ①向量的模与坐标运算 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 2．（24-25高一下·河南·期末）已知点，其中，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量，，与共线，则 . 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知向量，满足. (1)求最小值； (2)若，求向量的坐标表示. ②向量的夹角与坐标运算 1．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. (1)用表示； (2)已知，求的余弦值. ③两个向量成锐角或钝角 1．（2025·陕西·模拟预测）已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）已知平面向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围是： ． 3．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 4．（24-25高一下·贵州·期中）已知向量，其中，请解答下列问题： (1)若，求实数的值； (2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知向量，且与的夹角为. (1)求值； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 核心知识点 1、为钝角，或者 2、为锐角，或者 注意解此类题时排除或者情况，否则容易造成错解. 高频考点4：平行与垂直关系的坐标表示 ①向量平行与坐标表示 1．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·山西阳泉·期末）已知平面向量，，且，则 . 4．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 5．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值； (3)若， 求实数的值. ②向量垂直与坐标表示 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值. 高频考点5：向量数量积（含最值、范围） ①基底法 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 4．（24-25高一下·湖北恩施·期中）在中，，，，设，，，． (1) 用表示，并求． ②自主建系法（定值） 1．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，且，是的中点，则（    ） A． B．3 C．2 D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图，已知与为全等的正六边形，且，点为边IJ的中点，则的值为（   ）. A．30 B．32 C．35 D．36 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 . 5．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，记向量在向量上的投影向量为，则 ． ③自主建系法（最值、范围） 1．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则下列不是的最大值的是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，， (1)求的值； (2)若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值． 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． ④极化恒等式法 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 5．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 核心知识点 求向量数量积最值（或范围）问题 1、定义法（包含几何意义法） 2、用基底表示向量 3、坐标法（往往自己建系） 4、极化恒等式法 4.1平行四边形形式：若在平行四边形中，则 4.2三角形形式：在中，为的中点，所以 ⑤转化法 1．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 2．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 6．（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    高频考点6：向量模的最值（或范围） 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量的模长分别为，且，则的最大值为 . 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为，，，则 ；若非零向量满足：，则的最小值为 ． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，向量满足. (1)若，求的坐标； (2)与夹角为120°，求的最小值. 6．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，，，试求： (1)与的夹角； (2)的最小值，其中. 高频考点7：向量夹角的最值（或范围） 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·三模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为 ． 4．（2025·山西晋城·模拟预测）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值; (3)若，求的取值范围. 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$