精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

进才中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则_______． 2. 已知，则__________． 3. 超市的某种水果的60%来自A供应商，40%来自B供应商，两个供应商的一级果率分别是95%和90%．从超市中任取一个该种水果，它是一级果的概率为______． 4. 若数据的方差为3，则数据的方差为_________． 5. 在的展开式中，的系数为___________. 6. 函数的单调递减区间为__________． 7. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________． 8. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 9. 研究人员开展甲、乙两种药物临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则______． 10. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0050 0010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为_______． 12. 已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每小题4分，15-16每小题5分） 13. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 15. 为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为 收入万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出万 5.9 7.8 81 8.4 9.8 A. 12.68万元 B. 13.88万元 C. 12.78万元 D. 14.28万元 16. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素 三、解答题 17 已知集合集合，集合. （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角. 19. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 20. 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 21. 已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数；再根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】由可得：， 则. 故答案为：. 3. 超市的某种水果的60%来自A供应商，40%来自B供应商，两个供应商的一级果率分别是95%和90%．从超市中任取一个该种水果，它是一级果的概率为______． 【答案】93%####0.93 【解析】 【分析】由概率公式计算即可得出结果 【详解】解：任取一个该种水果，它是一级果的概率 故答案为：93% 4. 若数据的方差为3，则数据的方差为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题根据方差的概念和性质计算即可得出答案. 【详解】设数据的平均数为，则， 因为其方差为3，所以， 又因为的平均数， 所以其方差为 ， 故答案：12. 5. 在的展开式中，的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，进而得到的系数. 【详解】展开式的通项为， 令，即， 所以， 所以的系数为， 故答案为：. 6. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 7. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________． 【答案】##0.104 【解析】 【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故答案为：. 8. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 9. 研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】求出，结合求出，进而利用求条件概率公式求出答案. 【详解】由题意可知，则． 又， 所以， 则． 故答案为： 10. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率. 【详解】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，， 则，，， 又点在双曲线左支， 则， 则，且轴， 即点在直线上， 同理点在直线上， 即轴于点，且， 设，则， 则，， 即， 又，则， 化简可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：. 12. 已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合和，可求得，利用导数求出的单调区间和极值，画出的图象，结合图象可求得结果. 【详解】由，得， 令，则， 所以，因为，所以， 所以，所以， 故， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，，， 当时，，所以的图象如图所示， 因为不等式的解集中恰有3个整数， 所以时，不等式的解集中恰有3个整数， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据已知条件求出的解析式，然后利用导数画出的图象，结合图象求解. 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每小题4分，15-16每小题5分） 13. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值，否定A、B、C三个选项，对于D利用不等式的可乘性直接证明. 【详解】对于A：取特殊值，符合，但是，不满足，故A不成立; 对于B：取特殊值，符合，但是，不满足，故B不成立; 对于C：取特殊值，符合，但是，不满足，故C不成立; 对于D：因为，由不等式的可乘性，成立.故D成立. 故选：D 14. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得. 【详解】由求导，可得：. 而，故. 故选：C. 15. 为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为 收入万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 A. 12.68万元 B. 13.88万元 C. 12.78万元 D. 14.28万元 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据表格中的数据计算出.带入计算出，从而得出回归直线方程. 【详解】由表可得： 所以， 所以回归直线方程： 当时, 故选：A 【点睛】本题主要考查了平均数、线性回归方程，属于基础题. 16. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【解析】 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题 17. 已知集合集合，集合. （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求解出集合和集合，再根据交集和并集的定义进行计算. （2）根据是成立的必要不充分条件得出集合与集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 已知，解不等式： 移项可得，通分得到，即. 此不等式等价于. 解，可得，所以. 已知，当时，. 解不等式，可得，即，所以. 所以. . 【小问2详解】 已知，解不等式，可得，即，所以. 因为是成立的必要不充分条件，所以. 则有（不能同时取等号），解得. 所以实数的取值范围是 18. 如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）分别取的中点，可证得为平行四边形，则，故直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，由平面，得为直线与平面所成角，在直角三角形求解即可. 【小问1详解】 连接，则是，交点， ∵，分别是，的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 分别取的中点，连接， ∵分别是的中点，∴， 又∵，∴， ∴为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成角与直线与平面所成角相等， ∵平面，∴为直线与平面所成角， ∵在直角三角形中，， ∴，∴， ∴直线与平面所成角. 19. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）最小值为，相应的 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 【小问3详解】 由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 20. 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）0；（ii）. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出. （2）（i）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算计算即得；（ii）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式可得，再借助判别式求出范围. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是. 21. 已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【小问1详解】 结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. 【小问2详解】 假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. 【小问3详解】 由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $