精品解析：上海市宜川中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

宜川中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 2. 圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式即可求解. 【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，点到原点的距离， ∴根据三角函数的定义可知， ∴. 故答案为：. 4. 已知复数（i为虚数单位），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出共轭复数，根据复数的乘法及模长的运算法则求解即可. 【详解】因为，则，，. 故答案为： 5. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式结合辅助角公式可得出的值. 【详解】因为 ，故. 故答案为：. 6. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径、母线长，然后得到底面积与表面积，从而得到母线与半径的比值，进而得到母线与底面所成角. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为. 由题可知，则，所以， 因为，所以， 故答案为：. 7. 某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【解析】 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 8. 在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 【答案】0 【解析】 【分析】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知：有以下几种方法得到： ①从的个括号中选个，的个括号中选个； ②从的个括号中选个，的个括号中选个； ③从的个括号中选个，的个括号中选个； ④从的个括号中选个，的个括号中选个； ∴的系数为：. 故答案为：. 9. 已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. 【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解. 【详解】由，， 可得，又， 解得：. 故答案为：56. 11. 直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】 如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 12. 在平面凸四边形中，，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，，应用正余弦定理得，，在中用余弦定理、三角恒等变换得，即可求的最大值. 【详解】令，则， 令，又为平面凸四边形，则，且， 在中 ， 由，则， 所以， 故当时，最大，则最大. 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13－14题4分，15－16题5分． 13. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 14. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 15. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 16. 足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ） A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立 C. ①②都成立 D. ①②都不成立 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出；求出的关系，再求出通项公式，进而作差判断. 【详解】由乙或丙传球给其他两个人，得，①正确； 依题意，第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人， 有的概率将球传给甲，于是，， 而，因此是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，则， ，，②错误. 故选：A 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题 17. 设实数满足，：实数满足. （1）若，且都为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【小问1详解】 时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； 【小问2详解】 ，， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面． （1）求证：平面平面； （2）求二面角所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用勾股定理得出线线垂直，再应用线面垂直得出平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用二面角定义结合线面垂直得出二面角所成角的平面角为，再计算边长求解. 【小问1详解】 由底面是直角梯形，， 结合勾股定理计算可得：， 在直角梯形中， 则，所以， 又因为平面平面，所以， 且，且平面， 所以平面平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 ∵平面平面，又∵， ∴为二面角的平面角． 在Rt中，， 19. 某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 （1）从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； （2）从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【小问1详解】 这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； 【小问2详解】 由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 略 21. 已知，. （1）求的最大值； （2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】（1）最大值为-2 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导得，利用导数研究单调性，进而求得最大值； （2）由得，即，由（1）即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于，与相切于，由题意有，消去得，令，利用导数研究单调性即可求证. 【小问1详解】 有题意有，定义域为， 所以，令，解得或（舍去）， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减， 故当时，函数取到最小值，最大值为-2. 【小问2详解】 令， ，即，由（1），在上严格增，在严格减， 又，， ，， 图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数， 当时，有两个交点，即方程有2个解； 当时，有一个交点，即方程有1个解； 当时，有零个交点，即方程有0个解； 【小问3详解】 假设直线与曲线、均相切，与相切于， 与相切于， ，，则， 消去得，令， 则，令得或，又，所以， 当，，严格增， 又，， 则，，，有唯一零点； 当，，严格减， 又，， 则，，，有唯一零点， 综上所述，在区间和各有一个零点， 即证有且只有两条直线与曲线、均相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 关于x的方程的解集为__________． 2. 圆的半径为__________． 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则__________． 4. 已知复数（i为虚数单位），则__________． 5. 已知，则__________． 6. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 7. 某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 8. 在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 9. 已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 10. 设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. 11. 直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 12. 在平面凸四边形中，，则的最大值为_____. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13－14题4分，15－16题5分． 13. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 14. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 16. 足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ） A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立 C. ①②都成立 D. ①②都不成立 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题 17. 设实数满足，：实数满足. （1）若，且都为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面． （1）求证：平面平面； （2）求二面角所成角的余弦值． 19. 某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 （1）从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； （2）从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 21. 已知，. （1）求的最大值； （2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $