精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县浦北中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

数学 总分：100分 一、选择题 1. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 2. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 且 ∵关于的分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， 故选：B． 3. 小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时），根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 在爷爷上山80米后，小强开始追赶 B. 小强在2分钟后追上爷爷 C. 爷爷早锻炼到山顶一共用了8分钟 D. 小强的速度是爷爷的速度的2倍 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知在爷爷先上了80米后，小强开始追赶；由图象，两条线段的交点即为小强追上爷爷所用的时间；由y轴纵坐标可知，山顶离地面的高度，又有爷爷的速度，可求爷爷所用的时间；利用路程÷时间＝速度，即可求出速度的关系． 【详解】A.由图象可知小强让爷爷先上了80米，故A正确，不符合题意； B.小强用2分钟追上，故B正确，不符合题意； C.爷爷速度为：（400−80）÷8＝40（米/分钟）， 爷爷早锻炼到山顶一共用了：80÷40＋8＝10（分钟），故C错误，符合题意； D.小强速度为：400÷5＝80（米/分钟）， 爷爷速度为：（400−80）÷8＝40（米/分钟）， 80÷40＝2，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是弄清横纵坐标代表的量，能够看懂一些简单的图形． 4. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 5. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ∴，，， ∴， ，故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故③错误； ④， 由②得， ，故④正确； ⑤， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤错误； 故正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 6. 如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为　　 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP＋EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE＋PB的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， 正方形的面积是4，点是边的中点， ，， 在中，， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题的关键． 7. 如图，正方形的对角线相交于点O，边长为4，等腰直角三角形绕点O转动，当E、A、D三点共线时，与的交点G恰好是的中点，则线段的长为（　　） A. 12 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】作于点H，连接，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线点性质及等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 作于点H，则， ∴， 连接，∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键. 二、填空题 8. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，可得，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：由折叠得：， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即的长为， 故答案为：． 9. 已知是正整数，则正整数的最小值是 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，解题关键是将分解成一个完全平方式和一个代数式的积的形式．将分解成，则是完全平方数，即可求得满足条件的最小正整数． 【详解】解：是正整数， 即是完全平方数， 正整数的最小值是． 故答案为：． 10. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点P的坐标，根据图象，即为的图象在图象的上方，由此得到不等式的解集 【详解】解：将点代入中， 得， 解得， ∴ ∴不等式的解集为 故答案为 11. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 12. 如图，矩形中，，点E、F分别是上的动点，，则的最小值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，连接，作点A关于的对称点G，连接，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：连接，作点A关于的对称点G，连接，如图所示： 则， 在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值等于的最小值，即的长度， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J． 在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°， ∴AB＝AC•cos30°＝4， ∵BD＝， ∴AD＝AB﹣BD＝3， ∵∠AHD＝90°， ∴DH＝AD＝， ∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝， ∴B′J≥DH﹣DB′， ∴B′J≥， ∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识． 14. 一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：∵展开后如下图所示，则有， 由勾股定理得：， ∴或（舍去）． ∴它的最短路线的长是， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图形的变化得出的变化规律，判断出点的所在象限，再求出其坐标即可． 【详解】解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动(次)， 而， ， ， …， (n为正整数)， 即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ， 点的在第四象限的角平分线上， ∴， 设点，其中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． 三、计算题 16. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）应将销售单价定为15元 （3）此时W的最大值为2160元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的应用、不等式的应用： （1）利润等于销量乘以售价与进价之差，由此可列函数关系式； （2）结合（1）中结论列一元二次方程，解方程即可； （3）先求出销售单价x的取值范围，再将二次函数一般式化为顶点式，即可求出W的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ； 【小问2详解】 解：由， 解得或． ∵销量随售价x的增大而减小， ∴售价越小，销量越高，越有利于减少库存， ∴应将销售单价定为15元； 【小问3详解】 解：由，且，解得， ， ∴当时，W随着x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大为． 答：此时W的最大值为2160元． 17. 某商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价7.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元． 【解析】 【分析】(1) 设每次下降百分率为，，得方程，求解即可 (2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价元之间的函数关系式．即可求解． 【详解】解：（1）设每次下降百分率为，根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克涨价元，由题意得： ∵，开口向下，有最大值， ∴当（元）时，（元） 答：每千克水果应涨价7．5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案 18. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． 在 Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴， ， ∴四边形 AECD 的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键． 19. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． 如图，矩形中，，，过对角线中点O的直线分别交，边于 （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）求证：△ADE≌△CBF； （3）当四边形BEDF是菱形时，直接写出线段EF的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2） ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴DE=BF， ∵矩形ABCD， ∴∠DAE=∠BCF=90°，AD=BC， 在Rt△ADE与Rt△CBF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）； （3）EF= 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据△BOE≌△DOF可知DE=BF，由AD=BC，∠DAE=∠BCF=90°即可证明△ADE≌△CBF；（3）设BE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6﹣x）2， 解得：x=， ∵BD= ， ∴OB=BD=， ∵BD⊥EF， ∴EO=， ∴EF=2EO=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形、菱形的性质，灵活运用勾股定理是解决问的关键． 20. 课本上正方形的第2课时中，有如下一道作业题： 如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，，求证： 在同学们完成作业题后，王老师对该题进行了改编： （1）如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，、．求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在菱形ABCD（为钝角）中，E、F分别是BC、CD上的点 ①探究和的关系，并说明理由； ②若，求CE的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵AE＝BF， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AB＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴矩形ABCD是正方形； （2）①∠AGB+∠C＝180°；② 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CBF，进而判断出△ABE≌△BCF（AAS），得出AB＝BC，即可得出结论； （2）①过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于N，利用菱形的面积判断出AM＝BN，进而得出Rt△AME≌Rt△BNF（HL），得出∠AEB＝∠BFN，即可得出答案； ②先判断出Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），得出BM＝CN，再判断出ME＝NF，进而求出CN，最后用勾股定理求解，即可求出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①∠AGB+∠BCD＝180°，理由： 过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于N， ∴∠AMB＝∠AME＝∠BNF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD， ∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•BN， ∴AM＝BN， ∵AE＝BF， ∴Rt△AME≌Rt△BNF（HL）， ∴∠AEB＝∠BFN， ∵∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠AEC+∠BFC＝180°， ∴∠EGF+∠BCD＝180°， ∵∠EGF＝∠AGB， ∴∠AGB+∠BCD＝180°； ②由①知，∠AMB＝∠BNC＝90°，AB＝BC，AM＝BN， ∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL）， ∴BM＝CN， 由①知，Rt△AME≌Rt△BNF， ∴ME＝NF， ∵CF＝2， ∴ME＝CN+CF＝CN+2， ∵BE＝6， ∴BM+ME＝CN+CN+2＝6， ∴CN＝2， ∴FN＝CN+CF＝4， 在Rt△BNF中，∠BFN＝∠AEB＝60°， ∴∠FBN＝30°， ∴BN＝NF＝4， 根据勾股定理得，BC＝， ∴EC＝BC﹣BE＝2﹣6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 21. 已知平行四边形，E为边上的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）若F为边上一点，连接； ①如图2，若，，求； ②如图3，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）①5； ②，证明如下： 延长，交延长线于点G，如图， 由①可知 ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，再由等边对等角得出，利用平行四边形的性质得出，再由等量代换即可证明； （2）①延长，交延长线于点G，根据平行四边形及全等三角形的判定和性质得出，，然后结合图形求解即可；②延长，交延长线于点G，由①中全等三角形的判定和性质得出，再利用等腰三角形的判定和性质得出，结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①延长，交延长线于点G，如图， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴； ②略 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）当时，四边形是平行四边形； （3）当或秒时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，则可用含的式子表示出； （2）根据四边形是平行四边形，且，得到，则，求解即可； （3）分两种情况讨论：①，②，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（1）知．，， ∵是等腰三角形，且， ∴①当时， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ， ②当时，过点作于，如图： ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ∵点在边上，不和重合， ∴此种情况符合题意， 综上，或秒时，是等腰三角形． 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：． 【解析】 【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式； （2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ． 【小问1详解】 解：将点，代入得： 解得 ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ①由（1）可知：， 设直线BC：，将点，代入得： 解得 ∴直线BC：，则直线MN：． ∵抛物线的对称轴：， 把代入，得， ∴． 设直线CD：，将点，代入得： 解得 ∴直线CD：． 当时，得， ∴， ∴． ②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： （I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上， ∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即． 由点D在直线MN上，设． 如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则． 过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，解得． ∴， 如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则． 同理可证：， ∴， ∵，， ∴，解得． ∴ （II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方． ∴如图2-3，存在一种平行四边形，即． 设，，同理可证：， ∴， ∵，，， ∴． 解得 ∴，． 综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 当点F的坐标为时，点D的坐标：或； 当点F的坐标为时，点D的坐标：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键. 24. 如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为，， （2）当点Q的坐标为或或或时，四边形的面积为2 （3）存在，、、、 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再用待定系数法求出，； （2）先设，然后根据矩形的面积公式求出的值即可； （3）设点坐标为，点坐标为，然后分当和为对角线时，当和为菱形对角线时，当和为菱形对角线时三种情况，由中点坐标公式以及菱形的邻边相等求出，，的值即可． 【小问1详解】 令，则， 点的坐标为， 将，两点坐标代入到直线中， 得， 解得， 点的坐标为，，； 【小问2详解】 点为直线上（不与、重合）一动点， 设， 轴，轴， ，， 四边形的面积为2， ， 解得或2或或， 当点的坐标为，或或或时，四边形的面积为2； 【小问3详解】 设点坐标为，点坐标为， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ，，，， ①当和为对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 点的坐标为； ②当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，； 当时，， 点的坐标为或， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， 此时以，，，为顶点无法构成菱形， 点不符合题意，舍去， 点的坐标为； ③当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，，当时，， 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 25. 已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于A、两点，直线经过点A，与轴交于点． ． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点P为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点P的坐标； （3）如图2，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式： （2）或 （3）存在，点的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可； （2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． （3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可． 【小问1详解】 设直线的解析式， 直线：与轴，轴分别交于A、两点， 令，则， 解得，； 令，则 ，， 设直线的解析式为 直线经过点A，与轴交于点， ， ， 直线的解析式：； 【小问2详解】 ∵点，， ∴ 设点的横坐标为，纵坐标为， ， 或． 或； 【小问3详解】 设将沿着轴平移个单位长度得到， ， ，， 设点坐标为， 当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况： 当时，即， 此时，即点在轴上， 且， 点与点A重合，即． 当时， ，， ， 解得， 此时，即点在轴上， 且， ． 当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称， 当向左移动，，，， ， 解得或舍， 当向右移动时，，，， ， 解得舍或舍， ， ． 综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 总分：100分 一、选择题 1. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3. 小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时），根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 在爷爷上山80米后，小强开始追赶 B. 小强在2分钟后追上爷爷 C. 爷爷早锻炼到山顶一共用了8分钟 D. 小强的速度是爷爷的速度的2倍 4. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为　　 A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，正方形的对角线相交于点O，边长为4，等腰直角三角形绕点O转动，当E、A、D三点共线时，与的交点G恰好是的中点，则线段的长为（　　） A. 12 B. 4 C. 8 D. 2 二、填空题 8. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 _______ ． 9. 已知是正整数，则正整数的最小值是 ____ ． 10. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 11. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 12. 如图，矩形中，，点E、F分别是上的动点，，则的最小值是 _______． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____． 14. 一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______． 三、计算题 16. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 17. 某商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？ 18. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 19. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． 如图，矩形中，，，过对角线中点O的直线分别交，边于 （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）求证：△ADE≌△CBF； （3）当四边形BEDF是菱形时，直接写出线段EF的长． 20. 课本上正方形的第2课时中，有如下一道作业题： 如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，，求证： 在同学们完成作业题后，王老师对该题进行了改编： （1）如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，、．求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在菱形ABCD（为钝角）中，E、F分别是BC、CD上的点 ①探究和的关系，并说明理由； ②若，求CE的长． 21. 已知平行四边形，E为边上的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）若F为边上一点，连接； ①如图2，若，，求； ②如图3，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于A、两点，直线经过点A，与轴交于点． ． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点P为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点P的坐标； （3）如图2，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $