截面最值 讲义-2026届高三数学一轮复习

立体几何中的截面问题 知识点一 截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点) 叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 知识点二 作截面的几种方法 1. 平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 2. 延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 模型演练：如下图E、F是中点，找到平面与正方体的截面。 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 3、正方体中的基本截面类型 【题型一】求截面的面积 【例1】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 【例2】如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP， 所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 【例3】正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 . 【答案】 【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱， 其中， 则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ， 所以过点A、E、F的截面为AEGF， 因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以， 在中，连接H1F交于，则为的重心， 所以，因为， 所以， 又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 变式1 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ． 变式2 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 变式3 已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4】在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E； 在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q； 在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为，则∽，设其相似比为k，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则，即． 又平面，平面，所以，． 又，则，． 因为，则∽，则， 因为，所以，即,同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面，即四边形为截面图形； 又平面，平面，则，又，所以． 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，, 故选：B 变式4 在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 . 【题型二】圆锥的截面问题 【例5】圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得， 所以，因为为锐角，所以，即，则θ为钝角， 所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为，故选：A. 【例6】已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形， 设正三角形的边长为，可得，解得， ∴底面圆的半径为，圆锥的高为，所以该圆锥的体积. 【例7】若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以，，所以，， 为矩形，设，所以，所以， 所以，即，即，解得. 故选：C. 变式5 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式6 某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ． 变式7 已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ） A．当时，S的最大值为 B．当时，S的最大值为 C．当时，S的最大值为 D．当时，S的最大值为 【题型三】先做垂面再找截面 【例8】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 变式8 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型四】球的截面 【例9】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为， 所以截面圆的半径为，所以，． 过O作PA的垂线，垂足为D，则， ∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去； 当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．综合①②可知，， 故选：B． 变式9 若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 变式10在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例11】已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】在正方体中，设平面平面，且平面， 由平面平面，可得，所以是的中点， 又四面体的外接球的直径为，可得半径， 设是的中点即球心，球心到平面的距离为， 又设与的交点为，则，则， 则，则截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 故选：A． 【例12】在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接. 因为三角形为直角三角形，故， 同理，故， 所以为三棱锥的外接球的球心，而， 因为，平面，平面平面， 平面平面，故平面， 而平面，故. 在直角三角形中，，故，故， 在直角三角形中，， 故，故. 设球心到以为直径的截面的距离为， 则， 故选：B. 变式11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 变式12 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ． 【例13】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则， 设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则， 由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为 故选：B 课后作业 1. 在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形； ②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 2. 已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 4. 在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 . 5. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6. 已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 7. 已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的截面问题 一、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 二、作截面的几种方法 （1）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 三、正方体中的基本截面类型 【题型一】求截面的面积 【例1】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 【例2】如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 【例3】正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 . 【答案】 【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱， 其中， 则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ， 所以过点A、E、F的截面为AEGF， 因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以， 在中，连接H1F交于，则为的重心， 所以，因为， 所以， 又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 变式1 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ． 【答案】 【详解】如图，在正方体中， 平面平面， 平面与平面的交线必过且平行于， 故平面经过的中点，连接，得截面， 易知截面是边长为的菱形，其对角线， ，截面面积． 故答案为：． 变式2 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M， 连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面. 过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：， 在中，，则， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 由余弦定理：，则， 所以截面周长为：. 故选：B. 变式3 已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接、，设，连接， 易知为正四棱锥的高，连接交于点． 因为点、分别为、的中点，则， 因为，所以，为的中点． 连接并延长交于点，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，则， 四边形为所求的截面四边形，如图1． 因为正四棱锥的体积为，底面的面积为， 所以底面是边长为的正方形，则， 由，可得， 在中，过点作交于点，交于点， 过点作交于点，如图2． 因为，则． 又为的中点，为的中点，所以，， ，， 所以，， 则，，所以， 故，所以，则，得． 故四边形的面积为， 故选：C． 【例4】在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E； 在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q； 在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为，则∽，设其相似比为k，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则，即． 又平面，平面，所以，． 又，则，． 因为，则∽，则， 因为，所以，即,同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面，即四边形为截面图形； 又平面，平面，则，又，所以． 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，, 故选：B 变式4 在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 . 【答案】3 【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则. 当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，， 设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角， ， 其中为定值， ，时，取得最大值， 即截面面积最大，此时是所在棱中点， 由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半， 同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为. 故答案为：3. 【题型二】圆锥的截面问题 【例5】圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得， 所以， 因为为锐角，所以，即，则θ为钝角， 所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为. 故选：A. 【例6】已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形， 设正三角形的边长为，可得，解得， ∴底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 故答案为：. 【例7】若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以，，所以，， 为矩形，设，所以，所以， 所以，即，即，解得. 故选：C. 变式5 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、， 如图，设为过圆锥顶点的截面， 因为底面，， 因为，为的中点，所以， 由题意可知：，， 设，，则，， 所以，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为． 故选：A． 变式6 某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h, 根据题意作出圆锥的轴截面， 由可得，则该三棱柱的高，， 则该三棱柱的体积，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以时，V取得最大值，且最大值为． 故答案为：. 变式7 已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ） A．当时，S的最大值为 B．当时，S的最大值为 C．当时，S的最大值为 D．当时，S的最大值为 【答案】D 【详解】如图,将圆台补成圆锥. 设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面. 设，由，得, 则， 当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大， 则的最大值为. 当时,，当时，截面面积最大， 则的最大值为. 故选：D. 【题型三】先做垂面再找截面 【例8】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 变式8 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记的中点分别为E，F，连接， 由正方体性质可知，平面， 因为平面，所以 又为正方形，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以 因为P，E分别为的中点，所以，所以， 同理可证， 又，平面，所以平面， 所以三角形即为平面截正方体所得截面， 易知三角形为正三角形，，所以截面周长为. 故选：C 【题型四】球的截面 【例9】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为， 所以截面圆的半径为，所以，． 过O作PA的垂线，垂足为D，则， ∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去； 当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．综合①②可知，， 故选：B． 变式9 若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心， 可得，， 设球的半径为，在三角形中，由， 即，解得，即，所以， 因为在中，，， 所以，，， 由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直， 设过且垂直的截面圆的半径为，则，所以，最小的截面面积为. 故选：A 变式10在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取的中点,连接, 因为，所以，即为球心， 则球的半径,又,所以, 又平面平面，平面平面平面. 所以平面， 设，则,所以， 所以三棱锥的体积. 当时,取得最大值， 由于，在中，由余弦定理得:      根据球的性质可知，当垂直于截面时，截面圆的面积最小， 设此时截面圆的半径为，所以. 则截面面积的最小值为. 故选:C. 【例11】已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正方体中，设平面平面，且平面， 由平面平面，可得，所以是的中点， 又四面体的外接球的直径为，可得半径， 设是的中点即球心，球心到平面的距离为， 又设与的交点为，则，则， 则，则截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 故选：A． 【例12】在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接. 因为三角形为直角三角形，故， 同理，故， 所以为三棱锥的外接球的球心，而， 因为，平面，平面平面， 平面平面，故平面， 而平面，故. 在直角三角形中，，故，故， 在直角三角形中，， 故，故. 设球心到以为直径的截面的距离为， 则， 故选：B. 变式11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于， 如图所示：则由题可得， 设平面截得球的截面圆的半径为， 当EF在底面圆周上运动时，到平面的距离 所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确； 故选：D. 变式12 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】连接,由,可知：和是等边三角形, 设三棱锥外接球的球心为, 所以球心到平面和平面的射影是和的中心,， 是等边三角形,为中点,所以, 又因为侧面底面,侧面底面，侧面， 所以底面,而底面,因此, 所以是矩形,应为和是边长为4的等边三角形, 所以两个等边三角形的高, 在矩形中,， 连接,所以, 设过点的平面为,当时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形, 可得, 因此圆的半径为, 所以此时面积为,当点在以为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大, 面积为:,所以截面的面积范围为. 故答案为：.    【例13】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则， 设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则， 由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为 故选：B 课后作业 1. 在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形； ②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 【答案】 ①③. 【详解】如图①，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接， 因为M为AB中点，N为BC中点，所以，同理， 又因，所以， 同理，所以共面， 此时六边形为截面， 所以截面为六边形；故①正确； 如图②，延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形 因为，所以， 所以，即， 所以当时，截面为五边形；故②错误； 当截面为四边形时，点与点重合，如图， 由①得，，所以四边形即为截面， 设正方体的棱长为1，则，，所以， 所以四边形是等腰梯形；故③正确. 故答案为：①③. 2. 已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为. 故选:D． 3. 如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 【答案】 【详解】设正方体棱长为1，， 如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体， 由面面平行的性质可知：， 延长，相交于点，则平面，且平面， 又平面平面， 所以在直线上，即三线共点， 所以几何体为三棱台， 其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1， 所以，解得：， 所以. 故： 4. 在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 . 【答案】 【详解】取的中点为，连接，， 因为点分别是、、的中点， 由正方体性质可得，所以四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 四边形即为经过线段且平行于平面的截面图， 正方体棱长为，所以，，，，所以截面图形周长为. 故答案为：.   5. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】  正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径， 要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点， 连接，则，所以， 此时截面圆的半径，此时，截面面积的最小值. 故选：C. 6. 已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径. 由勾股定理得棱锥的高设球的半径为， 则，解得，所以，即与重合， 所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为.故选：A. 7. 已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ． 【答案】或 【详解】在等腰梯形中，连接，如图， 因为，，，则，， 于是，取中点，连接，则， 得均为正三角形， 即有，即是梯形外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD， 则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于， 而此截面圆半径为，则，连接，在中，， 在中，，， 即有，解得或，所以或. 故答案为：或 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$