垂直的判定及性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

§1 线面垂直，面面垂直的判定定理及性质 一、直线与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 （一） 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 判定 定理 （二） 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理（一） 一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于此平面内的任一条直线 性质定理（二） 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、平面与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内存在一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直（或一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直） 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（1，找两垂直平面的交线；2.找垂直于交线的直线；3，则垂线垂直于另一个平面） 【例1】已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于 【答案】C 【详解】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交， 否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交， 设，过直线作平面与平面交于直线，如图，则， 同理过作平面与平面交于直线，则， 所以，，，则，又，，则， 所以．故选：C． 【例2】已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误； 对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确； 对于选项D：若，，但不能得到， 所以虽然，不能得到，故D错误；故选：C. 变式1已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 垂直判定和性质默写 一、直线与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 （一） 判定 定理 （二） 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理（一） 性质定理（二） 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、平面与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（1，找两垂直平面的交线；2.找垂直于交线的直线；3，则直线垂直于另一个平面） §2 线线垂直的证明 1、 相交垂直证明 （一）与长度有关的垂直 1、 等腰三角形，做出中线，则中线垂直于底边。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 ①在三角形ABC中，若AB=AC，则一定要取BC中点D，并连接AD，则ADBC。 ②已知D为AB中点，若要证明PDAB，则连接PA，PB，只要证明PA=PB即可，等腰三角形的逆运用。 2、 平移勾股。 3、两个特殊的梯形，对角线垂直于腰。 ①1:1:2的直角梯形。则，则ACBC ②1:1:1:2的等腰梯形，则，则ACBC，同理BDAD 4、 斜边上的中线等于斜边的一半。 5、 相似三角形，四边形内部的两条相交直线的垂直可考虑用相似证明。 ABCD为矩形，E为AB中点。在，且，则，则，又因为2+3=900，所以+2=900，所以ACDE。 （二）与长度无关的垂直 6、 特殊的平行四边形，尤其是600的菱形，里面有6组中线垂直于底边。 7、 圆直径所对的圆周角是。 8、 平行的传递性，平行可以传递垂直关系，但是垂直不行。 ① 但是不成立。 ② 但是不成立。 9、 通过线面垂直的性质。 2、 异面垂直证明 1、平行的传递性，可以通过平移至相交之后，再去证明垂直。 2、线面垂直的性质，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 线面垂直的证明步骤 垂直于平面内两条相交的垂直，如何找到这两条直线，方法如下： 步骤一：展开；先把平面内的不平行的线段都罗列出来。 步骤二：几选二；从步骤一中选择两条线段证明。选择的时候遵循以下两个原则： 1、优先选择自带垂直关系的线段。 2、其次选择相交的线段。 步骤三：证明；选定了2条线段之后，再证明之前，先确定两直线的位置关系（相交还是异面），由位置关系决定采用哪种证明手段。 其中异面垂直的证明，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 1. 等腰三角形（有等腰三角形，就做出底边上的中线，则底边上的中线会垂直于底边） 【例1】在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点，求证:平面； 变式1 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，四边形BCC1B1为菱形，∠BCC1＝，D为B1C1的中点．证明：B1C1⊥平面A1DB； 2. 平移勾股 【例2】 在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．求证：平面； 3. 特殊的梯形（1:1:2的直角梯形和1:1:1:2的等腰梯形，对角线垂直于腰，注意梯形也可能在侧面） 【例3】 如图，已知多面体中，，，均垂直于平面.，，，.证明：平面； 变式2 四棱柱中，侧棱底面，，，.，为棱的中点，证明：平面； 4. 异面直线的垂直证明 【例4】 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，是的中点，点在上，证明： 变式3 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，是的中点，点在上，且.证明：平面. 异面垂直的证明，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 5.相似三角形（四边形内部的两条相交直线，通常要画底面的平面展开图，从展开图中证明垂直关系） 【例5】已知直三棱柱中，， ，E、F分别是、的中点，证明：平面； 过点做平行交与点,连接 变式4 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 6. 线面垂直（线垂直于另一条直线所在的平面，从而证明线垂直于线） 【例6】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点． 证明：平面 变式5 如图，四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．求证：平面； 7. 面面垂直的性质 【例7】如图，C是以为直径的圆上异于的点，平面平面分别是的中点. 证明：平面； 首先根据平面平面可以得到： 变式6 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面. 求证：平面； 线面垂直课后练习 1. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点．证明：平面PCD； 2．如图三棱柱中，侧面，已知，，，求证：平面： 3.如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．求证：； 4．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱，E为SB的中点，且.求证：平面； 5．如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且． 证明：面； 6. 如图，四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．求证：平面； §3 面面垂直的证明----列举排除法 面面垂直证明的关键是在平面内找一条线和另一个平面垂直，那么应该找哪条线垂直于另一个平面呢？ 方法一：通常都是找垂直于交线的直线，证明该直线垂直于另一个面。 方法二：如果我们找不到的话，也可以1、把所有可能的线段⊥平面的关系都列出来，2、然后优先选择验证自带垂直的线段，3、再用线面垂直证明方法去展开，并证明。例如：要证明平面DEF，首先先列出前者平面ABC的中的所有线段⊥平面的可能情况，不行的话再去列出后者平面DEF的中的所有线段⊥平面的可能情况： — 6 — 学科网（北京）股份有限公司 DEF DEF DEF ABC ABC ABC 再去根据题目中已知的垂直关系，优先验证自带垂直关系的线段是否可行。 【题型一】可以找到交线 【例1】如图，三棱锥中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等边三角形，AD＝BD＝1，M为BC中点. 证明：平面ABC⊥平面ADM； ，且，所以要证明 【例2】 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB上任意一点，求证：平面ACM ⊥平面PAB. ，并不存在已知的某条线段，所以我们用列出所有的线段，并选择一条证明。 首先验证前者平面中的线段垂直于后者： 变式1 正方形，且平面平面，，，，，为的中点，求证：平面平面； 【题型二】找不到交线 【例3】 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，， 求证：平面平面PCD． 根据已知条件平面平面ABCD可得： 首先验证前者平面中的线段垂直于后者（没有交线，列出所有线段来） 变式2 四棱锥的底面ABCD是菱形，面ABCD，，E，F分别是CD，PC的中点，求证：平面平面PAB； 【题型三】折叠问题 【例4】如图，在平行四边形中，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．证明：平面平面； （折叠前后与折痕角度不会发生变化） ，且，所以要证明 变式3 为矩形的边上一点，且，将沿折起到，使得. 证明：平面平面； 添加辅助线的方法（找到隐藏的垂线） 1、 等腰/等边--一定做底边的中线（三线合一，中线垂直于底边） 2、 有中点可以考虑找到另一边的中点做中位线（平行与底边）。同理如果是其他几等分点（例如三等分点），同样也是找到另一条边的几等分点，连接构建平行线。 3、 大多数题目证明不出来的原因是图形中有一些隐藏的等腰三角形没有找到，所以我们会考虑利用勾股或者余弦定理求解出所有的边长，找到隐藏的等腰，然后做出中线。 【例1】 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为等边三角形，，是的中点. 证明：平面平面； 交线是，且，所以要证明， 取中点N，连接MN，DN； 【例2】 已知是半圆的直径，，为圆周上一点，， ，，为中点，证明。 取中点，连接，。 变式1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形，，，为等边三角形，E在棱PD上，，。证明：平面PAB平面ABCD 【例3】如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，平面，，且.证明：平面平面； 交线是，找条线垂直于PC，取中点F,连接EF，则，所以要证明： 变式2 如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面为的中点，平面，求证：面 面； 面面垂直证明课后练习 1．四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.证明：平面平面； 2．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，点是的中点，作交于． （1）求证：平面平面． （2）求证：平面． 3．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，. 证明:平面平面； 培优练习 1．如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点． 求证：； 2．如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，. 证明：； 3．如图，在四棱柱中，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，且.    求证：平面； 4．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．求证：平面平面；    5．如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，.证明：平面平面； 6．如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点.证明：平面平面； 7．如图甲，在四边形中，，，将沿折起得图乙，点是上的点，若为的中点，证明：平面； 8．如图1，在四边形中，，，.为的中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.    证明：平面； — 6 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1 线面垂直，面面垂直的判定定理及性质 一、直线与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 （一） 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 判定 定理 （二） 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理（一） 一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于此平面内的任一条直线 性质定理（二） 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、平面与平面垂直的判定与性质： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内存在一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直（或一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直） 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（1，找两垂直平面的交线；2.找垂直于交线的直线；3，则垂线垂直于另一个平面） 【例1】已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于 【答案】C 【详解】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交， 否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交， 设，过直线作平面与平面交于直线，如图，则， 同理过作平面与平面交于直线，则， 所以，，，则，又，，则， 所以． 故选：C．      【例2】已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误； 对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确； 对于选项D：若，，但不能得到， 所以虽然，不能得到，故D错误； 故选：C. 变式1已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】若，则或，A错； 若，与不一定垂直，因此不正确，B错误； 由面面垂直的判定定理知C正确； 若，则或，D错误． 故选：C． §2 线线垂直的证明 1、 相交垂直证明 （一）与长度有关的垂直 1、 等腰三角形，做出中线，则中线垂直于底边。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 ①在三角形ABC中，若AB=AC，则一定要取BC中点D，并连接AD，则ADBC。 ②已知D为AB中点，若要证明PDAB，则连接PA，PB，只要证明PA=PB即可，等腰三角形的逆运用。 2、 平移勾股。 3、两个特殊的梯形，对角线垂直于腰。 ①1:1:2的直角梯形。则，则ACBC ②1:1:1:2的等腰梯形，则，则ACBC，同理BDAD 4、 斜边上的中线等于斜边的一半。 5、 相似三角形，四边形内部的两条相交直线的垂直可考虑用相似证明。 ABCD为矩形，E为AB中点。在，且，则，则，又因为2+3=900，所以+2=900，所以ACDE。 （二）与长度无关的垂直 6、 特殊的平行四边形，尤其是600的菱形，里面有6组中线垂直于底边。 7、 圆直径所对的圆周角是。 8、 平行的传递性，平行可以传递垂直关系，但是垂直不行。 ① 但是不成立。 ② 但是不成立。 9、 通过线面垂直的性质。 2、 异面垂直证明 1、平行的传递性，可以通过平移至相交之后，再去证明垂直。 2、线面垂直的性质，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 线面垂直的证明步骤 垂直于平面内两条相交的垂直，如何找到这两条直线，方法如下： 步骤一：展开；先把平面内的不平行的线段都罗列出来。 步骤二：几选二；从步骤一中选择两条线段证明。选择的时候遵循以下两个原则： 1、优先选择自带垂直关系的线段证明。 2、其次选择相交的线段。 步骤三：证明；选定了2条线段之后，再证明之前，先确定两直线的位置关系（相交还是异面），由位置关系决定采用哪种证明手段。 其中异面垂直的证明，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 1. 等腰三角形（有等腰三角形，就做出底边上的中线，则底边上的中线会垂直于底边） 【例1】在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点，求证:平面； 变式1 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，四边形BCC1B1为菱形，∠BCC1＝，D为B1C1的中点．证明：B1C1⊥平面A1DB； 2. 平移勾股 【例2】 在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．求证：平面； 3. 特殊的梯形（1:1:2的直角梯形和1:1:1:2的等腰梯形，对角线垂直于腰，注意梯形也可能在侧面） 【例3】 如图，已知多面体中，，，均垂直于平面.，，，.证明：平面； 变式2 四棱柱中，侧棱底面，，，.，为棱的中点，证明：平面； 4. 异面直线的垂直证明 【例4】 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，是的中点，点在上，证明： 变式3 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，是的中点，点在上，且.证明：平面. 异面垂直的证明，转化为后者垂直于前者所在的平面（平面的选择必须同时经过后者自身垂直的线段，即该平面为前者和自身垂直的线段共同确定的平面）。 5.相似三角形（四边形内部的两条相交直线，通常要画底面的平面展开图，从展开图中证明垂直关系） 【例5】已知直三棱柱中，， ，E、F分别是、的中点，证明：平面； 过点做平行交与点,连接 变式4 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 6. 线面垂直（线垂直于另一条直线所在的平面，从而证明线垂直于线） 【例6】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点． 证明：平面 变式5 如图，四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． 求证：平面； 7. 面面垂直的性质 【例7】如图，C是以为直径的圆上异于的点，平面平面分别是的中点. 证明：平面； 首先根据平面平面可以得到： 变式6 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面. 求证：平面； 首先面面垂直条件可得： 线面垂直课后练习 1.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点．证明：平面PCD； 根据平面平面ABCD可以得到： 2． 如图三棱柱中，侧面，已知，，，求证：平面： 3.如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．求证：； 4．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱，E为SB的中点，且. 求证：平面； 5．如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且． 证明：面； 6. 如图，四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．求证：平面； §3 面面垂直的证明----列举排除法 面面垂直证明的关键是在平面内找一条线和另一个平面垂直，那么应该找哪条线垂直于另一个平面呢？ 方法一：通常都是找垂直于交线的直线，证明该直线垂直于另一个面。 方法二：如果我们找不到的话，也可以1、把所有可能的线段⊥平面的关系都列出来，2、然后优先选择验证自带垂直的线段，3、再用线面垂直证明方法去展开，并证明。例如：要证明平面DEF，首先先列出前者平面ABC的中的所有线段⊥平面的可能情况，不行的话再去列出后者平面DEF的中的所有线段⊥平面的可能情况： — 6 — 学科网（北京）股份有限公司 DEF DEF DEF ABC ABC ABC 再去根据题目中已知的垂直关系，优先验证自带垂直关系的线段是否可行。 【题型一】可以找到交线 【例1】如图，三棱锥中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等边三角形，AD＝BD＝1，M为BC中点. 证明：平面ABC⊥平面ADM； ，且，所以要证明 【例2】 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB上任意一点.求证：平面ACM ⊥平面PAB. ，并不存在已知的某条线段，所以我们用列出所有的线段，并选择一条证明。 首先验证前者平面中的线段垂直于后者： 变式1 正方形，且平面平面，，，，，为的中点.求证：平面平面； 平面平面，可得： ，且，所以要证明 【题型二】找不到交线 【例3】 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，， 求证：平面平面PCD． 根据已知条件平面平面ABCD可得： 首先验证前者平面中的线段垂直于后者（没有交线，列出所有线段来） 变式2 四棱锥的底面ABCD是菱形，面ABCD，，E，F分别是CD，PC的中点，求证：平面平面PAB； 首先验证前者平面中的线段垂直于后者（没有交线，列出所有线段来） 【题型三】折叠问题 【例4】如图，在平行四边形中，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．证明：平面平面； （折叠前后与折痕角度不会发生变化） ，且，所以要证明 变式3 为矩形的边上一点，且，将沿折起到，使得. 证明：平面平面； 交线是，找不到交线的垂线，则如图做，则只需证明。 添加辅助线的方法（找到隐藏的垂线） 1、 等腰/等边--一定做底边的中线（三线合一，中线垂直于底边） 2、 有中点可以考虑找到另一边的中点做中位线（平行与底边）。同理如果是其他几等分点（例如三等分点），同样也是找到另一条边的几等分点，连接构建平行线。 3、 大多数题目证明不出来的原因是图形中有一些隐藏的等腰三角形没有找到，所以我们会考虑利用勾股或者余弦定理求解出所有的边长，找到隐藏的等腰，然后做出中线。 【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为等边三角形，，是的中点. 证明：平面平面； 交线是，且，所以要证明， 取中点N，连接MN，DN； 【例2】 已知是半圆的直径，，为圆周上一点，，，，为中点，证明。 取中点，连接，。 变式1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形，，，为等边三角形,E在棱PD上，，。证明：平面PAB平面ABCD 交线是，且，所以要证明， 取三等分点N，使得，连接EN，BN； 【例3】 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，平面，，且，证明：平面平面； 交线是，找条线垂直于PC，取中点F,连接EF，则，所以要证明： 变式2 如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面为的中点面．求证：面面； 取中点，连接，则，四点共面； 已知面，根据线面平行的性质，线//交线，则，； 找交线DE的垂线，，故只需证明。 面面垂直证明课后练习 1．四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点. 证明：平面平面； 2．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，点是的中点，作交于． （1）求证：平面平面． （2）求证：平面． 3．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，. 证明:平面平面； 培优练习 1．如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点． 求证：； 【详解】因为三棱柱是直三棱柱， 所以面，又面，故， 因为，所以，则两两垂直， 故以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故， 所以， 所以，故. . 2．如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.证明：； 【详解】连接，，，，， 由余弦定理可得. 满足，所以，即. 因为平面平面，且交线为，由，平面，得平面. 由平面，得，. 因为，，且，平面， 所以平面. 由平面，得. 设，，有，解得：，即. 所以，满足，即. 又因为，，且，平面， 所以平面. 由平面，得. 3．如图，在四棱柱中，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，且.    求证：平面； 【详解】证明：由四边形是平行四边形，，，且为的中点， 则在中，，，， 由余弦定理得， 所以，即， 又由，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. 4．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．    求证：平面平面； 【详解】证明：如图，取的中点K，连接，， ∵为正三角形，，∴． ∵底面为直角梯形，，， ，，，∴． 又，，∴． 又，，，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 5．如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. 证明：平面平面； 【详解】证明：连接与交于点，连接，则， 又分别为的中点，所以，则， 因为，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以， 在菱形中，， 则在中，由余弦定理得=， 因为，所以，则， 又，平面，平面 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 6．如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点. 证明：平面平面； 【详解】连接，因为，且为线段中点，则， 又因为，，平面， 所以平面， 由平面，可得，所以， 取的中点，连接， 因为，则，且， 可知，可得， 且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 7．如图甲，在四边形中，，，将沿折起得图乙，点是上的点. 若为的中点，证明：平面； 【详解】由题意，，且，故四边形是平行四边形. 又，所以是正三角形，四边形是菱形. 如图所示： 取的中点，连接， 是正三角形，则，. 又，平面， 所以平面，又平面, 所以. 取的中点，连接， 则，即四点共面. 又，则， 由，，，平面， 平面. 8．如图1，在四边形中，，，.为的中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.    证明：平面； 【详解】如图，取的中点，连接， 又因为为的中点， 所以． 因为，故，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 所以，， 因为面， 所以平面.    — 6 — 学科网（北京）股份有限公司 $$