延伸平面找截面 讲义-2026届高三数学一轮复习

怎么通过延伸一个平面找到截面 为什么要延伸一个平面？当一个平面太小的时候，就找不到该平面与其他平面的交线。 怎么办？延展一个平面有2种方式。做平行线或者做延长线。 方法一：做平行线。过点C做AB的平行线CD，则CD直线和平面ABC共面。如此平面ABC扩大成平面ABCD，同理可以过A做BC的平行线，也能把平面ABC扩大，（总结为过一点做其对边的平行线） 方法二：做延长线。延伸AB至点D，则ABCD四点共面，如此平面ABC扩大成平面ABCD。同理可以反向延长AB等方式均可延伸平面ABC。（注意延长一条直线，得先确定直线在哪个平面内，只有基于其所在的平面，不然延长的方向确定不了） 【例1】画出平面ADE与正方体的各个平面的交线。 变式1画出平面AEF与正方体的各个平面的交线，其中E,F均为中点。 【例2】画出平面AEF与正方体的各个平面的交线，其中E，F均为中点。 变式2画出平面AEF与正方体的各个平面的交线，其中E为中点，F为三等分点。 变式3画出平面GEF与正方体的各个平面的交线，其中E，F，G为中点。 【例3】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）． ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形 【答案】①②③ 【分析】 分情况和两种情况作出截面，并判断②③，再通过平移交点，即可判断①④. 【详解】 如图1，当时，，这时过A，，三点的截面与交于点，，且，截面为等腰梯形； 当时，过A，，三点的截面与的交点在棱上，截面S为四边形，故①②正确． 如图2，当时，设截面S交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，取的中点，作交于点，则，且，即为的中点，∴，，，可得，故③正确． 易知当时，只需上移即可，此时S仍如图2所示的五边形，故④错误． 故答案为：①②③ 变式3在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形； ②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 【答案】 ①③. 【分析】 ①延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，结合图形即可判断； ②延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断； ③当截面为四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可. 【详解】 解：如图①，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接， 因为M为AB中点，N为BC中点， 所以， 同理， 又因， 所以， 同理， 所以共面， 此时六边形为截面， 所以截面为六边形；故①正确； 如图②，延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形 因为，所以， 所以，即， 所以当时，截面为五边形；故②错误； 当截面为四边形时，点与点重合，如图， 由①得，，所以四边形即为截面， 设正方体的棱长为1， 则，，所以， 所以四边形是等腰梯形；故③正确. 故答案为：①③. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$空间几何体的交线与截面问题 【例 1】(1)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 DD1 和 BB1 上的点，MD＝ 1 3 DD1，NB＝ 1 3 BB1， 那么正方体中过 M，N，C1 的截面图形是( ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （2）在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E是 BC的中点，平面 α经过直线 BD且与直线 C1E平行，若正方体 的棱长为 2，则平面 α截正方体所得的多边形的面积为________. 【跟踪训练】(1)(多选)正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，已知平面 α⊥AC1，则关于 α 截此正方体所得 截面的判断正确的是( ) A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为 3 3 (2)(2022·兰州模拟)如图，正方体 A1C 的棱长为 1，点 M 在棱 A1D1 上，A1M＝2MD1，过 M 的平面 α 与 平面A1BC1 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________． 第 1 页，共 7 页 1 1 1 1ABCD A B C D− 21．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）如图，直四棱柱 的所有棱长均为 ， 3 π BAD = ， E 是侧棱 1AA 的中点，则平面 1B CE 截四棱柱 1 1 1 1ABCD − A B C D 所得的截面图形的周长是（ ） A．3 2 + 2 5 2+ B．2 2 + 2 75 + C．3 2 + 5 2+ D．3 72 + 5 + 2．（2023·全国·模拟预测）在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD − A B C D 中，O为 AC与 BD的交点，P为 1 1A D 上一 点，且 A P = 2PD1 1 ，则过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ） A．4 13 B．6 2 C．2 13 + 2 2 D．2 13 + 4 2 3．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E为 CC1 的中点，点 P，Q分别为面 A1B1C1D1和线段 B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ） A．2 2 B． 10 C． 11 D．2 3 第 2 页，共 7 页 4．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知 P 、Q 、R 分别是正方体 的棱 AB 、BC 和 1 1C D 的 中点，由点 P 、Q 、 R 确定的平面  截该正方体所得截面为（ ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 1 1 1 1ABCD − A B C D a 5．（2019·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）一正方体的棱长为 ，作一平面 与正方体一条体对角线垂直，且 l与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为 ，则（ ） A． [4 ,3 2a]l a B． 4l a= C． l 3 a2= D．以上都不正确 1．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 的所有棱长均为 2 ， π 3 BAD = ， E 是侧棱 1AA 的中点，则平面 1B CE 截四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 所得的截面图形的周长是（ ） A．3 2 2 5 2+ + B．2 2 2 5 7+ + C．3 2 5 2+ + D．3 2 5 7+ + 【答案】D 【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形 1B CGE ，求出梯形 1B CGE 周长即为所求. 【详解】连接 1B E 与BA 的延长线交于点 F , 连 接CF 与 AD 交于点G , 因为 1 1 1 , / / 2 AE BB AE BB= , 所以A 为 BF 的中点, 则G 为 AD 的中点, 所以截面为梯形 1B CGE , 因为所有棱长均为 2, π 3 BAD = ， 所以 2π 3 CDG = , 2 2 1 1 1 1 2 2B C B C CC= + = , 2 2 1 1 1 1 5B E A B A E= + = , 2 2 2EG AE AG= + = 2 2 2 cosCG CD GD CD GD CDG= + −     2 2π1 2 2 1 2 cos 7 3 = + −    = , 故梯形 1B CGE 的周长为 3 2 5 7+ + . 参考答案 第 4 页，共 7 页 故选：D. 2．（2023·全国·模拟预测）在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，O为 AC与 BD的交点，P为 1 1A D 上一 点，且 1 12A P PD= ，则过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ） A．4 13 B．6 2 C．2 13 2 2+ D．2 13 4 2+ 【答案】D 【分析】根据正方体的性质结合条件作出过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得. 【详解】因为 1 12A P PD= ，即 1 1 1 1 3 D P AD= ， 取 1 1 1 1 3 D H D C= ，连接 1 1, ,PH HC AC ，则 1 1/ /HP AC ， 又 1 1/ /AC AC ， 所以 / /HP AC ， 所以 , , , ,A O C H P共面，即过A ， P ，O 三点的正方体的截面为 ACHP ， 由题可知 2 23 2 13AP CH= = + = ， 2PH = ， 1 1 3 2A C = ， 所以过 A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为 4 2 2 13+ . 故选：D. 3．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E为 CC1 的中点，点 P，Q分别为面 A1B1C1D1和线段 B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ） 第 5 页，共 7 页 A．2 2 B． 10 C． 11 D．2 3 【答案】B 【分析】通过对称转换 , ,PQ QE EP ，由三点共线求得三角形PEQ 周长的最小值. 【详解】在平面 1 1B C CB上，设 E关于 B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知 1CM = ， E 关于 B1C1的对称点为 N， 1 1 1C E C N CE= = = ， 连接 MN，当MN与 B1C1的交点为 P，MN与 B1C的交点为Q 时， 则 MN是△PEQ周长的最小值， 1, 3CM CN= = ， 2 21 3 10MN = + = , ∴△PEQ周长的最小值为 10 故选：B 4．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知 P 、Q 、R 分别是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱 AB 、BC 和 1 1C D 的 中点，由点 P 、Q 、 R 确定的平面  截该正方体所得截面为（ ）． 第 6 页，共 7 页 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】分别取 1 1 1 1、 、A D A A CC 的中点 F 、E 、M ，连接 、 、 、 、 、RF FE EP PQ QM MR，由正方体性质可 得答案. 【详解】如图，分别取 1 1 1 1、 、A D A A CC 的中点 F 、 E 、M ，连接 、 、 、 、 、RF FE EP PQ QM MR， 由正方体性质 //RF PQ，所以 、 、 、 R F P Q 平面 ，且 // //RF PQ ME ，又 、 、QF RP EM 交于同一点O ，所 以 、 E M 平面 ，所以点 P 、Q 、 R 确定的平面 即为六边形RFEPQM 故选：D． 5．（2019·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）一正方体的棱长为a，作一平面 与正方体一条体对角线垂直，且 与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为 l ，则（ ） A． [4 ,3 2 ]l a a B． 4l a= C． 3 2l a= D．以上都不正确 【答案】C 【分析】将正方体切去两个正三棱锥 A A BD−  与C D B C −   后，得到一个以平行平面 A BD 与D B C  为上、下底 面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边 平行，将V 的侧面沿棱 A B 剪开，展平在一张平面上，得到一个 1 1A B B A  ，考查E 的位置，确定 l ． 【详解】解： 将正方体切去两个正三棱锥 A A BD−  与C D B C −   后，得到一个以平行平面 A BD 与D B C  为上、下底面的几何 体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱 A B 剪开，展平在一张平面上，得到一个 1 1A B B A  ，如图 而多边形W 的周界展开后便成为一条与 1A A 平行的线段（如图中 1)E E ，显然 1 1E E A A =  ，故 l 为定值． 且 1 2A B BD A D a = = = ，故 3 2l a= 故选：C ． 第 7 页，共 7 页