【第一章 有理数 05讲 有理数的乘法和除法】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版）

第一章 有理数 05讲 有理数的乘法和除法 目录 【知识点1. 有理数的乘法法则与运算律】…………………………………………… 1 【知识点2. 有理数的除法法则】……………………………………………………… 4 【知识点3. 有理数的乘除混合运算】………………………………………………… 6 【知识点4. 有理数的四则混合运算】………………………………………………… 8 【题型1. 有理数的乘法运算】………………………………………………………… 10 【题型2. 有理数乘法的应用】………………………………………………………… 11 【题型3. 有理数除法运算】…………………………………………………………… 13 【题型4. 有理数除法的应用】………………………………………………………… 14 【题型5. 有理数的乘除混合运算】…………………………………………………… 16 【题型6. 有理数的四则混合运算】…………………………………………………… 17 【题型7. 有理数四则混合运算的应用】……………………………………………… 19 【课后作业】……………………………………………………………………………… 22 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 2） 0乘任何数都得0. 3） 几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数。 2、有理数乘法运算律 乘法分配律： ； ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算（两数相乘） 2. 计算（多数相乘） 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ② 没有倒数； ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4、有理数除法法则1：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； 有理数除法法则2：0除以任何一个不等于0的数都得0； 有理数除法法则3： 除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数。即：，()。 巩固基础 1. 计算 知识清单 5、有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1. 计算 知识清单 6、有理数的四则混合运算步骤： ① 先乘除，后加减； ② 同级运算，从左往右进行； ③ 有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行。 巩固基础 1. 计算 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 1. 计算 题型2：有理数乘法的应用 例1．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 例2．规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 变式1．下列说法正确的有（   ）个． ①8个人进行乒乓球比赛，如果两个人之间都比一场，一共比赛28场；②王大爷把1000元人民币存入银行，定期一年，年利率是，一年后他获得的利息是225元；③山羊只数比绵羊多，也就是绵羊比山羊少；④一个圆锥体的体积扩大到原来的3倍，它就变成了圆柱体． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 变式2．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 变式3．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 题型3：有理数的除法运算 1. 计算 题型4：有理数除法的应用 例1．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 例3．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 变式1．如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 变式2．如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 变式3．小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．求： (1)小虫最后是否回到出发点A？如果没有，在出发点A的什么地方？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行2厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 题型5：有理数的乘除混合运算 1. 计算 题型6：有理数的四则混合运算 1. 计算 题型7：有理数四则混合运算的应用 例1．一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 例2．乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 例3．两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 例4．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 变式1．年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（    ） A． B． C． D． 变式2．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 变式3．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 变式5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 课后作业 一、单选题 1．（2024·河南·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（带余除法）小朋友们在玩游戏，老师让小朋友们排成一排，并从第一位开始按照1，2，3循环报数，最后一位小朋友报的数是2，请问，这一排可能有（   ）个小朋友 A．25 B．26 C．27 D．28 5．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·黑龙江·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．其运算符号意义不变，按上述规定计算的值为（   ） A．－1 B．－2 C．－5 D．－4 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 11．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 12．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（常识推理）一只正常的猫有18个爪尖，每条前腿有5个爪尖，每条后腿有4个爪尖．我市“保护残疾动物之家”收养了4只伤残猫，每只猫都失去了一条腿，但是每只猫失去的腿都不相同，这4只伤残猫共有 个爪尖． 14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用 小时． 17．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 18．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 19．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 20．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 三、解答题 21. 计算 22．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 23．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 24．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 26．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购讲箱樱桃若以每箱净重千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为价格称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这箱樱桃相差最大的两箱，质量相差多少千克？ (2)这箱樱桃的总质量是多少千克？ 27．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)；(2)． 28．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 29．（24-25七年级上·北京·期中）有8筐白菜， 以每筐25千克为标准， 超过的千克数记作正数， 不足的千克数 记作负数， 称后的记录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，  最接近25千克的那筐白菜为__________千克； (2)以每筐25千克为标准， 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2.6元， 则出售这8筐白菜可卖多少元？ 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 05讲 有理数的乘法和除法 目录 【知识点1. 有理数的乘法法则与运算律】…………………………………………… 1 【知识点2. 有理数的除法法则】……………………………………………………… 4 【知识点3. 有理数的乘除混合运算】………………………………………………… 7 【知识点4. 有理数的四则混合运算】………………………………………………… 9 【题型1. 有理数的乘法运算】………………………………………………………… 12 【题型2. 有理数乘法的应用】………………………………………………………… 13 【题型3. 有理数除法运算】…………………………………………………………… 16 【题型4. 有理数除法的应用】………………………………………………………… 18 【题型5. 有理数的乘除混合运算】…………………………………………………… 22 【题型6. 有理数的四则混合运算】…………………………………………………… 23 【题型7. 有理数四则混合运算的应用】……………………………………………… 26 【课后作业】……………………………………………………………………………… 33 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 2） 0乘任何数都得0. 3） 几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数。 2、有理数乘法运算律 乘法分配律： ； ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算（两数相乘） 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 2. 计算（多数相乘） 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=－10×0.2×2×5 =－2×2×5 =－20 解：原式=－ =－ 解：原式=0 解：原式= 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； ② 没有倒数； ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4、有理数除法法则1：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； 有理数除法法则2：0除以任何一个不等于0的数都得0； 有理数除法法则3： 除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数。即：，()。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 5、有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 6、有理数的四则混合运算步骤： ① 先乘除，后加减； ② 同级运算，从左往右进行； ③ 有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 = = = 24 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=－3×8× 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2：有理数乘法的应用 例1．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据进球为正，则失球为负，进行判断即可． 【详解】解：如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作分； 故选A． 例2．规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来．根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，2天前的水位用算式表示是， 故选：D． 例3．延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数乘法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，据此即可求解； （2）求出表格中所有数据的代数和，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负，表示总计不足标准质量，即可解答； （3）先求出10箱苹果的总质量，再乘以12即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，这10箱苹果总计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这10箱苹果可卖出3030元． 变式1．下列说法正确的有（   ）个． ①8个人进行乒乓球比赛，如果两个人之间都比一场，一共比赛28场；②王大爷把1000元人民币存入银行，定期一年，年利率是，一年后他获得的利息是225元；③山羊只数比绵羊多，也就是绵羊比山羊少；④一个圆锥体的体积扩大到原来的3倍，它就变成了圆柱体． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【分析】本题考查的是有理数乘法运算的应用及百分数运算中的利息问题，①根据计算即可判断，②运用关系式“利息本金年利率存期”，代入数据计算即可判断，③将绵羊数量看作单位1，表示出山羊数量即可判断，④根据圆柱与圆锥之间的关系即可判断． 【详解】解：①（场），故正确； ②（元），故错误； ③将绵羊数量看作单位1，则山羊数量为：，则绵羊比山羊少，故错误， ④一个圆锥体的体积扩大到原来的3倍，它的体积就与等地等高的圆柱体积相等，不是变成了圆柱体，故错误． 故选：C． 变式2．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 变式3．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 题型3：有理数的除法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4：有理数除法的应用 例1．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了数轴、有理数的运算，利用数轴得出a，b，c的大小关系是解题的关键．根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ，，，，故①②错误，③④正确； ，，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 例2．现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 例3．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 变式1．如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 变式2．如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】本题考查了数轴动点问题，有理数的除法的应用，根据数轴上数字在正方形滚动过程中的对应规律，找到滚动过程中数字的对应方式即可解答． 【详解】解：， ∴正方形到达数轴上的数字2024时，正方形滚动253圈后再滚动1次， 正方形的顶点每次循环一次，即第一次为点C，第二次为点B，第三次为点A，第四次为点D，； ∴数轴上的数字2024将与字母C重合， 故选：C． 变式3．小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．求： (1)小虫最后是否回到出发点A？如果没有，在出发点A的什么地方？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行2厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果即可得出小虫最后是否回到出发点A； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解： 故小虫最后是回到了出发点A． （2）解：①第一次爬行后的位置：， ②第二次爬行后的位置：， ③第三次爬行后的位置：， ④第四次爬行后的位置：， ⑤第五次爬行后的位置：， ⑥第六次爬行后的位置：， ⑦第七次爬行后的位置：， ∵ ∴小虫离开出发点最远是12厘米． （3）解：(厘米) (粒) 答：小虫一共得到27粒芝麻． 题型5：有理数的乘除混合运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型6：有理数的四则混合运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式= = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型7：有理数四则混合运算的应用 例1．一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用．先计算提价后的价格，再计算打九折后的价格，据此求解即可． 【详解】解：（元）， （元）， 这台电视机现在的价格是3168元， 故选：B． 例2．乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【分析】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【详解】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 例3．两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，，，， A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 例4．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 变式1．年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 将四种彩排的候场时间计算出来，进行比较找到最小值即可． 【详解】解：A、按“”的顺序，候场时间之和为； B、按“”的顺序，候场时间之和为； C、按“”的顺序，候场时间之和为； D、按“”的顺序，候场时间之和为； 因为， 所以按“”的顺序，这位演员的候场时间之和最小， 故选：C． 变式2．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 变式3．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则． 利用数轴上点分别表示数，，，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 变式4．在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 变式5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 课后作业 一、单选题 1．（2024·河南·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则即可判断求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（带余除法）小朋友们在玩游戏，老师让小朋友们排成一排，并从第一位开始按照1，2，3循环报数，最后一位小朋友报的数是2，请问，这一排可能有（   ）个小朋友 A．25 B．26 C．27 D．28 【分析】本题考查带余除法，掌握除法运算法则是解题的关键． 根据题意，每3个小朋友一循环，因为最后一个报的是2，所以小朋友的个数应该是3的倍数多2人．分别计算各选项人数，即可找到符合题意的选项． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B． ，故此选项符合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 7．（24-25七年级上·黑龙江·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．其运算符号意义不变，按上述规定计算的值为（   ） A．－1 B．－2 C．－5 D．－4 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点，理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A ． 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键．根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可得． 【详解】运用“铺地锦”的方法将图2补全完整，如图所示， 则，故①错误； ， ，为奇数，故②④错误； 乘积结果为，故③正确； 正确的个数有1个， 故选：A. 9．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将代入题目中的运算程序，计算出结果与10比较大小，即可得到输出的y的值． 【详解】解：当时，． 故选：D． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，根据分母不为0以及三个数互不相等可得，，则，进而得到，则． 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵0与不相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出、所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：由数轴得，， 找出、的位置如图： ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（常识推理）一只正常的猫有18个爪尖，每条前腿有5个爪尖，每条后腿有4个爪尖．我市“保护残疾动物之家”收养了4只伤残猫，每只猫都失去了一条腿，但是每只猫失去的腿都不相同，这4只伤残猫共有 个爪尖． 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，解此题关键是根据常识对“4只伤残猫，每只猫都失去了一只腿，但是每只猫失去的腿都不相同”进行合理推断，之后即可轻松作答．据“4只伤残猫，每只猫都失去了一只腿，但是每只猫失去的腿都不相同”可推断出“4条不相同的腿正好构成一只正常猫的四条不相同的腿”，故这4只伤残猫腿的总数正好3只正常猫腿的总数，据此即可解答． 【详解】解：四只猫失去的四条腿正好是一只正常猫的四条腿．， 故答案为：54 14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， （克）， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【分析】由数轴得到，据此判断各式的大小． 【详解】解：由数轴可得， （1）两个负数相加，和仍为负数，故； （2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故； （3）两个负数的积是正数，故； （4）绝对值大的负数的平方也大，故； （5）由绝对值的意义可得； 故答案为：，，，，． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用 小时． 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键．分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可，进而求两者的差，即可求解． 【详解】解：甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 时． 甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用小时 故答案为：； 17．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【分析】根据绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对各说法进行判断即可． 【详解】解：①若，则或，故①错误； ②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者和负数，故②错误； ③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确； ④一个数乘，积为这个数的相反数，故④正确． ∴正确的序号有③④． 故答案为：③④． 18．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可． 【详解】①当C在A、B两站之间时， （小时）； ②当A在C、B两站之间时， =（小时）； ∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时， 故答案为：5或． 19．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 【分析】本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解答本题的关键．设开始时甲向上一面的数字之和为，根据题意有，即，再根据数字确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答． 【详解】解：设开始时甲向上一面的数字之和为， 甲、乙正面朝上的数字之和相等， 此时乙向上一面的数字之和也为， 翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加， 此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为， 则总的面上数之和为：， 根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：， 即，即， 甲一面朝上的数字之和为， 甲朝上的可能是，，，或者，，，， 则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为 故答案为：． 20．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 【分析】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算． （1）利用有理数的加法即可得解； （2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得： 千米． 答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米． （2）解：千米， 升， 答：汽车共耗油升． 23．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 【分析】此题主要考查了正数和负数，有理数加减乘除的运算方法，根据总价单价数量，分别求出按照不同价格售出的利润，再求和即可． 【详解】解： （元）， 答：该水果店销售完这批草莓是赚了，赚了191元． 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义，有理数的乘法运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正负数的意义，进行列式计算，即可作答． （2）先算出这次小王志愿服务期间乘坐地铁的行进的站数，再与相乘，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ A站是西单站； （2）解：依题意． ∴（千米）， ∴ 小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米． 26．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购讲箱樱桃若以每箱净重千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为价格称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这箱樱桃相差最大的两箱，质量相差多少千克？ (2)这箱樱桃的总质量是多少千克？ 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）分别求得质量最大的一箱为：千克，质量最小的一箱为：千克，然后即可求解； （2）根据题干分别求出每箱的质量，然后再求和，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：质量最大的一箱为：千克，质量最小的一箱为：千克， ∴千克， ∴箱樱桃相差最大的两箱，质量相差千克； （2）解：由题可得： 箱樱桃的总质量：千克 ∴箱樱桃的总质量为千克； 27．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算：(1)；(2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 28．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即该厂星期三生产电动车195辆， 故答案为：195； （2）解： （辆， 即该厂在本周实际生产自行车的数量为1410辆； （3）解： （元， 即该厂工人这一周的工资总额是84750元． 29．（24-25七年级上·北京·期中）有8筐白菜， 以每筐25千克为标准， 超过的千克数记作正数， 不足的千克数 记作负数， 称后的记录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，  最接近25千克的那筐白菜为__________千克； (2)以每筐25千克为标准， 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2.6元， 则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【分析】本考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）本题考查绝对值的意义，绝对值越小，离标准越接近，计算题干中数据的绝对值，进行比较即可解题． （2）本题考查正负数的意义和有理数的加减运算，根据题意列式求解即可． （3）本题根据销售额=售价×数量，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知，最小，最接近标准，最接近25千克的那筐白菜为（千克）， 故答案为：； （2）解： 这8筐白菜总计不足5.5千克； （3）解：元 出售这8筐白菜可卖505.7元． 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$