【第一章 有理数 04讲 有理数的加法和减法】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版）

第一章 有理数 04讲 有理数的加法和减法 目录 【知识点1. 有理数的加法法则与运算律】…………………………………………… 1 【知识点2. 有理数的减法法则】……………………………………………………… 6 【知识点3. 有理数的加减混合运算步骤】…………………………………………… 8 【题型1. 有理数的加法运算】………………………………………………………… 11 【题型2. 有理数加法中的符号问题】………………………………………………… 12 【题型3. 有理数加法的实际应用】…………………………………………………… 16 【题型4. 有理数的减法运算】………………………………………………………… 19 【题型5. 有理数减法的实际应用】…………………………………………………… 21 【题型6. 有理数的加减法混合运算】………………………………………………… 25 【题型7. 有理数加减中的简便运算】………………………………………………… 28 【题型8. 有理数加减法混合运算的应用】…………………………………………… 31 【课后作业】……………………………………………………………………………… 36 知识清单 1、有理数的加法法则 1） 两个正数相加得正数；正数与0相加仍得这个正数； 两个负数相加，结果是负数，并把它们的绝对值相加. 2）异号两数相加，当正数的绝对值大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 有理数加法法则总结： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 数学表示：若a>0、b>0，则a+b= |a|+|b|；若a<0、b<0，则a+b= -(|a|+|b|)； 2） 异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值； 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|，则a+b= |a|-|b|； 若a>0、b<0，且|b|>|a|，则a+b= -(|b|-|a|)； 3） 互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数。 2、运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 巩固基础 1. 计算（同号相加） 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 2. 计算（异号相加） 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 3. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 如： 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 3、有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：有理数的加法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， ， 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 ， 解：原式 ， ， ， 解：原式 解：原式 解：原式 题型2：有理数加法中的符号问题 例1．若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值．根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【详解】解：根据数轴可知：，且，则 A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原选项错误，符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：C． 例2．有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了结合数轴确定式子的大小，结合题意确定各式的大小即可．由数轴可知，，，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 所以，，，， 故选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意． 故选：C． 例3．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 变式1．已知有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，现给出下列4个式子： ①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题考查了有理数加减运算符号判断，根据数轴判断式子符号，根据数轴表示数的方法得到，，所以，，． 【详解】解：因为，， 所以，所以①正确； ，所以②正确； ，所以③错误； ，所以④错误． 故选：C． 变式2．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 变式3．如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置确定出a，b，符号及大小，再根据有理数的加减运算法则逐项进行解答即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， 、，， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 故选：． 变式4．若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，利用绝对值的定义确定、的取值，再计算的值． 【详解】，， ，， ， ， ，， 或6， 故选：D． 题型3：有理数加法的实际应用 例1．某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，掌握理解题意是解题的关键． 根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 例2．以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， 这时花花在家的正西方向20米处， 故选：A． 例3．无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表： 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少？ (2)五次操作后，无人机共飞行了多少？ 【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数加法运算、绝对值的应用等知识，理解相关知识并灵活运用是解题关键． （1）结合正数和负数的意义，利用有理数加法法则求得每次操作后的飞行高度，即可获得答案； （2）将每次飞行操作的飞行高度取绝对值并相加，即可获得答案． 【详解】（1）第1次操作后：， 第2次操作后：， 第3次操作后：， 第4次操作后：， 第5次操作后：， 所以，无人机飞行中的最大高度是； （2）由题可知：， 所以五次操作后，无人机共飞行了． 变式1．某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． 变式2．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是黄老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最终结果是（   ） A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：（元）． 故选：B． 变式3．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值等知识点，熟练掌握正负数的意义，有理数的运算，绝对值是解决此题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解：（1）∵ ， ， ∴地在A地正南方向，它们相距； （2）∵ ， ∵汽车行驶平均耗油， ∴汽车行驶平均耗油 题型4：有理数的减法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5：有理数减法的实际应用 例1．如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：根据题意，这天的温差为， 故选：C． 例2．根据下面的资料卡片显示，水的沸点比酒精的凝固点高（   ） 资料卡片 凝固点（） 沸点（） 水 0 100 水银 -38.87 357 酒精 -114.1 78 A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法发法则是解题的关键，利用减即可得解. 【详解】解： 故选：B. 例3．小明用下图直观解释，请你用类似的方法直观解释． 【分析】本题考查有理数减法运算的直观解释，理解题中图形解释是解题的关键．根据已知和有理数减法运算法则先画图，然后即可求解． 【详解】 解：小明第一步根据正负相抵消得到，仍然为4， 再根据减去就去掉3个负号，最后剩下7个正号，得到； 故由题可知，可以解释如下： ． 变式1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 变式2．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示 同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键； 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解； 【详解】解：A、纽约与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为：年元月日， 时间表示正确，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为巴黎是年元月日， 时间表示错误，符合题意； C、东京与北京的时差为， ， 故东京此时时间为年元月日， 时间表示正确，不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是年元月日， 时间表示正确，不符合题意； 故选：B 变式3．中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温（单位：）如图所示，请根据图中信息回答下列问题． (1)这星期的日最低气温是_______． (2)在这星期内，哪天的日温差最大？并求出当天的日温差． 【分析】本题主要考查了有理数的减法法则，有理数的大小比较，正负数的意义，利用正负数的意义结合折线图解答是解题的关键． （1）利用正负数的意义结合折线图解答即可； （2）利用温差的意义，利用有理数的减法法则解答即可． 【详解】（1）解：在这周内，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为， 故答案为：； （2）解：星期一的日温差：， 星期二的日温差：， 星期三的日温差：， 星期四的日温差：， 星期五的日温差：， 星期六的日温差：， 星期日的日温差：， 所以在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为． 变式4．某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6时为零下，中午12时为零上，下午4时为，晚上12时为零下． (1)用正数或负数表示这四个不同时刻的温度； (2)早晨6时比晚上12时高多少？ (3)下午4时比中午12时低多少？ 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数减法的实际应用： （1）根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，零下为负，进行表示即可； （2）用早晨6时的温度减去晚上12时的温度，进行计算即可； （3）用中午12时的温度减去下午4时的温度，进行计算即可． 【详解】（1）解：规定零上为“正”、零下为“负”，早晨6点温度为，中午12点温度为，下午4点为，晚上12点为． （2）早晨6点为，晚上12点为， ， 所以早晨6点比晚上12点高； （3）下午4点为，中午12点为， （）， 答：下午4点比中午12点低． 题型6：有理数加减法的混合运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ， 解：原式 题型7：有理数加减法中的简便运算 1. 计算（能简便的要简便） 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式＝ ＝ 解：原式 解：原式 解：原式 ． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型8：有理数加减法混合运算的应用 例1．一种干吃面包装袋上标着：净重，表示这种干吃面标准的质量是150克，实际每袋最少不小于（    ）克． A．155 B．150 C．145 D．140 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加减法，可得标准的范围，可得最少的质量．有理数的加减法是解题关键． 【详解】解：克， 故选：C． 例2．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 例3．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 变式1．如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录，已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元，则四笔交易后余额为（   ） A．1535元 B．1525元 C．1515元 D．1505元 【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题的中的意义，用支付宝的1470分别与支出和收入部分求和即可． 【详解】解：元， 故选：A． 变式2．下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 变式3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米；第八次跑距离开球门线14－14=0米.                       则守门员离开球门线的最远距离为26米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，13，26，19，10，14，0，则符合题意的有：13，26，19，14． 故对方球员有4次挑射破门的机会． 变式4．刘明利用业余时间进行射箭训练，上星期日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 (1)请补全表中数据； (2)本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？ 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，根据题意得出数量关系，列出算式计算是解题的关键． （1）根据表中数据，结合上星期日训练的平均成绩是8.5环，分别计算出即可； （2）本周日的成绩减上周日的成绩，若所得的结果为正，则提高，否则，下降． 【详解】（1）解：周一：（环） 周三：（环） 周六：（环） 周日：（环） 补全表个如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 （2）解：（环） 答：本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了环． 变式5．毛泽东寻乌调查纪念馆在2024年某一周每天的客流量与上一周同期相比，变化情况如下（单位：人）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 变化量 (1)请计算这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加还是减少多少人？ (2)计算本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小（与上周同期最接近）的一天游客变化量相差多少？ 【分析】（1）将表格中的所有数据相加，根据答案即可得出结论； （2）从表格中找出本周游客变化量最大的一天和游客变化量最小的一天，两者数据相减即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （人）， 答：这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加人； （2）解：本周游客变化量最大的一天是星期六：人，游客变化量最小的一天是星期四：人， （人）， 答：本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小的一天游客变化量相差人． 课后作业 一、单选题 1．（2025·吉林长春·一模）下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东汕头·一模）某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用当天的最高气温减去最低气温可求出当天的温差，据此求出四天的温差，比较即可得到答案． 【详解】解：1月28日的温差为， 1月29日的温差为， 1月30日的温差为， 1月31日的温差为， ∵， ∴1月30日的温差最大， 故选：C． 4．（2025·河南濮阳·二模）如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 5．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了统计图，根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【详解】解：从图中可以看出，这一天中最高气温是，最低气温是， ∴这一天中最高气温与最低气温的差为， 故选：C． 6．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 7．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 8．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上数的大小关系，是解题的关键． 直接利用数轴上a，b的位置进行比较得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 10．（24-25七年级上·重庆江津·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）．下列说法： ①； ②在有理数运算中，相加得0的两数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个说法，那么4的相反数是8； ③有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立； ④规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，则． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 运用钟表中加减运算方法进行验证即可判定③； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证④． 【详解】解：①根据题意可知， ，故①符合题意； ②在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，所以4的相反数是8，故②符合题意； ③设，分别表示钟表中的数字， 的相反数为， ∴， 如的相反数为，， ∴．故③符合题意； ④当，，时， ， ， 则， 当时， 不一定成立，故④不符合题意． 综上，符合题意的有①②③共3个． 故选：B． 二、填空题 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 【分析】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2025·湖北武汉·二模）武汉关的设防水位是，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如1998年武汉关的最高水位达到，记作，2025年4月份，武汉关的最高水位是，记作 m． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数减法的应用．利用有理数的减法计算即可求解． 【详解】解：∵高于的水位用正数表示， ∴低于的水位用负数表示， ∵， ∴记作， 故答案为：． 14．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将个记为，超出个的部分用正数表示，不足个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在个以上（含个）记为优秀．该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 【分析】本题考查了正数、负数的实际应用，解题关键是根据正数、负数的意义表示出实际跳绳个数． 先将该男生一周的跳绳个数用实际跳绳个数表示出来，再与个进行比较，看是否记为优秀，将优秀次数相加即可． 【详解】解：按照该同学对自己跳绳个数的统计方法，可知： 星期一跳了（个）， 星期二跳了（个）， 星期三跳了（个）， 星期四跳了（个）， 星期五跳了（个）， 星期六跳了（个）， 星期日跳了（个）， 因为，，，，， 所以该同学这一周有次一分钟跳绳成绩为优秀， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【详解】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，根据图以及图所表示的算式，领会图中圆所表示的意义，根据图所表示的规律得到图表示的算式． 【详解】解：由图可知，左边有个带有“”号的圆，表示， 又增加了个带有“”号的圆，表示增加了， 然后与抵消， 还剩下个带“”号的圆，表示还剩下， 这个算式应表示为：． 故答案为： ． 17．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 18．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·山东聊城·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，   ． 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键． 根据题意发现一般规律  ，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，  ， 则  ， 故答案为：． 20．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 . 解：原式 解：原式 解：原式 ． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = 解：原式= = = 解：原式 解：原式 22．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一个趣味冒险游戏中，玩家从一个特定的起点出发．游戏规定正东方向为正方向．一个玩家首先朝着正东方向前进了米，随后又改变方向走了米到达终点．大家都在思考，终点在起点的什么方向多少米呢？这个位置应该怎么表示？还有玩家在这个过程中一共走过的路程是多少米？ 【分析】本题考查有理数加、减法的应用，正负数的实际应用，根据题意列式计算即可解答． 【详解】解：（米） 则终点在起点向西20米处，表示为米． （米） 答：终点在起点向西20米处，表示为米，一共走了100米． 23．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 24．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 25．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知一列数：4.5，，0，，，． (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)在上面的数中，找出绝对值小于但不小于1的所有数，并求它们的和． 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点的特征把各数表示出来即可； （2）根据绝对值的定义结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：把各数表示在数轴上如下： （2）解：由（1）可得，绝对值小于但不小于1的所有数为，，， 它们的和为． 26．（24-25七年级上·内蒙古包头·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值方程是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离可直接进行求解； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出n的取舍范围，进而得出结果； （4）由（3）及绝对值的几何意义可进行求解 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：7；； （2）解： ， ∴或， ∴或； （3）解：由可知：数轴上表示n的数与2和的距离为5， ∴当时，则有，不符合题意； 当时，则有，符合题意； 当时，则有，不符合题意； ∴整数的n的值为； （4）解：由（3）及绝对值的几何意义可知：的最小值是4，即当x在1和之间时，且1和的距离为4，即， ∴或， ∴或． 27．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 28．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）如图，一只蜗牛从点A沿着数轴向右爬行4个单位长度到达点B，从点B沿着数轴又向左爬行7个单位长度到达点C，点A表示的数为．设点B表示的数为a，点C表示的数为b． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算： （1）根据点的移动左减右加，求出的值即可； （2）将的值代入，根据绝对值的意义和有理数的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意：，； （2）∵，， ∴． 29．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 30．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋．一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数． (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲胜，若白棋的位置离原点更近，则乙胜，那么第三局结束时获胜的是谁？此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少？ (3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）白棋在数轴上的位置所对应的数是4，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为，结合题意可得第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀，进而根据黑棋和白棋的位置，可得在数轴上的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， 答：第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和； （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是； （3）解：由（2）可得，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∵若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4， ∴，即白棋向左移动2个单位长度， ∴第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀 ∴， ∴此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是， 此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度； 答：乙第四局的手势是剪刀；此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 有理数 04讲 有理数的加法和减法 目录 【知识点1. 有理数的加法法则与运算律】…………………………………………… 1 【知识点2. 有理数的减法法则】……………………………………………………… 5 【知识点3. 有理数的加减混合运算步骤】…………………………………………… 7 【题型1. 有理数的加法运算】………………………………………………………… 9 【题型2. 有理数加法中的符号问题】………………………………………………… 10 【题型3. 有理数加法的实际应用】…………………………………………………… 11 【题型4. 有理数的减法运算】………………………………………………………… 13 【题型5. 有理数减法的实际应用】…………………………………………………… 14 【题型6. 有理数的加减法混合运算】………………………………………………… 16 【题型7. 有理数加减中的简便运算】………………………………………………… 17 【题型8. 有理数加减法混合运算的应用】…………………………………………… 19 【课后作业】……………………………………………………………………………… 22 知识清单 1、有理数的加法法则 1) 两个正数相加得正数;正数与0相加仍得这个正数; 两个负数相加,结果是负数,并把它们的绝对值相加. 2)异号两数相加,当正数的绝对值大时,得正数,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;当负数的绝对值大时,得负数,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 有理数加法法则总结: 1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 数学表示:若a>0、b>0,则a+b= |a|+|b|;若a<0、b<0,则a+b= -(|a|+|b|); 2) 异号两数相加,绝对值相等(相反数)时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值; 数学表示:若a>0、b<0,且|a|>|b|,则a+b= |a|-|b|; 若a>0、b<0,且|b|>|a|,则a+b= -(|b|-|a|); 3) 互为相反数的两个数相加得0;一个数与0相加,仍得这个数。 2、运算律 1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变;即a+b=b+a。 2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变;即(a+b)+c=a+(b+c)。 巩固基础 1. 计算(同号相加) 2. 计算(异号相加) 3. 计算 知识清单 2、有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数,即有:。 注意: 将减法转化为加法时,注意同时进行的两变,一变是减法变加法;二变是把减数变为它的相反数。 如: 将加减法统一成加法运算,适当应用加法运算律简化计算. 巩固基础 1. 计算 知识清单 3、有理数的混合运算步骤: 1)根据有理数减法法则,将减法全部转化为加法; 2)观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算; 3)再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 4.省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略,改写成几个正数或负数的形式(利用法则)。 例如:(-2)+(+3)+(-5)+(+4)=-2+3-5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”,或读作“负2加3加负5加4”。 巩固基础 1. 计算 直击考点 题型1:有理数的加法运算 1. 计算 题型2:有理数加法中的符号问题 例1.若a,b,c三个有理数在数轴上的位置如图所示,则下列结论中错误的是( ) A. B. C. D. 例2.有理数,,在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( ) A. B. C. D. 例3.如果,且,那么a、b、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 变式1.已知有理数a,b在数轴上对应的位置如图所示,现给出下列4个式子: ①;②;③;④.其中错误的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 变式2.若,,,则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 变式3.如图,数轴上的点A、分别对应实数、,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 变式4.若,,且,则的值是( ) A. B. C.或 D.2或6 题型3:有理数加法的实际应用 例1.某地一天早晨的气温是,中午气温上升了,则中午的气温是( ) A. B. C. D. 例2.以花花家为起点,向东走为正,向西走为负.如果花花从家先走了米,又走了米,这时花花在家的( ) A.正西方向20米处 B.正西方向50米处 C.正东方向20米处 D.正东方向50米处 例3.无人机社团课上,悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试,无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表: 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少? (2)五次操作后,无人机共飞行了多少? 变式1.某班一个小组的10名学生参加体检,为了方便记录测得的体重结果,他们以为标准,超出记为正数,低于记为负数,得到如下数据:(单位:) ,,,,,0,,,, 则这10名学生中的最小体重是( ) A. B. C. D. 变式2.手机移动支付给生活带来了便捷,如图是黄老师2024年10月25日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),黄老师当天微信收支的最终结果是( ) A.收入21元 B.收入4元 C.支出5元 D.支出12元 变式3.某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护,某天早晨他们从A地出发,晚上最终到达地.约定向北为正方向,当天汽车的行驶记录(单位:)如下: ,,,,,,,, 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)如果汽车行驶均耗油,那么这天汽车共耗油多少升? 题型4:有理数的减法运算 1. 计算 题型5:有理数减法的实际应用 例1.如图,平遥县某天的气温是,则这天的温差(最高气温减最低气温)是( ) A. B. C. D. 例2.根据下面的资料卡片显示,水的沸点比酒精的凝固点高( ) 资料卡片 凝固点() 沸点() 水 0 100 水银 -38.87 357 酒精 -114.1 78 A. B. C. D. 例3.小明用下图直观解释,请你用类似的方法直观解释. 变式1.如图,某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是,下列乒乓球的尺寸中,不合格的是( ) A. B. C. D. 变式2.下表列出了国外几个城市与北京的时差(正数表示 同一时刻比北京时间早). 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日,我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时,下列各城市的时间表示错误的是( ) A.纽约是年元月日 B.巴黎是年元月日 C.东京是年元月日 D.上海是年元月日 变式3.中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温(单位:)如图所示,请根据图中信息回答下列问题. (1)这星期的日最低气温是_. (2)在这星期内,哪天的日温差最大?并求出当天的日温差. 变式4.某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为:早晨6时为零下,中午12时为零上,下午4时为,晚上12时为零下. (1)用正数或负数表示这四个不同时刻的温度; (2)早晨6时比晚上12时高多少? (3)下午4时比中午12时低多少? 题型6:有理数加减法的混合运算 1. 计算 题型7:有理数加减法中的简便运算 1. 计算(能简便的要简便) 题型8:有理数加减法混合运算的应用 例1.一种干吃面包装袋上标着:净重,表示这种干吃面标准的质量是150克,实际每袋最少不小于( )克. A.155 B.150 C.145 D.140 例2.手机移动支付给生活带来便捷,如图是小陈某天微信账单的全部收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),小陈当天微信收支的最终结果是( ) A.收入50元 B.支出40元 C.收入10元 D.支出10元 例3.某仓库原有商品件,现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示(“”表示进库,“”表示出库):,,,,,,,,,. (1)请问经过天之后,该仓库内的商品是增加了还是减少了?此时仓库还有多少商品? (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元,请问这天要付多少人工搬运费? 变式1.如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录,已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元,则四笔交易后余额为( ) A.1535元 B.1525元 C.1515元 D.1505元 变式2.下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数,若区域①的两数之和为11,区域②的四个数之和为27,则阴影格子中最大数字可能是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 变式3.足球比赛中,根据场上攻守形势,守门员会在门前来回跑动,如果以球门线为基准,向前跑记作正数,返回则记作负数,一段时间内,某守门员的跑动情况记录如下(单位:m):,,,,,,,.(假定开始计时时,守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上? (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米? (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m(不包括10m),则对方球员挑射极可能造成破门,问:在这一时间段内,对方球员有几次挑射破门的机会?简述理由. 变式4.刘明利用业余时间进行射箭训练,上星期日训练的平均成绩是8.5环,而这一周训练的平均成绩变化如下表(正号表示比前一天提高,负号表示比前一天下降): 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 (1)请补全表中数据; (2)本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了还是下降了?其变动的环数是多少? 变式5.毛泽东寻乌调查纪念馆在2024年某一周每天的客流量与上一周同期相比,变化情况如下(单位:人): 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 变化量 (1)请计算这一周毛泽东寻乌调查纪念馆游客流量的总变化量是增加还是减少多少人? (2)计算本周游客变化量最大的一天与游客变化量最小(与上周同期最接近)的一天游客变化量相差多少? 课后作业 一、单选题 1.(2025 吉林长春 一模)下列计算结果为0的是( ) A. B. C. D. 2.(2025七年级下 全国 专题练习)下列计算错误的是( ) A. B. C. D. 3.(2025 广东汕头 一模)某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示,其中日温差最大的一天是( ) 1月28日(除夕) 1月29日(春节) 1月30日(初二) 1月31日(初三) A.1月28日 B.1月29日 C.1月30日 D.1月31日 4.(2025 河南濮阳 二模)如图是我市某一天的天气预报,这一天的最高温度比最低温度高( ) A. B. C. D. 5.(2025 内蒙古呼伦贝尔 二模)如图,是市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是( ) A. B. C. D. 6.(24-25七年级上 贵州毕节 期中)若有理数a,b满足,且,则的值是( ) A. B.1 C.或 D.1或 7.(24-25七年级上 广东广州 期中)定义:表示不超过的最大整数.如:,.则下列结论:①;②;③;④;⑤若,则的值可以是.其中正确的结论有( )个 A. B. C. D. 8.(24-25七年级下 广东广州 阶段练习)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 9.(24-25七年级上 河南南阳 期末)大家都知道,7点50分可以说成差10分钟8点,有时这样表达更清楚,这也启发了人们设计了一种新的加减计数法,例如:写成,,写成,7683写成,按这种方法计算的结果为( ) A. B. C. D. 10.(24-25七年级上 重庆江津 期末)钟表中蕴含着有趣的数学运算,不用负数也可以作减法.例如,现在是10时,4小时以后是几时?虽然,但在表盘上看到的是2时.如果用符号“”表示钟表上的加法,则.若问3时之前5小时是几时,就得到钟表上的减法概念,用符号“”表示钟表上的减法.(注:此处用0时代替12时).下列说法: ①; ②在有理数运算中,相加得0的两数互为相反数.如果在钟表运算中沿用这个说法,那么4的相反数是8; ③有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的“相反数”在钟表运算中仍然成立; ④规定在钟表运算中也有,对于钟表上的任意数字,若,则. 其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 11.(2025 贵州贵阳 模拟预测)若公共汽车上车人数记为“+”,下车人数记为“-” ,一辆公共汽车原有18名乘客,经过某一站时,乘客变化为:,,这时车上乘客人数为 . 12.(2025 湖北武汉 模拟预测)武汉市年的最高温度是月日的,最低温度是月日的.则年武汉市全年温度的最大相差 . 13.(2025 湖北武汉 二模)武汉关的设防水位是,以它为基准点,高于的水位用正数表示,比如1998年武汉关的最高水位达到,记作,2025年4月份,武汉关的最高水位是,记作 m. 14.(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 期中)六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼.下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计.他将个记为,超出个的部分用正数表示,不足个的部分用负数表示.《国家学生体质健康标准》规定:六年级男生一分钟跳绳个数在个以上(含个)记为优秀.该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩为优秀. 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 15.(24-25七年级上 福建泉州 期末)点,点,点在一条数轴上,点表示的数为,点表示的数为4.以点为折点,将向右对折,点落在数轴上点处.若,则点表示的数是 . 16.(24-25七年级上 河南郑州 期末)小明用下图1直观解释,类似的,请你写出可用图直观解释的算式 . 17.(2025 北京海淀 一模)某公司设有三个充电桩,分别为一个快充桩和两个慢充桩.每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务,且每辆车充电完成前,充电过程不得中断.现有五辆车待充电,每辆车的充电需求如下表: 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间(分钟) 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间(分钟) 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计,请回答下列问题: (1)若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟,则这四辆车的序号可以为 (写出一种即可); (2)这五辆车完成充电总用时最短为 分钟. 18.(24-25六年级上 上海青浦 期中)机器人甲、乙沿着数轴相向而行,且各自运动的方向和速度都不改变.在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处(如图),如果乙的速度是平均每秒个单位长度,经过2秒后,甲、乙之间的距离是4,那么此时甲所在位置表示的数是 . 19.(24-25七年级上 山东聊城 期中)观察图形 , , ,找规律,根据规律, . 20.(2025 江苏南京 二模)根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》,从年月日起,男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月,逐步从周岁延迟至周岁. 男职工延迟法定退休年龄对照表(部分) 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强,李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄.王强说:“我可以在周岁前退休.”李斌说:“我比你小个月,要延迟至周岁退休,”则李斌的出生年月是 . 三、解答题 21. 计算 22.(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 阶段练习)在一个趣味冒险游戏中,玩家从一个特定的起点出发.游戏规定正东方向为正方向.一个玩家首先朝着正东方向前进了米,随后又改变方向走了米到达终点.大家都在思考,终点在起点的什么方向多少米呢?这个位置应该怎么表示?还有玩家在这个过程中一共走过的路程是多少米? 23.(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 期中)“六一”儿童节节就要到了,某玩具厂要赶制一批毛绒玩具.于是规定每人每天要做50个毛绒玩具,为了方便统计,某人一天如果生产了52个毛绒玩具,记作:+2个;如果生产45个毛绒玩具,记作:-5个. 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况: 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多?是多少个? (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具. 24.(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 期中)妈妈在超市买了一袋面粉,发现包装袋上有这样一段字样:“净重:”. (1)这段文字表示这袋面粉的重量在_和_之间. (2)在一次检测中,检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉,记录劈如下: 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合(1)和上表中的数据,以为标准,超出标准记为正,不足的记为负,用正、负数表示出这5袋面粉的质量,并判断这5袋面粉中不合格的有_袋. 25.(24-25七年级上 重庆石柱 期中)已知一列数:4.5,,0,,,. (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来; (2)在上面的数中,找出绝对值小于但不小于1的所有数,并求它们的和. 26.(24-25七年级上 内蒙古包头 期末)阅读材料: 在学习绝对值时,根据绝对值的几何意义,我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离;,所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离;,所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离.一般地,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B两点之间的距离可以表示为. 回答问题: (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是_;数轴上表示x与2的两点之间的距离是_; (2)若,求m的值; (3)若,写出整数n的值; (4)若代数式的最小值是4,请直接写出a的值. 27.(24-25七年级上 河南南阳 期中)定义 运算,观察下列运算: ,, ,, ,. (1)请你认真思考上述运算,归纳 运算的法则: 两数进行 运算时,同号_,异号_,并把绝对值_. 特别地:0和任何数进行运算,或任何数和0进行 运算,_. (2)计算:. (3)试通过计算说明与相等吗?运算_结合律.(填“满足”,“不满足”) 28.(24-25七年级上 云南楚雄 期末)如图,一只蜗牛从点A沿着数轴向右爬行4个单位长度到达点B,从点B沿着数轴又向左爬行7个单位长度到达点C,点A表示的数为.设点B表示的数为a,点C表示的数为b. (1)求a,b的值. (2)求的值. 29.(24-25七年级上 安徽滁州 期中)小茹利用计算机软件绘制了一条数轴,数轴上有A,B,C,D四点,其中点A在点B的左侧,点B在原点处,点C,D分别与5和8对应,A,B之间的距离与C,D之间的距离相等. (1)点A表示的数为_. (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀,蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度,第二次沿数轴向左跳动3个单位长度,第三次沿数轴向右跳动5个单位长度,第四次沿数轴向左跳动7个单位长度,……,且按此规律进行跳动. ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数,并直接写出第几次跳动后落在原点处. ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离. 30.(24-25七年级上 广东肇庆 期中)如图,在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋.一枚白棋,黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上,甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏(甲移动黑棋、乙移动白棋). 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种,再根据获胜或平局的结果进行移动(剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀,手势相同为平局),移动规则如下: ①若甲赢,则甲将黑棋向右移动2个单位长度,同时乙将白棋向右移动1个单位长度; ②若乙赢,则甲将黑棋向左移动1个单位长度,同时乙将白棋向左移动2个单位长度; ③若平局,则甲将黑棋向右移动1个单位长度,同时乙将白棋向左移动1个单位长度. 前四局如下表: 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始,求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数. (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近,则甲胜,若白棋的位置离原点更近,则乙胜,那么第三局结束时获胜的是谁?此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少? (3)若第四局结束后,白棋在数轴上的位置所对应的数是4,则乙第四局的手势是什么?此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$