1.1菱形的性质与判定（1） 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

1.1菱形的性质与判定（1） 导学案 【学习目标】理解菱形的概念，会应用菱形的性质定理解决问题． 【学习重难点】菱形的性质及其应用． 【导学过程】 一.知识回顾：平行四边形的定义、性质和判定方法． 二.探究新知: 【知识点1】菱形的概念:下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 【归纳】：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【思考】：菱形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？例：__________________。 【知识点2】菱形的性质：（1）设计折纸活动探究：用菱形纸片折一折，回答下列问题： ①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 答：_______________________________________________________________________________. ( B A C D O 图 1 )②菱形中有哪些相等的线段？ 答：_________________________________________________________________. （2）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O． 求证：①AB=BC=CD=AD；②AC⊥BD． 【归纳】：菱形的性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边相等． 性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角． 性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． 三.典例与练习：例1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长． 练习：1.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形的边长AB=_______，菱形ABCD的面积为________． 2：如图4，菱形ABCD的周长为24cm，∠BAD:∠ABC=1:2，则对角线AC=_____cm，BD=_______cm． ( A D B C O ) ( A D B C O )总结经验：菱形的面积等于两对角线乘积的一半. 例2：如图4，在菱形ABCD中，∠B=30°，点E在CD边上，若AE=AC,DE=6，求AC的长. ( 图 6 )练习：3.如图6，在菱形中，是的中点，且，.求： （1）的度数； （2）对角线的长； （3）菱形的面积 四.课堂小结：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2.性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边都相等；性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角;性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点． 3.重要结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。 五.分层过关： 1.已知菱形两个邻角的度数比是1︰5，一边上的高是8，则菱形的周长是（ ） A.16 B.32 C.64 D.128 ( 图7 )2.如图7，菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若BC=5，AC=6， 则EF的长为( )A.4 B. C.5 D. 3.如图8，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3， 则菱形ABCD的面积为_________. 4.如图9，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F； ( 图9 )（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 5.如图10，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE,DF,BE,BF. （1）求证：四边形DEBF为菱形（2）求菱形DEBF的面积； （3）若P是菱形ABCD的边上的点，则满足的点P的个数是 个. ( 图 10 ) 思考题： ( 图 12 图 11 )1.如图11，边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，连接BE. (1)如图11，求证：∠AFD=∠EBC； (2)如图12，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数. ( 图 13 )2.如图13，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点 D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为______． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定（1） 导学案 【学习目标】理解菱形的概念，会应用菱形的性质定理解决问题． 【学习重难点】菱形的性质及其应用． 【导学过程】一.知识回顾：平行四边形的定义、性质和判定方法． 二.探究新知: 【知识点1】菱形的概念:下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 【归纳】：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【思考】：菱形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？例：__对边平行且相等__。 【知识点2】菱形的性质（1）设计折纸活动探究：用菱形纸片折一折，回答下列问题： ①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 答：菱形是轴对称图形；它有两条对称轴，两条对称轴互相垂直平分. ②菱形中有哪些相等的线段？答：四条边相等；对角线互相平分构成两对相等线段. （2）已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O． 求证：①AB=BC=CD=AD； ②AC⊥BD． 证明：①∵菱形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC， ∵AB=AD，∴CD=BC，∴AB=BC=CD=AD.②∵AB=AD,DO=BO,AO=AO ∴∆AOB≌∆AOD∴∠AOD=∠AOB=90°∴AC⊥BD. 【归纳】：菱形的性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边相等． 性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角． 性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． 三.典例与练习: 例1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长． 解：∵菱形ABCD,∠BAD=60° ∴∆ABD是等边三角形， ∴AB=BD=6.OB=3,AO=∴AC= 练习：1.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形的边长AB=5_，菱形ABCD的面积为_12_． 2：如图4，菱形ABCD的周长为24cm，∠BAD:∠ABC=1:2，则对角线AC=__cm，BD=_6_cm． ( A D B C O ) ( A D B C O )总结经验：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。 例2：如图5，在菱形ABCD中，∠B=30°，点E在CD边上，若AE=AC,DE=6，求AC的长. ( 图 5 )解：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝30°，∴∠D＝30°，AB＝AD， ∴∠BAC＝∠ACB＝75°＝∠ACD，∵AE＝AC， ( 图 6 O )∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∵∠AEC＝∠D＋∠DAE，∴∠DAE＝45°， ∵EF⊥AD，∠D＝30°，DE＝6，∴EF＝3，∴AE＝EF＝3，∴AC=3. 练习：3.如图6，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=8.求： （1）∠ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积 解：（1）连接BD，∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD=BD 又AD=AB，∴∆ABD是等边三角形，∴∠ABD=60︒，∠ABC=120︒ （2）设AC与BD相交于O∴OB=4∴BC=AB=8 根据勾股定理可得OC=，∴AC=2×4=8． （3）菱形ABCD的面积=8×8×=32. 四.课堂小结：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ( 图 8 ) ( 图7 )2.性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边都相等；性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角;性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点． 3.重要结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。 五.分层过关： 1.已知菱形两个邻角的度数比是1︰5，一边上的高是，则菱形的周长是（ C ） A. B. C. D. 2.如图7，菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若BC=5，AC=6，则EF的长为( A ) A.4 B. C.5 D. 3.如图8，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3，则菱形ABCD的面积为_24_. 4.如图9，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， ( 图9 )（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要 求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2） ∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB,∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∠C=30°． ∴∠A=∠C=30°∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝75°-30°=45°． 5.如图10，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE,DF,BE,BF. ( 图 10 )（1）求证：四边形DEBF为菱形（2）求菱形DEBF的面积； （3）若P是菱形ABCD的边上的点，则满足的点P的个数是_8_个. 解（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，∴△AED≌△AEB（SAS） 同理可证：△AEB≌△CFD≌△CFB，∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DEBF为菱形. (2)连接DB，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形， ∴DB⊥AC，，又∵AE=EF=FC=2， ∴AO=3，AD=2DO，∴，∴， (3)不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值＝2当点P由A运动到D时，PE＋PF的值由最大值6减小到2再增加到4，∵PE＋PE＝，2＜＜4，∴线段AD上存在两个点P，满足PE＋PF＝∴根据对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点P满足条件． ( 图 12 图 11 )思考题：1.如图11，边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，连接BE. (1)如图11，求证：∠AFD=∠EBC； (2)如图12，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCE=∠DCE，∵BC＝CD，CE＝CE∴△BCE≌△DCE，∴∠CDE=∠CBE∵AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE． (2)∵DE=CE；∴∠EDC=∠ECD由（1）知∠EDC=∠EBC，∠CAD=∠CAB，设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x；∴∠DCB=∠CBF=2x，∵BE⊥AF，∴∠EBF=x+2x=3x=90°，则x=30°；∴∠DAB=60°. ( 图 13 )2.如图13，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为__（，）______． 解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． 在Rt△OBK中，OB=4，∵AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2， 设OA=AB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，∴x2=（8-x）2+42，∴x=5， ∴A（5，0），∵A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA， ∴此时PC+PD最短，∵直线OB解析式为y=0.5x，直线AD解析式为y=-0.2x+1， ∴点P坐标（，）. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$