精品解析：上海市高桥中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题 1. 已知全集，则集合___________. 2. 经过点、的直线的斜率为_____. 3. 函数的最大值是 ． 4. 已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是________． 5. 若，则在方向上数量投影是__________． 6. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 7. 如图，在正方形中，，为上一点，且，则__________. 8. 已知，设，______. 9. 函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为__________． 10. 若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 11. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 12. 对于定义域和值域均为[0.1]的函数f(x)，定义f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，…，fn(x)f(fn1(x))，n1,2,3,…．满足fn(x)x的点称为f的n阶周期点．设， 则f的n阶周期点的个数是______________． 二、选择题 13. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 14. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 15. 三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（ ）. A. 0个 B. 21 C. 有限个且多于2个 D. 无限个 三、解答题 17. 已知方程的两根为与．求下列各式的值： （1） （2） 18. 如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面为圆柱轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8. （1）求这个组合体的体积 （2）设为半圆弧的中点，求到面的距离. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 20. 已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . （1）求椭圆 的标准方程； （2） 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. （3）若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 21. 已知函数． （1）若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题 1. 已知全集，则集合___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，故. 故答案为： 2. 经过点、的直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 3. 函数的最大值是 ． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式化简，得到，进而可得其最大值． 【详解】因为，， 所以，当且仅当时，取得最大值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，熟记二倍角公式，以及正弦函数的性质即可，属于基础题型． 4. 已知常数且，如果无论取何值，函数图像恒过定点，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数（且）恒过点， 所以函数（且）恒过点，即. 故答案为： 5. 若，则在方向上的数量投影是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，再根据求出在方向上的数量投影； 【详解】解：因为，所以， ， 所以在方向上的数量投影为； 故答案为： 6. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况. 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况， 若选出的2名学生都是女生，有种情况， 所以所求的概率为. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 7. 如图，在正方形中，，为上一点，且，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】在正方形中，， 又，为上一点，且， 所以． 故答案为：12. 8. 已知，设，______. 【答案】1023 【解析】 【分析】由，可求出，进而将代入展开式，可求出，将代入展开式，可求出，进而可求出. 【详解】因为，所以， 则， 令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为：1023. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查利用赋值法求系数和问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9. 函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由定义代入，可求出的值，代入可求出对应的的值，根据题意对不等式变形可得，根据单调性可列出关于的不等关系，结合定义域可求出结果. 【详解】解：令，则有，所以， 因为，所以，所以， 不等式等价于， 函数是定义在上的严格减函数，则， 即，又，且，所以. 故答案为： 10. 若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，结合累加法可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 11. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PAB的一般方程为（，）， 因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面， 所以将坐标代入，得 解得，，， 由题知不全为0，所以， 所以，即， 所以点到侧面PAB的距离. 故答案为：. 12. 对于定义域和值域均为[0.1]的函数f(x)，定义f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，…，fn(x)f(fn1(x))，n1,2,3,…．满足fn(x)x的点称为f的n阶周期点．设， 则f的n阶周期点的个数是______________． 【答案】 ． 【解析】 【详解】当时，，解得，当时， ，解得， 的阶周期点的个数是， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 的阶周期点的个数是…由依次类推，有个不同的解析式，fn(x)x 的点有个，的阶周期点的个数是，故答案为. 【方法点睛】本题考查函数的零点及分段函数的解析式，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义f的n阶周期点达到考查函数的零点及分段函数的解析式的目的. 二、选择题 13. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法和函数定义域的求解法解出集合，然后利用交集运算即可. 【详解】由得：， 由得：， 所以， 故选：A. 14. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定数据，求出样本的中心点，进而求出预测值. 【详解】由表格知 根据经验回归直线必过，得， 因此经验回归方程为，当时，． 所以当气温为时，预测用电量约为68度. 故选：A 15. 三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题中信息求出抛物线的标准方程，再将代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 根基题意，设抛物线的标准方程为， 由题意可知，点在抛物线上，则，解得， 所以，抛物线的标准方程为， 若水面从图中示意位置上升，即时，可得，解得， 此时，水面的宽度为. 故选：B. 16. 已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（ ）. A. 0个 B. 21 C. 有限个且多于2个 D. 无限个 【答案】A 【解析】 【分析】假设存在这样的三角形，设且，则，由向量加法坐标运算及相关性质得，结合基本不等式得到矛盾，即可得. 【详解】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 三、解答题 17. 已知方程的两根为与．求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由一元二次方程韦达定理求出，再将所求式子变形代入即可. 【小问1详解】 已知方程的两根为与， 则， 所以. 【小问2详解】 . 18. 如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8. （1）求这个组合体的体积 （2）设为半圆弧的中点，求到面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用圆锥、圆柱体积公式计算即可. （2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据求解即可. 小问1详解】 依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，则圆锥的体积， 圆柱的底面圆半径为4，高为5，则圆柱的体积， 所以这个组合体的体积为. 【小问2详解】 连接，由为半圆弧的中点，得，， 而平面，平面，则，，平面， 于是平面，显然圆锥与圆柱有共同的旋转轴，即点在平面内， 因此三棱锥的高为，且， 设到平面的距离为，由，得， 即，从而， 故到平面的距离为. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1）列联表见解析，0.35； （2）有； （3）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问3详解】 不是每天都整理数学错题学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 20. 已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . （1）求椭圆 的标准方程； （2） 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. （3）若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 【答案】（1） （2）时，的最大值为，时，的最大值为当； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦半径性质，利用待定系数法，即可求解； （2）根据两点间距离公式，转化为二次函数，结合函数的定义域，即可分类讨论函数的最值； （3）首先直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据两角和的正切公式，转化为，再根据斜率公式，代入韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，， ， ，，， 当时，即，此时在区间单调递减，所以的最大值为当时，此时， 当时，即，此时在区间的最大值为当， 综上可知，时，的最大值为，时，的最大值为当； 小问3详解】 设，（且），，， 将与联立，得， 则，， 因为，， 所以，所以为定值， 因为 ， 当时，，为定值， ， 所以，. 21. 已知函数． （1）若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的减区间为，增区间为；切线方程为. （2） 【解析】 【分析】（1）将a＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程； （2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可. 【小问1详解】 当时， 由，有， 由有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的减区间为，增区间为； 又，所以切点为， 切线斜率， 所以切线方程， 即切线方程为. 【小问2详解】 ， ， 设， 则 ∵，∴， 在上单调递增， ， ①当，即时， ， 在上单调递增， 则， ∴， 故． ②当，即时， ， ，， 即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则 ， ∴， ∴． 由， 令函数，且， ， 在上单调递增，， ∵， ∴． 综上，实数a的取值范围是：． 【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法： ①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间）， ②求极值或最值 ③求切线方程 ④通过切线方程求原函数的解析式 ⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围 ⑥证明不等式 ⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围 解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$