精品解析：上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

同济一附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 若复数是纯虚数（为虚数单位），则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数列出关于的关系式即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案： 3. 已知，，且与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 4. 已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 5. 已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【解析】 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 6. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 7. 已知函数，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 故答案为：. 8. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 9. 已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形利用梯形的中位线即可求出线段的中点到平面的距离． 【详解】∵线段的端点A，B到平面的距离分别为1，3， 且A，B在平面α的同侧，由梯形的中位线公式， ∴线段的中点到平面的距离为． 故答案为： 10. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数的知识可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得， 则，解得， 在直角中，， 则. 故答案为：. 11. 在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，结合二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，再根据向量数量积的定义即可得. 【详解】根据题意可知如下图所示： 过点作轴的垂线交轴于一点， 由在上的投影向量为可得，且， 设与的夹角为， 所以， 又因为，所以， 由二倍角公式可得； 所以. 故答案为：. 12. 正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得三点共线，进而可得，结合，可求的最小值. 【详解】因为，所以三点共线， 所以， 又，所以. 故答案为：. 二、选择题（共4题，其中13、14每题3分，15、16每题4分，满分14分） 13. 设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 14. 在空间中，下列命题中正确的是（ ） A. 相交于同一点的三条直线共面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 垂直同一条直线的两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】通过举例判断A；根据基本事实4判断B；由平行四边形的判定定理判断C；由线线位置关系判断D. 【详解】对于A，正方体的同一顶点处的三条棱所在的直线不在同一平面内，故A错误； 对于B，由基本事实可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确； 对于C，同一平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 不在同一平面内时，两组对边分别相等的四边形不是平行四边形，故C错误； 对于D，垂直同一条直线的两直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故D错误. 故选：B 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质结合空间中的直线与直线平行的判定定理求解出截面的形状进而再求截面面积即可. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得，所以， 则共面，故平面截该正方体所得的截面为． 又正方体的棱长为1，， ，故的面积为． 故选:C. 16. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 三、解答题（共5题，满分50分） 17. 设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 18. 如图．在正方体中，是的中点． （1）求证：直线与是异面直线. （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【小问1详解】 证明：假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. 【小问2详解】 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 19. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 20. 如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． （1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）是，定值． 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【小问1详解】 当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 21. 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【小问1详解】 当时，, 所以当，即 时，所以 ,此时 ； 【小问2详解】 因 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; 【小问3详解】 因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济一附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 若复数是纯虚数（为虚数单位），则实数________． 2. 函数的最小正周期为________. 3. 已知，，且与的夹角为，则________． 4. 已知向量，，若，，三点共线，则________． 5. 已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与关系是________． 6. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 7 已知函数，若，则________． 8. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 9. 已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 10. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为_____. 11. 在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则______. 12. 正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________． 二、选择题（共4题，其中13、14每题3分，15、16每题4分，满分14分） 13. 设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 在空间中，下列命题中正确的是（ ） A. 相交于同一点三条直线共面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 垂直同一条直线的两直线平行 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，四个边长为1小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 三、解答题（共5题，满分50分） 17. 设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 18. 如图．在正方体中，是的中点． （1）求证：直线与是异面直线. （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 20. 如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． （1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 21 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $