精品解析：浙江省绍兴市2024-2025学年高二下学期期末调测数学试卷

绍兴市2024学年第二学期高中期末调测 高二数学 注意事项： 1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须答在答卷相应位置上. 2.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 若函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某防御系统的导弹拦截目标的命中率为，为提高拦截成功率，决定同时发射三枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 现有红黄蓝绿四种颜料，给四棱锥五个不同的面染色，要求每个面染一种颜色，且有公共棱的面颜色不同，则不同的染色方案有（ ） A. 108种 B. 96种 C. 72种 D. 54种 8. 已知函数上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是一个极大值点 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间内有零点 D. 在区间上单调递减 10. 设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A. B. C. 的值域为 D. 不等式的解集为 11. 已知实数，满足，则下列命题正确的是（ ） A. 若时，则， B. 若，，则是的减函数 C. 若，，则是的周期函数 D. 若，，则是偶函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的长度为______. 14. 在棱长为4的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求定义域并判断其奇偶性. 16. 已知平面四边形的对角线分别为，且． （1）若，，求的面积； （2）若，，的平分线AE交BD于点E，求AE． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某模拟投资游戏中，有一种项目投资成功的概率为.若成功，将获得投资额的倍的回报，若失败，回报为零.其中，是给定的常数，且满足，，.现决定投入当前总资金额的倍.定义投资对数收益为，其中，分别为投资前后的总资金额. （1）求的分布列； （2）当的数学期望最大时，求的值； （3）设初始资金额为1个单位，按照（2）的策略先后投资轮该种项目后，求最终总资金额的数学期望. 19. “地板函数”表示不超过的最大整数，如，.设函数. （1）求的值及函数的最小正周期； （2）已知函数，方程恰有30个非负实数解，它们构成一组数据，，…，. （i）求这组数据的中位数的取值范围； （ii）设这组数据的方差为，求. 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绍兴市2024学年第二学期高中期末调测 高二数学 注意事项： 1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须答在答卷相应位置上. 2.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式计算即得. 【详解】已知，则. 故选：B. 3. 若函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定点性质计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象恒过定点. 故选：D. 4. 设函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程. 【详解】求导得，则，又， 所以切线方程为：. 故选：D 5. 已知某防御系统的导弹拦截目标的命中率为，为提高拦截成功率，决定同时发射三枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确“拦截成功”的对立事件，求出一枚导弹拦截目标失败的概率，用独立事件概率公式得到三枚导弹拦截目标失败的概率，用1减去三枚导弹拦截目标失败的概率，即为拦截成功的概率. 【详解】“拦截成功”的对立事件是“三枚导弹都拦截失败”， 已知一枚导弹拦截目标的命中率为，那么一枚导弹拦截目标失败的概率为， 三枚导弹都拦截目标失败的概率为， 因此拦截成功的概率为. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用抽象函数赋值先证充分性，再证必要性即可得到结论. 【详解】先证充分性：因为，，， 令，得到：，所以， 再令，得到，所以，充分性成立； 再证必要性，因为，所以，且， 所以有，必要性得证； 故“，，”是“”的充要条件. 故选：C 7. 现有红黄蓝绿四种颜料，给四棱锥五个不同的面染色，要求每个面染一种颜色，且有公共棱的面颜色不同，则不同的染色方案有（ ） A. 108种 B. 96种 C. 72种 D. 54种 【答案】C 【解析】 【分析】先染底面，再染与底面相邻的一个侧面，随后染相邻第二个侧面，染第三个侧面时，分与第一个侧面同色和不同色两种情况，最后依据分步乘法计数原理，将每步选择数相乘即为总方案数. 【详解】设四棱锥为， 先染底面，有4种染法， 染侧面，因为与底面有公共棱，所以有3种染法， 染侧面，因为与底面和侧面都有公共棱，所以有2种染法， 染侧面：若与颜色相同，此时有1种染法， 那么染时，与底面、、有公共棱，有2种染法； 若与颜色不同，此时有1种染法， 那么染时，与底面、、有公共棱，有1种染法， 因此，根据分步乘法计数原理，总染色方案数有种. 故选：C. 8. 已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，结合两角和的正切公式可得，进而得，由在上单调递增，可得，进而可得. 【详解】由题意，， 得， ， 由，得， 故， 又在上单调递增，故，故得， 故， 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是的一个极大值点 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间内有零点 D. 在区间上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据计算函数零点可得选项C正确；求出函数的单调递减区间可得选项D正确. 【详解】A选项，，是的一个极大值点，A正确； B选项，，的图象不关于直线对称，B错误； C选项，当时，， 当时，，解得， 故在区间内有1个零点，C正确； D选项，由，，解得， 所以单调递减区间为，， 令，得函数的一个单调递减区间为， 因为，所以在区间上单调递减，D正确． 故选：ACD． 10. 设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A. B. C. 的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出函数图象，数形结合可得B正确；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果. 【详解】对于A：将分别代入函数，，得到，故，故A错误； 对于B：令，故，解得或， 同一坐标系内画出两函数图象，如下： 观察图像可知当时，， 当时，， 当时，， 所以故B正确； 对于C：观察图象得到值域为，故C正确； 对于D：当时，， 通过观察图像可知函数单调递减，定有；故， 当时，，此时， 因为，所以， 解得或（舍），故； 当时，，此时， ，即，无解； 当时，，由于， 故，无解， 综上：不等式的解集为，故D正确； 故选：BCD 11. 已知实数，满足，则下列命题正确的是（ ） A. 若时，则， B. 若，，则是的减函数 C. 若，，则是的周期函数 D. 若，，则是的偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】A由三角函数值求角；BC先利用定义证明是的函数，再结合单调性和周期性的定义证明；D举反例可知不是的函数. 【详解】对于A，若，则， 则或，，故A错误； 对于B，，则；，则， 故可知，对于，必存在与之对应； 又函数在上单调递减，在上单调递增， 故对于，必存在唯一与之对应，综上可知，是的函数； 任取，且，则， 即，则，故是的减函数，故B正确； 对于C，，则；，则， 故可知，对于，必存在与之对应； 因在上单调递减， 故对于，必存在唯一与之对应，综上可知，是的函数； 不妨设，则， 即，则，故是的周期函数，故C正确； 对于D，若，则， 又，则或，可知不是的函数，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据所给公式计算出相关的数据，代入即可得解. 【详解】因为，， ， ， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的长度为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量的计算，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可得长度为. 故答案为：. 14. 在棱长为4的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系并确定轨迹方程，分析轨迹在正方体各面上的情况，把各面上的轨迹长度相加，得到轨迹总长度即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，由可得： ， ， ， ， ， 即的轨迹方程为：， 在面上，方程变为， 当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍）， 所以在面上，轨迹长度为：； 在面上，方程变为， 当时，，当时，（舍），当时，，当时，（舍）， 所以在面上，轨迹长度为：； 在面上，方程变为， 当时，，当时，（舍），当时，，当时，（舍）， 所以在面上，轨迹长度为：； 在面上，方程变为， 当时，（舍），当时，（舍），当时，，当时，， 所以在面上，轨迹长度为：； 在面上，方程变为， 当时，（舍），当时，，当时，（舍），当时，， 所以在面上，轨迹长度为：； 在面上，方程变为（舍）， 所以在面上，不存在轨迹； 综上，轨迹总长度为：. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求的定义域并判断其奇偶性. 【答案】（1） （2）的定义域为，为奇函数 【解析】 【分析】（1）根据可求得. （2）求出的定义域为，关于原点对称，结合函数奇偶性的定义判断可得结果. 【小问1详解】 由题意知，即，解得 【小问2详解】 由（1）得， 由得，所以的定义域为，关于原点对称， 因，所以为奇函数. 16. 已知平面四边形的对角线分别为，且． （1）若，，求的面积； （2）若，，的平分线AE交BD于点E，求AE． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得出，再根据诱导公式及两角和的正弦公式求得，由三角形面积公式即可求解； （2）过点作，垂足分别为，根据等面积法求得的值，再根据三角函数即可求解． 【小问1详解】 因，， 所以为钝角，为锐角，则，， 在中，由正弦定理得，， ， 所以． 【小问2详解】 因为，，平分， 所以，， 则， 过点作，垂足分别为，如图所示，则， 设， 则， 所以， 在中，． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）思路一：根据，两点到平面等距即可列方程求解；思路二：建立适当的空间直接坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由，，可知，所以. 取的中点，连结，， 则，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 法一：由（1）及可知，又， 平面， 所以平面，（或者平面），而平面， 可知，又，，平面， 因此平面， 所以点到平面距离. 由，可知平面， 因此，两点到平面等距，即. 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：同法一，先证明平面， 以为原点，，分别为，轴， 过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，. 设， 得. 所以，，. 设平面的法向量为， 则即可取， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某模拟投资游戏中，有一种项目投资成功的概率为.若成功，将获得投资额的倍的回报，若失败，回报为零.其中，是给定的常数，且满足，，.现决定投入当前总资金额的倍.定义投资对数收益为，其中，分别为投资前后的总资金额. （1）求的分布列； （2）当的数学期望最大时，求的值； （3）设初始资金额为1个单位，按照（2）的策略先后投资轮该种项目后，求最终总资金额的数学期望. 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知列出概率即可得出分布列； （2）计算得出数学期望，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性即可得出最大值； （3）结合（2）应用二项式定理的逆用计算求解数学期望. 【小问1详解】 投资成功后，， 投资失败后，，因此的分布列为 【小问2详解】由（1）可知. 令，， 所以， 令，得， 单调递增， 单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，投资对数收益的数学期望最大. 【小问3详解】 设次投资中成功的次数为，则， 则，其中，，，…，. 由（2）的策略可知，当成功次，失败次时， ， 因此， 19. “地板函数”表示不超过的最大整数，如，.设函数. （1）求的值及函数的最小正周期； （2）已知函数，方程恰有30个非负实数解，它们构成一组数据，，…，. （i）求这组数据的中位数的取值范围； （ii）设这组数据的方差为，求. 参考公式： 【答案】（1），的最小正周期为2 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将代入原函数即可求得结果，利用周期函数的定义即可求得函数的最小正周期； （2）（i）将展开，结合周期性，分析方程的解的分布， 构造新函数，再利用判别式的取值范围即可求得结果. （ii）利用方差的公式计算即可得到结果. 【小问1详解】 . 因为. 当时，，则，说明没有比2小的正周期， 所以2是的最小正周期. 【小问2详解】 （i）设， ，当时，， 所以， 令，得，， 所以，由题可知，， 解得. 不妨设， 则，是方程，的两个实根， 因此，， 所以这组数据的中位数为， 所以其取值范围为. （ii）这30个零点的平均值为， 则， 所以， 所以 当时，直线与图象没有交点， 因此这部分抛物线的顶点应该在直线下方，得， 同理可知点在直线上方，因此， 函数在上单调递减，则， 注意到，， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$