第十五讲：实际问题与二次函数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）（教师版+学生版）-2025-2026学年九年级数学上册人教版

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十五讲：实际问题与二次函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数与几何图形面积的最值 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 知识点02：利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点03：利用二次函数解决抛物线形实物问题 1、 分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 考点1：图形问题 【典型例题】 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 【变式训练1】 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（　　） A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m 【答案】A 【详解】解：设长为x，则宽为， S=，即S=， 要使做成的窗框的透光面积最大，则x=，于是宽为=1m， 所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m， 故选：A． 【变式训练2】 用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为(　　) A．7 cm2 B．8 cm2 C．9 cm2 D．10 cm2 【答案】C 【分析】设矩形的长为x,表示出矩形的宽，根据二次函数的性质求出最大值即可. 【详解】设矩形的长为x,则宽为 矩形的面积 故矩形的最大面积是9 cm2 故选C. 【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．掌握配方法是解题的关键. 考点2：拱桥问题 【典型例题】 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 【变式训练1】 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解． 【详解】解：解：设该抛物线的解析式为， 由题意可得，点A的坐标为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， ∴这两盏灯的水平距离是：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解． 【变式训练2】 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 考点3：销售问题 【典型例题】 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴要想获得最大利润，则销售单价为元， 故选：A． 【变式训练1】 某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558， 故选：A． 【变式训练2】 “燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键． 每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为， 设日利润为， ∴， ∴最大利润为：元， 故选：C． 考点4：增长率问题 【典型例题】 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【变式训练1】 由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【变式训练2】 据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均每个月增长的百分率为，可得第三月的总值为，第四月的总值为，即可解答． 【详解】解：设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键． 一、单选题 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 2．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，经过原点，设出顶点式，将原点坐标代入求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过原点， ∴设． ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的表达式为，即． 故选B． 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件， 根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键． 4．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位：）与水流运动时间（单位：）之间的函数解析式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度为0，把代入即可求出，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间． 【详解】 解：水流从抛出至回落到地面时高度为0， 把代入得：， 解得：（舍去），． 故水流从抛出至回落到地面所需要的时间． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解． 7．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 8．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【详解】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 二、填空题 9．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故答案为：2． 10．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知花圃的长为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键． 11．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 12．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ． 【答案】 【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：， 根据题意可得： ∵ 当时，函数最大值为平方米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键． 13．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是 ．   【答案】 【解析】略 14．足球被从地面上踢起，它距地面的高度h（m）可用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地． 【答案】4 【详解】解：令，则， 解得，， 足球被踢出落地， 故答案为：4． 15．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30）出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元． 【答案】25 【解析】略 16．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元． 【答案】 18000 6000 【解析】略 三、解答题 17．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 19．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 【答案】(1)能够投中，理由见解析； (2)能够盖帽拦截成功，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入求出值． （1）观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解； （2）代入求出值，由该值小于可得出盖帽拦截成功． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是． ∴可设抛物线的解析式是． 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中． （2）当时，， 能够盖帽拦截成功． 20．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．    (1)求喷出的水流离地面的最大高度； (2)求喷嘴离地面的高度； (3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？ 【答案】(1)2.25m (2)1.25m (3)半径至少为2.5m 【分析】（1）直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度； （2）利用求出的值即可； （3）利用求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为， 喷出的水流离地面的最大高度为：2.25m； （2）解：当，则m， 答：喷嘴离地面的高度为1.25m； （3）解：由题意可得；时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池外． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出以及的意义是解题关键． 21．某商店以每件5元的价格购进一种文具，由试销知，该文具每天的销售量m（件）与单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）写出商店每天销售这种文具的利润y（元） 与单价x（元） 之间的函数关系式？ （2）商店要想每天获得利润21元，单价应定为多少元？ （3） 商店要想每天获得最大利润，单价应定为多少元？最大利润为多少？ 【答案】（1）；（2）单价应定为元或元；（3）单价应定为每件元，最大利润为元． 【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； （2）把代入（1）中函数解析式，可得一元二次方程，解方程可得答案； （3）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意知：   （2）当时， 即商店要想每天获得利润21元，单价应定为每件元或元． （3）∵ ∴当时，y取得最大值，最大值为， 答：商店要想每天获得最大利润，单价应定为每件元，最大利润为元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，二次函数的最值，掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十五讲：实际问题与二次函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数与几何图形面积的最值 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 知识点02：利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点03：利用二次函数解决抛物线形实物问题 1、 分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 考点1：图形问题 【典型例题】 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（　　） A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m 【变式训练2】 用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为(　　) A．7 cm2 B．8 cm2 C．9 cm2 D．10 cm2 考点2：拱桥问题 【典型例题】 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 考点3：销售问题 【典型例题】 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【变式训练1】 某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【变式训练2】 “燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 考点4：增长率问题 【典型例题】 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位：）与水流运动时间（单位：）之间的函数解析式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（　　） A． B． C． D． 7．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 8．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 二、填空题 9．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 10．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 11．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    12．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ． 13．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是 ．   14．足球被从地面上踢起，它距地面的高度h（m）可用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地． 15．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30）出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元． 16．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元． 三、解答题 17．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 19．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 20．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．    (1)求喷出的水流离地面的最大高度； (2)求喷嘴离地面的高度； (3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？ 21．某商店以每件5元的价格购进一种文具，由试销知，该文具每天的销售量m（件）与单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）写出商店每天销售这种文具的利润y（元） 与单价x（元） 之间的函数关系式？ （2）商店要想每天获得利润21元，单价应定为多少元？ （3） 商店要想每天获得最大利润，单价应定为多少元？最大利润为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$