第十七讲：中心对称（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）（教师版+学生版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十七讲：中心对称 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：中心对称及有关概念 1.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 (简称中心). 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2. 两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 知识点02：中心对称的性质 1. 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； 2. 中心对称的两个图形是全等图形. 知识点03：利用中心对称的性质作图 确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法： 2 接任意两组对称点，两条线段的交点就是对称中心； ②连接任意一组对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心. 知识点04：知识总结 考点1：成中心对称 【典型例题】 下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 下列命题正确的个数是（　　） ①两个全等三角形必关于某一点中心对称 ②关于中心对称的两个三角形是全等三角形 ③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称 ④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】只有当两个图形的对应点连线都经过同一点，且对应点到这一点的距离相等的时候，才可以说两个图形是中心对称图形，且这一点为对称中心，据此解答即可． 【详解】两个全等三角形不一定关于某一点中心对称，所以①的说法错误； 关于中心对称的两个三角形是全等三角形是中心对称的性质，所以②的说法正确； 两个三角形对应点连线都经过同一点，且对应点到这一点的距离相等，那么这两个三角形关于该点成中心对称，所以③的说法不正确； 关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心，是中心对称的性质，所以④的说法正确． 所以正确的共2个， 故选：B 【点睛】本题考查中心对称的性质及命题与定理的知识，属于基础题，掌握基本概念是解答本题的关键． 考点2：图形的对称中心 【典型例题】 如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【详解】A．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； B．∵点B与点G关于点O成中心对称， ∴，正确； C．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； D．∵点D与点E关于点O成中心对称， ∴， ∴错误， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练1】 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质． 关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【详解】解： ∵与关于某点成中心对称， ∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心． 故选：C． 【变式训练2】 如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图对称中心是PQ的中点， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 考点3：根据中心对称的性质求角度、长度、面积 【典型例题】 如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，， ∴选项A，B，C都不符合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【变式训练1】 如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 【变式训练2】 如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 一、单选题 1．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【答案】A 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心. 【详解】如图，连接HC和DE交于O1， 故选A． 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大． 3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， ∴BB′=2AB=4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 4．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（   ） A．3 B．4 C．7 D．11 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，可知即可求解． 【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称， ∴， 又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD≌△BOC（SAS） ∴AD=BC=3 ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围． 6．图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合． 【详解】解：根据中心对称的性质： 图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C. 故选：C 【点睛】本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键． 7．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2 【答案】A 【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A． 8．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 二、填空题 9．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过 ，且被对称中心 ． 【答案】 对称中心 平分 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称图形的性质填空即可，熟记中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分． 故答案为：对称中心；平分． 10．如图，和关于点O成中心对称，则根据中心对称的性质可得 ． 【答案】；点共线，点共线，点共线 【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴；点共线，点共线，点共线， 故答案为：；点共线，点共线，点共线． 11．如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，还考查了三角形的中位线定理．根据成中心对称的两个图形全等可得，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：与成中心对称， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 12．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，根据中心对称图形的一组对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是：， 故答案为：． 14．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为8和15， ∴菱形的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为30． 15．如图，与关于点C成中心对称，点M、N分别是、的中点，若，则    【答案】8 【分析】本题考查了中心对称图形的性质及三角形中位线的性质，根据中位线的性质得，再根据中心对称图形的性质得，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：点M，N分别是，的中点，且， ， 与关于点C成中心对称， ， 故答案为：8． 16．如图，已知，与关于点C成中心对称，则的长是 ．      【答案】 【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 三、解答题 17．的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形的平移，中心对称图形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 18．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，求的度数和的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，根据成中心对称的性质：成中心对称的两个图形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】解：四边形ABCD与四边形关于点成中心对称， ． 19．如图，在中，点D在上，E是的中点，连接，过点C作的平行线，交的延长线于点F． (1)与_______关于点_______成中心对称； (2)写出图中相等的线段． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）证明，得出，进一步可得出结论； （2）由（1）可得结论． 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与关于点成中心对称； 故答案为：；； （2）解：由（1）知，图中相等的线段有． 20．如图，正方形与正方形关于某点对称．已知点A、、D的坐标分别是． (1)求对称中心Q的坐标，并仅用直尺画出点Q的位置； (2)写出顶点B，C，的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形的性质的应用，根据题意得出旋转后对应点位置是解题关键． （1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是的中点，据此解答即可． （2）首先根据的坐标分别是，求出正方形与正方形的边长是多少，然后根据三点的坐标分别是，判断出顶点的坐标各是多少即可． 【详解】（1）解：根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是的中点， ∵的坐标分别是， ∴对称中心的坐标是， 连接交于， 则点即为所求； （2）解：∵的坐标分别是， ∴正方形与正方形的边长都是：， ∴的坐标分别是， ∵的坐标是， ∴的坐标是， ∴的坐标分别是， 综上，可得顶点的坐标分别是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十七讲：中心对称 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：中心对称及有关概念 1.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 (简称中心). 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2. 两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 知识点02：中心对称的性质 1. 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； 2. 中心对称的两个图形是全等图形. 知识点03：利用中心对称的性质作图 确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法： 2 接任意两组对称点，两条线段的交点就是对称中心； ②连接任意一组对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心. 知识点04：知识总结 考点1：成中心对称 【典型例题】 下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列命题正确的个数是（　　） ①两个全等三角形必关于某一点中心对称 ②关于中心对称的两个三角形是全等三角形 ③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称 ④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心 A．1 B．2 C．3 D．4 考点2：图形的对称中心 【典型例题】 如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点I D．点J 【变式训练2】 如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 考点3：根据中心对称的性质求角度、长度、面积 【典型例题】 如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式训练2】 如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 一、单选题 1．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（   ） A．3 B．4 C．7 D．11 6．图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 7．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2 8．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 二、填空题 9．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过 ，且被对称中心 ． 10．如图，和关于点O成中心对称，则根据中心对称的性质可得 ． 11．如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则 ． 12．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 13．如图所示的图形是中心对称图形，O是它的对称中心，E，F是两个对称点，则点E，F到点O的距离，的大小关系是： （填“”、“”或“”）． 14．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，与关于点C成中心对称，点M、N分别是、的中点，若，则    16．如图，已知，与关于点C成中心对称，则的长是 ．      三、解答题 17．的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； 18．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，求的度数和的长度． 19．如图，在中，点D在上，E是的中点，连接，过点C作的平行线，交的延长线于点F． (1)与_______关于点_______成中心对称； (2)写出图中相等的线段． 20．如图，正方形与正方形关于某点对称．已知点A、、D的坐标分别是． (1)求对称中心Q的坐标，并仅用直尺画出点Q的位置； (2)写出顶点B，C，的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$