精品解析：上海市嘉定区封浜高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期高一数学期终考试试卷(2025.6) 满分:150分考试时间:120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知为虚数单位，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解. 【详解】，. 故答案为：. 2. 已知向量，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 3. 已知角的终边经过点，则_____. 【答案】0 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求值. 【详解】由角的终边经过点，所以. 故答案为：0. 4. 函数的最小正周期是_____. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式即得. 【详解】由知其最小正周期为. 故答案为：2. 5. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 【答案】cm 【解析】 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】， 故答案为： 6. 在中，已知.且的面积为，则边长_____. 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求解. 【详解】由. 故答案为：4. 7. 在水平放置的平面上有一个边长为1cm的正方形，其直观图的面积为_____. 【答案】cm2 【解析】 【分析】利用斜二测画法进行求解． 【详解】如图所示： 四边形为正方形，且边长为1， 则在直观图中，， 则正方形的直观图的面积为：， 故答案为： 8. 若锐角满足_______________. 【答案】 【解析】 【详解】因，故， ，应填答案． 9. 设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. 10. 函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 11. 写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则_____.(结果精确到) 【答案】 【解析】 【分析】设，,在，中，由正弦定理可得，，运算求得答案. 【详解】设， 由题意，，则， 在中，由正弦定理，得，则. 在中，由正弦定理，得，则， 所以，化简整理得， 可得. 故答案为：. 12. 已知，，，直线与函数图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】设，由可知，或，结合可求得的值，进而可得出的值，可求出函数的最小值，再结合可得出，据此可得出关于的表达式，然后代值计算可得的值. 【详解】设， 由可知，或， 因为，则相邻交点最小距离为，即. 由， 可知，所以. 所以最小正周期为. 因为且，所以. 故或. 所以或， 当时，， 则； 当时，， 则. 故答案为：或. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第13、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 两条异面直线所成角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 14. 以下关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若是共线的单位向量.则 D. 若，则不是共线向量 【答案】A 【解析】 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A 15. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【解析】 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 平面内给定两个向量. （1）求与夹角的余弦值； （2）若和垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解； （2）利用向量垂直坐标公式计算即可求解. 【小问1详解】 由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为. 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 故. 【小问2详解】 由（1），， . 19. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【小问1详解】 连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. 【小问2详解】 因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 20. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求函数在上的零点； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【小问1详解】 ， 由，得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. 【小问3详解】 当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 21. 如图，游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿紧道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，. （1）求索道的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】已知角边角三要素，先求第三个角，再利用正弦定理求边即可； 已知边角边，利用余弦定理求第三边，再结合二次函数求最小值； 已知角角边，利用正弦定理来求边长，最后可求速度范围. 【小问1详解】 中，，， ， 由正弦定理，可得:， 索道的长为. 【小问2详解】 假设乙出发后，甲、乙两游客距离，此时，甲行走了，乙距离处， 由余弦定理得 ， 故当时，甲、乙两游客距离最短. 【小问3详解】 由正弦定理，得. 乙从出发时，甲已走了， 还需走才能到达， 设乙步行的速度为，由题意得， 解得:， 为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在，(单位:)范围内. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高一数学期终考试试卷(2025.6) 满分:150分考试时间:120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知为虚数单位，则__________ 2. 已知向量，则_____. 3. 已知角的终边经过点，则_____. 4. 函数最小正周期是_____. 5. 已知扇形弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 6. 在中，已知.且面积为，则边长_____. 7. 在水平放置的平面上有一个边长为1cm的正方形，其直观图的面积为_____. 8. 若锐角满足_______________. 9. 设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 10. 函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 11. 写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则_____.(结果精确到) 12. 已知，，，直线与函数的图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则_____. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第13、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 两条异面直线所成角的范围是（ ） A. B. C. D. 14. 以下关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若则 C. 若是共线的单位向量.则 D. 若，则不是共线向量 15. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上值域为 D. 若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 平面内给定两个向量. （1）求与夹角的余弦值； （2）若和垂直，求的值. 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值 19. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）证明： 20. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求函数在上的零点； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 21. 如图，游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿紧道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，. （1）求索道的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $