辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学模拟试题（1）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（1） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将转化为弧度数为 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，复数所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若，则 A． B．15 C． D．3 4．在空间几何中下列说法正确的是 A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．是平面内不共线两向量，已知，，，若A,B,D三点共线，则k的值为 A．3 B．-3 C．-2 D．2 7．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为 A． B． C． D． 8．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足，边上的高为2，且，则△ABC的周长为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，一个水轮的半径为6m， 水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时为起始（图中点）开始计时，记为点P距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是 A． B． C． D．若，则 10．对于△ABC，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列说法正确的有 A．若，则△ABC是钝角三角形. B．若，则△ABC为等腰三角形 C．命题“若，则”是真命题 D．“△ABC为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 11．如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是 A．该多面体的表面积为 B．过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C．设O为平面截该多面体所得的多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D．该多面体外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设．已知(其中是虚数单位)，则 ． 13．在中，分别为角的对边．已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 ． 14．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 在中，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小． 16．（本小题满分15分） 已知复数． （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C．求向量在向量上的投影向量的坐标． 17．（本小题满分15分） 已知正三棱台，点分别在上，且2A1D=DA，B1E=2EB ． （1）求过点的平面截正三棱台的截面周长； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； 18．（本小题满分17分） 在△ABC中, （1）求∠B； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长． 条件①：； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（1） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（1） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将转化为弧度数为 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，复数所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若，则 A． B．15 C． D．3 4．在空间几何中下列说法正确的是 A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．是平面内不共线两向量，已知，，，若A,B,D三点共线，则k的值为 A．3 B．-3 C．-2 D．2 7．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为 A． B． C． D． 8．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足，边上的高为2，且，则△ABC的周长为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，一个水轮的半径为6m， 水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时为起始（图中点）开始计时，记为点P距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是 A． B． C． D．若，则 10．对于△ABC，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列说法正确的有 A．若，则△ABC是钝角三角形. B．若，则△ABC为等腰三角形 C．命题“若，则”是真命题 D．“△ABC为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 11．如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同．如图2，设，则下列说法正确的是 A．该多面体的表面积为 B．过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C．设O为平面截该多面体所得的多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D．该多面体外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设．已知(其中是虚数单位)，则 ． 13．在中，分别为角的对边．已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 ． 14．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 在中，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小． 16．（本小题满分15分） 已知复数． （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C．求向量在向量上的投影向量的坐标． 17．（本小题满分15分） 已知正三棱台，点分别在上，且2A1D=DA，B1E=2EB ． （1）求过点的平面截正三棱台的截面周长； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 在△ABC中, （1）求∠B； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长． 条件①：； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 答案第1页，共2页 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（1） 高一数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B D B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 1．D 【详解】． 2．B 【分析】利用复数的除法可求，故可判断其对应的点所在的象限． 【详解】由题意可得， 其在复平面内所对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 3．C 【分析】计算出，，由向量平行的充要条件即可求解． 【详解】，，，． 故选：C． 4．B 【分析】根据空间中点，直线，平面的位置关系逐一分析即可． 【详解】选项：根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两种情况， 故当已知点在已知直线上时，可作无数条直线与已知直线垂直，故选项错误； 选项：无论已知点在已知直线上还是已知直线外，假设过一点能作出两个平面与已知直线垂直，则这两个平面平行， 显然与两平面经过一个点相互矛盾，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直， 故正确； 选项：已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平行，故选项错误； 选项：当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行的直线；当已知点在已知直线外时，可以作一条与已知直线平行的直线，故选项错误． 故选：． 5．D 【分析】根据空间直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断线性、线面的位置关系即可． 【详解】A：若，，则平行、相交或异面，错； B：若，，则平行或异面，错； C：若，，则或，错； D：若，，由面面平行的性质有，对． 故选：D 6．B 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值． 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以． 故选：B 7．A 【分析】通过将正三棱锥的侧面展开，利用几何关系求出山路的最短长度，再结合山路宽度求出山路面积的最小值． 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：A． 8．D 【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长． 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以． 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得． 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）． 所以的周长为， 故选：D 9．AC 【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系．依题意得转动一圈的时间，即周期为，在内所转过的角度为，则，则点P的纵坐标为，点P距离水面的高度关于时间的函数，选项A正确；，选项B错误；，选项C正确；由得，解得，选项D错误． 10．ACD 【分析】利用正弦定理和余弦定理可判断A；利用正弦函数的图象及三角形内角的范围可判断B；利用正弦定理的边角互化和三角形边角大小关系可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且 所以为钝角，即是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为在中，， 故若，则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：若，则，由正弦定理可得成立，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则且， 可得，因在内单调递增， 则，即充分性成立； 若，例如符合题意， 但此时为直角三角形，即必要性不成立； 综上所述：“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据多面体的表面积公式可判断A选项；做出截面，结合截面形状及向量数量积的坐标运算可判断BC选项；根据外接球性质及体积公式即可判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的棱长， 所以该多面体的表面积，A正确； 对于B，由平面的性质可知过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面是边长为的正六边形，其面积为，B正确； 对于C，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点，且，， 则，， 所以，即，C错误； 对于D，由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为为， 外接球的半径为， 所以该多面体外接球的体积为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 【分析】根据复数模的计算公式计算即可． 【详解】． 故答案为：． 13．/ 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长． 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为． 故答案为：． 14．// 【分析】设，利用得出，即可求出，进而求一元二次函数的最值即可. 【详解】设，则， 在中利用余弦定理得，， 在中利用余弦定理得，， 因， 则， 则， 因等腰底边上的高为， 则， 故当，即，时，取最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1），的面积为 （2） 【分析】（1）通过余弦定理得，可求，求得，可求出的面积； （2）本题可根据已知，，然后根据求得余弦，进而可得解． 【详解】（1）由余弦定理易知，，又，，． 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，又，所以， 所以的面积为； （2）因为，，所以， 因为，，所以， 则 ，因为，所以． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）利用复数的四则运算求出，再根据复数的几何意义确定参数范围即可； （2）先求出，，得到点的坐标，再利用投影向量的计算公式即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以， 解得，即实数m的取值范围是． （2）由题可知，， 则点，，故，． 因此． 17．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）确定截面的形状及各顶点位置，然后分别求出截面各边的长度，最后将各边长度相加得到截面周长. （2）求出点到平面的距离，再结合已知的线段DE的长度，根据线面角的正弦值定义（其中为点到平面的距离，为直线上一点与该点在平面射影的连线长度，本题中，）来计算与平面所成角的正弦值. （3）根据已知条件确定相关线段长度，然后通过三角形中距离公式求出到的距离，再结合到面的距离，利用二面角的正弦值与这两个距离的关系求出二面角的正弦值，最后根据三角函数关系求出二面角的余弦值. 【详解】（1）延长交于点 M， 连接交于 ， 连接则截面为 ， 过作， 可知为中点   ， 过作， 则 ， ， 所以是中点 在中，， 用余弦定理求得 在中，， 同理求得 ， 在中， ， 同理求得 ， 在等腰梯形中，可求得 ， 所以截面 周长 （2）延长侧棱交于点，则三棱锥为正四面体    又 设与平面成θ角，则 18．（本小题满分17分） （1） （2）答案见解析 【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出； （2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长． 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以． （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①． 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：． 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：． 19．（本小题满分17分） （1）2； （2）； （3）． 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，过点作于点，证明平面，则点到平面的距离为线段的长，根据已知求长度即可； （3）过点作交于点，连接，则为直线与平面所成的角，根据已知求得、，设，则、，再应用余弦定理及列方程，即可得． 【详解】（1）由离散曲率的定义得，， ，， 所以． （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即，解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为． （3）过点作交于点，连接，如图． 由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$